河北省邯鄲市魏縣2024-2025學年高三上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

數(shù)學本試卷4頁.總分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解二次不等式求得，進而求得.【詳解】由解得，因為，，所以.故選：B2.已知復數(shù)，復數(shù)滿足，則（）A.B.復數(shù)在復平面內所對應的點的坐標是C.D.復數(shù)在復平面內所對應的點為，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的概念求，結合復數(shù)的乘法公式求，根據(jù)復數(shù)的模的公式求，判斷A，根據(jù)復數(shù)的幾何意義求復數(shù)在復平面內所對應的點的坐標，判斷B，根據(jù)復數(shù)的模的幾何意義確定復數(shù)所對應的點的軌跡，由此判斷C，結合復數(shù)的模的公式，由條件求點的軌跡方程，判斷D.【詳解】因為，所以，所以，又，A錯誤；對應的點的坐標為，B錯誤；由知對應的點在以對應點為圓心，2為半徑的圓上，又，因此，C正確；對應的點的坐標為，因此，D錯誤，故選：C．3.已知向量滿足，則（）A.5 B. C. D.20【答案】C【解析】【分析】由，求得，再由即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故選：C4.若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由知，由兩角和的正弦公式展開并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.【詳解】若，則，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨設，則，當且僅當，即時取等號.故選：D.【點睛】方法點睛：三角函數(shù)中的湊角技巧；；.5.用一個邊長為4的正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過圓錐側面展開圖的兩種情況①側面展開圖最大為半徑為2的半圓，②側面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，計算比較即可.【詳解】根據(jù)題意有兩種方式可以得到這樣的幾何體，方式一：如圖①，可以得到圓錐的側面展開圖最大為半徑為2的半圓，因此一個圓錐的底面半徑為1，母線長為2，高為，所以兩個圓錐體積的最大值為．方式二：如圖②，可以得到圓錐的側面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，因此一個圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，所以兩個圓錐體積的最大值為．，故選：A．6.若，則的大小關系為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合結論若，則，證明，由此可得，再證明，由此可得結論.【詳解】若，則，且，所以，所以，因為，，所以，所以，故選：D．7.已知為角終邊上一點，關于的函數(shù)有對稱軸，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)任意角正切定義得出再根據(jù)兩角和的余弦公式化簡，最后結合二倍角的正切公式計算即可.【詳解】因為為角終邊上一點，所以而，且當時，，所以，故選:D．8.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結論正確的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析，不難得到，按照規(guī)律寫出各項，即可判斷①，②正確；對于③，結合樹狀圖，考慮對立事件所包含的樣本點數(shù)，利用古典概型概率公式計算即得，同法求出即可判斷.【詳解】由題意可知，則，，則①正確；顯然，故②正確；因為，經(jīng)過數(shù)字5的路線共有條.理由:如上樹狀圖所示，分別計算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條，利用分步乘法計數(shù)原理可得，過數(shù)字5的路線共有條.則，故③正確；同理可得即有，故④錯誤.故選:A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若一組數(shù)據(jù)的方差為0.2，則的方差為1B.68，60，62，78，70，84，74，46，73，82這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是80C.樣本相關系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)正相關還是負相關D.若變量，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方差性質計算方差判斷A,應用百分位數(shù)定義計算判斷B,根據(jù)相關系數(shù)判斷C,應用正態(tài)分布對稱性計算概率判斷D.【詳解】對于A，的方差為，故A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)從小到大排列：46，60，62，68，70，73，74，78，82，84，又，第8位數(shù)字是78，第9位數(shù)字是82，故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故B正確；對于C，樣本相關系數(shù)的符號反映了相關關系的正負性，當時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關，當時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確，故選:BCD．10.已知函數(shù)在處的切線方程為，則下列說法正確的有（）A.B.在區(qū)間上的最大值和最小值之和為C.為的極小值點D.方程有兩個不同的根（e為自然對數(shù)的底）【答案】BC【解析】【分析】對于A：根據(jù)導數(shù)的幾何意義列式求解即可；對于BC：求導，利用導數(shù)求極值點和最值，進而分析判斷；對于D：整理可得，構建函數(shù)，結合函數(shù)單調性分析函數(shù)零點，即可判斷.【詳解】對于選項A：由題意可知：函數(shù)的定義域為0,+∞，且，則，解得，所以，故A錯誤；對于選項C：因為，，令f'x<0，解得；令f'可知在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，則為的極小值點，故C正確；對于選項B：若，則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，可知的最小值，且，即的最大值，所以在區(qū)間上的最大值和最小值之和為，故B正確；對于選項D：令，整理可得，令，因為函數(shù)與在區(qū)間0,+∞內單調遞增，則在區(qū)間0,+∞內單調遞增，且，所以有且僅有一個零點，即方程有一個解，故D錯誤.故選：BC．11.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布，伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線．已知點是雙紐線上任意一點，當雙紐線過點時，下列說法中正確的有（）A. B.C.的最大值為 D.當時，與曲線只有一個交點【答案】ACD【解析】【分析】對A,根據(jù)定義列式再將點代入得出參數(shù)，對B,根據(jù)的面積范圍證明即可,對C,根據(jù)向量關系平方后結合余弦定理計算即可求解；對D,化簡得出函數(shù)與直線聯(lián)立結合判別式判斷即可.【詳解】根據(jù)雙紐線的定義可得，，則，將點代入方程可得，因此A正確；根據(jù)三角形的等面積法可知，，即，即，因此B錯誤；因為，所以，由余弦定理可得，，則，所以的最大值為，因此C正確；由化簡可得與曲線一定有公共點，則，當實數(shù)時，，該方程無解，則與曲線只有一個公共點，D正確．故選;ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點且垂直于的直線分別交，于，兩點，且，則該雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】由題意得，，，，，解方程即可求解.【詳解】由題意得，，，由題得，∴，整理得，即，∴，，即．故答案為：【點睛】本題主要考查了雙曲線離心率的求法，考查了直線與雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.13.已知，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)用1的活用，結合常值代換應用基本不等式計算即可.【詳解】，當且僅當，即，即當時等號成立.故答案為：14.若直線與曲線和都相切，則直線的方程為______．【答案】或【解析】【分析】設直線與曲線相切于，求導確定斜率，求得切線方程，再結合此直線與圓也相切，即可求解.【詳解】設直線與曲線相切于，當時，，則由可知，曲線在點處的切線方程為，即，該方程即為直線的方程，因為直線與圓相切，所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，當時，，同理可求得直線的方程為，故直線的方程為或．故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）如圖，射線繞點旋轉后交線段于點，且，求的面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，運用三角形內角關系與和角公式化簡即可求得；（2）利用等面積推理得到，由基本不等式求出的最小值，代入三角形面積公式即可求出最小值.【小問1詳解】由，及正弦定理得，因，代入可得，，因為，所以，又，所以．【小問2詳解】由（1）得，因為，所以．由，可得．又，可得，即．由基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立，由，可得，所以，所以的面積的最小值為．16.已知是上的動點，點，線段的中垂線交直線于點．（1）求點的軌跡的方程；（2）已知直線的方程為，過點的直線（不與軸重合）與曲線相交于兩點，過點作，垂足為．證明：直線過定點，并求出定點的坐標．【答案】（1）（2）證明見解析，定點【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得動點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，進而可得，由點斜式求解直線方程，即可令，代入化簡求解.【小問1詳解】的圓心，半徑，如圖，由中垂線的性質得，所以，所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，設該橢圓的方程為，則，所以，所以點的軌跡方程為．【小問2詳解】設直線的方程為，聯(lián)立得①，如圖，設，顯然，所以，且．因為，所以直線的方程為，令，得②，將代入②，得，故直線過定點，即定點．17.如圖，在平行四邊形中，，四邊形為矩形，平面平面，點在線段上運動．（1）當時，試確定點的位置并證明；（2）在（1）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）為線段的中點，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理、面面垂直的性質證得直線兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，利用垂直關系的向量表示求解即得.（2）求出平面的法向量，再用面面角的向量求列式計算即得.【小問1詳解】在中，，由余弦定理得，則，有，又平面平面，平面平面，平面，則平面，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，設，則，由，得，解得，即，所以當時，點為線段的中點．【小問2詳解】由（1）可得，設平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）證明：當時，成立.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）解法一：根據(jù)，可得是的極小值點求出，再利用導數(shù)檢驗即可；解法二：求出，分、討論，利用導數(shù)判斷單調性可得答案；（2）當時，設，利用導數(shù)判斷出單調性可得答案.【小問1詳解】解法一：由，得，又，所以是的極小值點，故，而，故，若，則，當；當，所以在單調遞減，在單調遞增，故是唯一的極小值點，也是最小值點，由，所以當且僅當時，解法二：由，得，又，當時，有恒成立，所以在上單調遞減，又，則不成立，當時，令，得，則時，有時，有，即在單調遞減，在單調遞增，所以最小值為，，函數(shù)在單調遞減，單調遞增，，當且僅當取等號，故；【小問2詳解】當時，，設，當時，，又由（1）知，故，當時，，設，則，則在單調遞增，，所以，則在單調遞增，，綜上，，即當時，.【點睛】思路點睛：在證明不等式時構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出單調性結合最值的正負是常用的方法.19.在高中數(shù)學教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題：假設某種細胞分裂（每次分裂都是一個細胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設一個種群由一個細胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞滅絕的概率都是，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得；我們也可以設一個種群由一個細胞開始，最終繁衍下去的概率為，那么從一個細胞開始，它有的概率分裂成兩個細胞，在這兩個細胞中，每個細胞繁衍下去的概率都是，兩個細胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計算可得．根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐標系的點處，他每步走動都會有的概率向左移動1個單位，有的概率向右移動一個單位，原點處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以代表當這個人由開始，最終掉入陷阱的概率．（1）若這個人開始時位于點處，且．（ⅰ）求他在5步內（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最終掉入陷阱的概率；（ⅲ）已知，若，求；（2）已知是關于的連續(xù)函數(shù)．