貴州省貴陽市2024-2025學年高三上學期八月摸底考試數(shù)學試題（解析）

貴陽市2025屆高三年級摸底考試試卷數(shù)學本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分考試時間為120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將姓名?報名號用鋼筆填寫在答題卡相應位置上.2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.請保持答題卡平整，不能折疊考試結(jié)束后，監(jiān)考老師將試題卷?答題卡一并收回.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】由于，所以，故選：B2.設為等差數(shù)列的前項和，已知，則的值為（）A.64 B.14 C.12 D.3【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式，利用等差數(shù)列通項下標性質(zhì)可解.【詳解】利用等差數(shù)列求和公式，知道，即.，且，則.故選：C.3.平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點值來估計，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷.【詳解】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點橫坐標，因此眾數(shù)為右起第二個矩形下底邊的中點值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，所以.故選：A4.用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.己知正四棱臺的上?下底面邊長分別為1和2，側(cè)棱與底面所成的角為，則該四棱臺的體積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺性質(zhì)可求得該棱臺的高，代入棱臺的體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：分別為上下底面的中心，作于點，根據(jù)題意可知，側(cè)棱與底面所成的角即為，可知；因此可得，易知，由正四棱臺性質(zhì)可得；所以該正四棱臺的高為，因此該四棱臺的體積是.故選：B5.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)化為，再進行判斷.【詳解】，它是由圖象上所有的點向右平移個單位長度得到的，所以D正確.故選：D.6.已知向量滿足，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.【詳解】依題意，在上的投影向量為，則，于是，而，則，所以向量與向量的夾角為.故選：C7.的展開式中的系數(shù)是（）A.5 B.10 C.20 D.60【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用組合計數(shù)問題列式計算即得.【詳解】依題意，的展開式中項是5個多項式中取3個用，余下2個取1個用，最后1個用的積，即，所以的展開式中的系數(shù)是20.故選：C8.關于函數(shù)，下列說法正確的是（）①曲線在點處的切線方程為；②的圖象關于原點對稱；③若有三個不同零點，則實數(shù)的范圍是；④在上單調(diào)遞減.A.①④ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷①；取值計算判斷②；求出函數(shù)的極值，結(jié)合零點的意義判斷③；確定單調(diào)性判斷④即可得解.【詳解】函數(shù)，求導得，對于①，，而，則切線方程為，即，①正確；對于②，，則的圖象關于原點不對稱，②錯誤；對于③，當或時，；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，函數(shù)零點，即直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標，因此當直線與函數(shù)圖象有3個交點時，，③正確；對于④，在上單調(diào)遞減，④正確，故選：D二?多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在同一平面直角坐標系中，直線與圓的位置可能為（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】求出直線所過的定點并判斷與圓的位置關系即可得解.【詳解】直線過定點，顯然點在圓內(nèi)，因此直線與圓必相交，C錯誤；而直線表示平面內(nèi)過點的除直線外的任意直線，因此選項ABD都可能.故選：ABD10.如圖，在長方體中，，點為線段上動點（包括端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.當點為中點時，平面B.當點為中點時，直線與直線所角的余弦值為C.當點在線段上運動時，三棱錐的體積是定值D.點到直線距離的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明判斷A；利用空間向量求出向量夾角余弦判斷B；利用三棱錐體積公式判斷C；利用空間向量求出點到直線的距離最小值判斷D.【詳解】在長方體中，以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，對于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對于B，，，B錯誤；對于C，由選項A知，點到平面距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對于D，，則點到直線的距離，當且僅當時取等號，D正確.故選：ACD11.定義域為R的函數(shù)滿足：，當時，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關于點對稱C.D.在0,+∞上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】【分析】對于A，賦值令，求解；對于B，賦值令，得到關于對稱，再結(jié)合函數(shù)圖像平移變換得解；對于C,賦值令，再令，再變形即可；對于D，賦值令，結(jié)合時，，舉反例可解.【詳解】令，得到，則.故A錯誤.令，得到，則.則,由于當時，，則.則關于對稱.可由向左平移1個單位，再向下平移2個單位.則的圖象關于點對稱，故B正確.令，得到，則.令，得到令，得到，兩式相減得，變形，即,時，，兩邊除以，即，故C正確.令，則，時，，則，且，則，即.故D錯誤.故選：BC.【點睛】難點點睛：解答此類有關函數(shù)性質(zhì)的題目，難點在于要結(jié)合抽象函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法以及代換法，推出函數(shù)相應的性質(zhì).第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是復數(shù)，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)除法運算規(guī)則化簡即可.【詳解】，則.故答案為：.13.已知角的始邊為軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點，將角的終邊繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角，則__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義求出，再利用和角的正弦公式計算即得.【詳解】依題意，，則，所以.故答案為：14.已知雙曲線的右焦點為，過的直線與交于點，且滿足的直線佮有三條，則雙曲線的離心率的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合題意知道直線與雙曲線兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線同一支相交，運用長軸性質(zhì)和通徑長度可解.【詳解】由題意知道直線與雙曲線兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線同一支相交．顯然滿足的直線有1條為x軸，為左右頂點，長度為實軸長，.當直線過，剛好垂直x軸時，令，可求得AB=2b2a.此時直線只有1加上前面的1條，總共2條，不滿足題意.如圖，運用雙曲線對稱性知道時，剛好有2條，總共3條，滿足題意.即.則.又由于，則雙曲線離心率的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：共5個小題，滿分77分.解答應寫出相應的文字說明，證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角對邊分別為，且.（1）求角的大?。海?）若，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)用正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換求出C；(2)根據(jù)已知條件平方相減可得到再根據(jù)余弦定理可得出，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，根據(jù)正弦定理邊角互化，以及恒等變換可得內(nèi)角，所以則可得，又因，所以【小問2詳解】根據(jù)余弦定理可知，則可得，又因，且，可得，可得則16.如圖，單位圓上的一質(zhì)點在隨機外力的作用下，每一次在圓弧上等可能地逆時針或順時針移動，設移動次回到起始位置的概率為.（1）求及的值：（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）按著三種路線分別求概率即可，（2）由棋子移動的方向分別按逆時針與順時針共有，，三種情況，故可得，，由數(shù)列的遞推公式，求得的通項公式，再求,即可由求和公式求解.【小問1詳解】如圖：設起始位置為，移動2次回到起始位置，則；；所以，若移動3次回到起始位置，；；所以，【小問2詳解】每次移動的時候是順時針與逆時針移動是等可能的，設擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為：，，，所以．擲骰子次時，共有，，三種情況，故．，即，，又，時，，又，可得，由，可得數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，，即，又．所以的前項和為17.如圖，四棱錐中，底面為等腰梯形，平面平面，.（1）為上一點，平面，求的值：（2）平面與平面的交線為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設為上一點，且滿足，利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)推理即得.（2）延長，相交于點，取的中點，利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】設為上一點，且滿足，連接，.由平面，且平面平面，得，即四邊形為平行四邊形，在等腰梯形中，，則，所以為的中點，，即.【小問2詳解】延長，相交于點，設為中點，則平面與平面的交線為直線，連接，，由，得，且，又平面平面，平面平面，則平面，在中，，于是，且，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設平面法向量，則，取，得，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知點，點在以為直徑的圓上運動，軸，垂足為，點滿足，點的軌跡為.（1）求的方程：（2）過點的直線交于點，設直線的斜率分別為?，證明為定值，并求出該定值.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）求出點的軌跡方程，利用向量的坐標運算及坐標代換法求出的方程.（2）設出直線的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率的坐標表示推理計算即得.【小問1詳解】依題意，點在圓上運動，設，由，得，則，又，即，所以的方程為.【小問2詳解】依題意，直線斜率存在，設直線的方程為，由，得，則，又，則，所以為定值.【點睛】方法點睛：①引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；②特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．19.如圖，在區(qū)間上，曲線y=fx與軸圍成的陰影部分面積記為面積，若（為函數(shù)的導函數(shù)），則.設函數(shù)（1）若，求的值；（2）已知，點，過點的直線分別交于兩點（在第一象限），設四邊形的面積為，寫出的表達式（用表示）并證明：：（3）函數(shù)有兩個不同的零點，比較與的大小，并說明理由.【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定信息，令，直接代入計算即得.（2）利用矩形