廣東省江門市新會區(qū)陳經(jīng)綸中學2024-2025學年高三上學期9月月考數(shù)學試題（含解析）

新會陳經(jīng)綸中學2024—2025學年高三上學期9月月考數(shù)學卷本試卷共4頁，滿分150分，考試時間為120分鐘（命題人：李振華，審核人：鄭小輝）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知，則（）A. B. C. D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知，，則（）A. B. C.3 D.44.已知a，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.85.命題，，則“”是“p為真命題”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7.已知為等比數(shù)列的前n項積，若，，且，（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）A. B.3 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知向量，，則下列說法正確的是（）A. B.C.與的夾角余弦值為 D.在方向上的投影向量為10.若函數(shù)，的兩條相鄰對稱軸距離為，且，則（）A. B.點是函數(shù)的對稱中心C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.直線是函數(shù)圖象的對稱軸11.已知函數(shù)，若方程有四個不同的零點，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)，則______.13.已知向量與的夾角為，，，則______.14.已知函數(shù)，若，，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.16.（15分）已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.17.（15分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求c.18.（17分）已知為數(shù)列的前n項和，若.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）令，若，求滿足條件的最大整數(shù)n.19.（17分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若，不相等的實數(shù)m，n滿足，求證：.新會陳經(jīng)綸中學2024—2025學年高三上學期9月月考數(shù)學參考答案題號123456789答案ACADBBBDBCD題號1011答案ABABD1..故選：A.2.解不等式可得，又可得只有當時，的取值分別為，2，5在集合中，所以.故選：3.因為，，所以.所以.故選：A4.，且，則，當且僅當，即，時取等號，所以當，時，的最小值為8.故選：D5.因為，，所以，得，因為當時，不一定成立，而當時，一定成立，所以“”是“為真命題”的必要不充分條件.故選：B6.，且定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，當時，，排除D.當趨于時，趨于，排除C，經(jīng)檢驗B符合題意.故選：B.7.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以，.故選：B.8.因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，聯(lián)立①②可得，所以.故選：D.9.由，，，則與不平行，故A錯誤；，，則，故B正確；，，，，，故C正確；，即在方向上的投影向量為，故D正確.故選：BCD.10.的兩條相鄰對稱軸距離為.，..，，又，則..選項A正確：選項B：由，可得函數(shù)對稱中心的橫坐標，。當時，對稱中心為.B正確；選項C：當時，，，在上不遞增，C錯誤；選項D：由，.可得對稱軸：，.不是對稱軸.或驗證法把代入得，不是對稱軸.錯誤；故選：AB.11.【詳解】如圖所示，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，由圖象知，要使得方程有四個不同的零點，只需，所以A正確；對于B中，因為，，，且函數(shù)關(guān)于對稱，由圖象得，且，，所以，可得，則，所以，其中，令，當且僅當時，取得最小值，所以，所以B正確；對于C中，，是的兩個根，所以，即，所以，由，是的兩個根，所以，所以，所以C不正確；對于D中，由，可得，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以D正確.故選：ABD.12.因為，，所以.故答案為：113.由題意，向量與的夾角為，，，所以，所以，故答案為：614.因，，函數(shù)的對稱軸為直線，而由可知其對稱軸為直線，故，解得.故答案為：.15.（1）由得，（1分）又，（3分）所以函數(shù)在處的切線方程為：，即（6分）（2）由，令，解得或（7分）令，解得，（8分）所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（10分）所以當時，最小，且最小值為，（11分）因為，，故最大值為（13分）16.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，（2分）解得，.（6分）.（8分）（2）由（1）知，，，（11分）.（15分）17.（1）變形為：，所以，（4分）因為，所以，（7分）（2）因為，且，所以（10分）由正弦定理得：，即，（12分）解得：（15分）18.（1）證明：由可得，當時，，解得，（1分）當時，，即，（2分）則（3分），即，（5分）即，即，（8分）又，所以數(shù)列是首項為6，公比為2的等比數(shù)列.（9分）（2）由（1）得，則，（10分）設(shè)，則（13分）令，得，即，即（15分）又，，，所以滿足條件的最大整數(shù)為n為5.（17分）19.【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）依題意，，則，（1分）令，解得，（2分）故當時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（4分）故函數(shù)的極小值為，無極大值；（6分）（2）令，則，（8分）令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，（11分），即，因為，所以，（12分）要證，即證，只需證，即，即，（13分）令函數(shù)，則，（14分）令，則，所以為上的增函數(shù)，（15分）當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（16分）所以對任意，都有，從而原命題得證.（17分）【點睛】方法