2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學必修第一冊講義

新教材必修第一冊2.3：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式課標解讀：一元二次不等式的概念.（理解）一元二次不等式的解法.（掌握）二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系.（理解）一元二次不等式的應(yīng)用（理解）學習指導：從函數(shù)觀點理解方程和不等式時數(shù)學的基本思想方法.學習本節(jié)時，用二次函數(shù)認識一元二次方程和一元二次不等式，通過理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會數(shù)學的整體性，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).深刻體會一元二次不等式的圖像特征及其不等式恒成立的相關(guān)關(guān)系.通過具體問題，認識一元二次不等式在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學建模等核心素養(yǎng).知識導圖：教材全解知識點1：一元二次不等式及其解法（重點）1.一元二次不等式的定義一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是，其中均為常數(shù)，.2.一元二次不等式的解集滿足一元二次不等式的實數(shù)組成的集合叫做一元二次不等式的解集，即或.3.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步驟是：對不等式變形，使一端為零且二次項系數(shù)大于零，即標準形式（或＜0或≥0或≤0），.計算相應(yīng)方程的根的判別式；當時，求出相應(yīng)的一元二次方程兩根.根據(jù)一元二次不等式解的結(jié)構(gòu)，寫出解集.當時，設(shè)方程的兩根分別為，且，利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集，也就是（）的解集是，即大于大根或小于小根，（）的解集為，即大于小根且小于大根.當時，則可結(jié)合二次函數(shù)的圖像和不等號方向來確定不等式的解集.其求解過程（以（）為例）用框圖表示如下：例1-1：下面哪些不等式是一元二次不等式（其中為常數(shù)）？；；；.答案：（1）（2）是一元二次不等式；（3）（4）不是一元二次不等式；（5）不確定，因為當時，是一元二次不等式.例1-2：解下列不等式；；；答案：（1）；（2）R；（3）?；（4）.知識點2：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系一元二次不等式的解集R??例2-3：解不等式.答案：重難拓展知識點3：一元高次不等式的解法最高次項的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式.解一元高次不等式的基本思想方法是“化歸”，即將高次不等式轉(zhuǎn)化為低次不等式來求解.常見的方法有：不等式組法將高次不等式中的多項式分解成若干個不可約因式的乘積，然后利用不等式的性質(zhì)將高次不等式等價轉(zhuǎn)化為一個或多個一元一次或一元二次不等式組，原不等式的解集就是各不等式組解集的并集.（2）列表法解題步驟如下：①將不等式化為一端為0，另一端為若干個因式（一次因式或二次不可約因式）乘積的形式（各因式中最高次數(shù)的項的系數(shù)符號化為“+”），求出相應(yīng)方程的根；②根據(jù)不等式對應(yīng)方程的根把的取值分成幾部分，并按端點值的大小橫向排列（由小到大），相應(yīng)各因式縱向排列（由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；③判斷各取值范圍內(nèi)因式的符號，表格最下面一行是各取值范圍內(nèi)對應(yīng)的各因式乘積的符號；④根據(jù)最下面一行積的符號寫出不等式的解集.（3）穿根引線法（零點分段法）用穿根引線法解一元高次不等式非常方便，因此應(yīng)熟練掌握.其解題步驟如下：①分解因式，將不等式化為一端為0，另一端為若干個因式（一次因式或二次不可約因式）乘積的形式（各因式中最高次數(shù)的項的系數(shù)符號化為“+”）.②求出相應(yīng)方程的根，并在數(shù)軸上表示出來.③由數(shù)軸右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點，穿線時要遵循“奇穿偶回”的原則（即某個因式是奇數(shù)次，就從數(shù)軸的一側(cè)穿到數(shù)軸的另一側(cè)；某個因式是偶數(shù)次時，則不穿過數(shù)軸）,簡稱“奇過偶不過”.④若不等式（最高次數(shù)的項的符號化為“+”后）“＞0”，則找“線”在數(shù)軸上方對應(yīng)的的取值范圍；若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方對應(yīng)的的取值范圍.例3-4:解不等式.答案：.例3-5：解不等式.答案：.題型與方法題型1：一元二次不等式的解法1.不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例6：解下列不等式：答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解集為R.變式訓練1：已知集合，則（）A.B.C.D.答案：A變式訓練2：如果且，那么的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.答案：B2.已知一元二次方程不等式的解集，求參數(shù)問題例7：若不等式的解集為，則不等式的解集為.答案：變式訓練：，已知不等式的解集為，求：不等式的解集.答案：3.含參數(shù)的一元二次不等式的解法例8：（1）解關(guān)于的不等式：.（2）解關(guān)于不等式：答案：（1）當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為（2）當，不等式的解集為?當時，不等式的解集為當，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為.當時，不等式的解集為R.變式訓練1：若，則關(guān)于的不等式的解集是.答案：變式訓練2：已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集為（）A.B.C.D.答案：B題型2：一元二次不等式恒成立問題1.在R上恒成立問題例9：若對任意實數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.答案：變式訓練：已知關(guān)于的不等式對一切實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.答案：2.在某范圍內(nèi)恒成立問題例10：已知，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.答案：變式訓練1：已知關(guān)于的不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）.A.B.C.D.答案：A變式訓練2：設(shè)函數(shù)，若對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）.A.B.C.D.答案：D題型3：可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式（組）的不等式的解法1.利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次不等式例11：解下列不等式：（1）（2）；（3）答案：（1）（2）（3）2.分式不等式的解法例12：不等式的解集為.答案：3.一元高次不等式的解法例13：已知不等式的解集是.則不等式的解集為.答案：例14：設(shè)，解關(guān)于的不等式答案：當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；4.含絕對值不等式的解法例15：的解集為.答案：易錯提醒易錯1：解含參不等式時忽略分類的完備性例17：解含參不等式.答案：當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為?；當時，原不等式的解集為；易錯2：忽略最高次項系數(shù)的符號特征例18：要使的值恒為負值，求m的取值范圍.答案：感知高考考向1：一元二次不等式的解法例19：（1）已知集合，則（）.A.B.C.D.（2）已知集合，則（）.A.B.C.D.答案：（1）C（2）B考向2：一元二次不等式的應(yīng)用例20：甲廠以千克/時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件），每小時可獲得的利潤是元.要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求的取值范圍；要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤.答案：（1）；（2）甲廠應(yīng)以6千克/時的速度生產(chǎn)產(chǎn)品，最大利潤為457500元.基礎(chǔ)鞏固：1.設(shè)集合，則（）.A.B.C.D.2.不等式組的解集為（）.A.B.C.D.3.若，式子都有意義，則實數(shù)的取值范圍為（）.A.B.C.D.4.已知方程有兩個不等正實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）.A.B.C.D.5.不等式的解集為.6.若不等式的解集為，則=.7.不等式的解集為.能力提升9.下列選項中，使不等式成立的的取值范圍是（）.A.B.C.D.10.若，則不等式的解集為（）.A.B.C.D.11.不等式的解集為則（）.A.B.C.