2.3 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第一冊）

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊)直線和圓的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩直線的交點(diǎn)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點(diǎn)A(a，b)．(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行考點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式（1）點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).考點(diǎn)三：兩條平行直線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【題型歸納】題型一：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．直線和與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積為（）A． B． C． D．2．三條直線，，相交于一點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．2 D．3．直線經(jīng)過直線和直線的交點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A． B．C． D．題型二：由直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)4．已知直線與射線恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段AB有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．6．設(shè)點(diǎn),,若直線與線段沒有交點(diǎn),則的取值范圍是()A． B．C． D．題型三：兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用7．直線：與：及：所得兩交點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．8．已知三頂點(diǎn)為、、，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形9．已知點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A．1 B．3 C．1或3 D．或3題型四：點(diǎn)到直線的距離問題10．已知點(diǎn)，直線，則點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（）A． B． C．8 D．12．已知點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，（）A． B． C． D．題型五：點(diǎn)、直線的對稱問題13．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是（）A． B． C． D．14．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（）A． B． C． D．15．已知，，，一條光線從點(diǎn)A發(fā)出，經(jīng)直線BC反射后，恰好過原點(diǎn)O，則入射光線所在直線的斜率為（）A． B． C． D．題型六：兩條平行直線間的距離16．已知直線：（），：，若，則與間的距離為（）A． B． C．2 D．17．已知直線，直線，則與之間的距離為（）A． B． C． D．18．已知直線與直線和的距離相等，則的方程是（）A． B．C． D．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．已知直線與直線互相垂直，垂足為.則等于（）A． B． C． D．20．若直線與直線的交點(diǎn)位于第二象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．21．已知平面上兩點(diǎn)，，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．22．已知，滿足，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．0 B．1 C． D．23．和直線關(guān)于軸對稱的直線方程為（）A． B．C． D．24．已知的面積為5，則點(diǎn)C的軌跡方程為（）A．或 B．或C．或 D．或25．若兩條平行直線與之間的距離是，則（）A．0 B．1 C． D．26．在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為和，另一組對邊所在的直線方程分別為和，則（）A． B． C．2 D．427．過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)，則的值為（）A． B．10 C． D．2028．已知直線恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)到直線l的最大距離為2，則的最小值為（）A． B． C．4 D．【高分突破】一：單選題29．已知的頂點(diǎn)為A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，則AC邊上的中線長為（）A．3 B． C．4 D．30．一入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線l：反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（）A． B．C． D．31．已知直線與平行，且與間的距離為，則直線的方程為（）A．或 B．或C．或 D．或32．已知直線：與直線關(guān)于直線：對稱，直線與直線：垂直，則的值為（）A． B． C．3 D．33．已知點(diǎn)，，直線，在直線l上找一點(diǎn)P使得最小，則這個(gè)最小值為（）A． B． C． D．34．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，則該三角形的歐拉線方程是（）A． B．C． D．35．已知直線恒過點(diǎn)M，直線上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．36．若動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題37．下列說法正確的是（）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C．過，兩點(diǎn)的直線方程為D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或38．已知，和直線：，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使，且點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B．C． D．39．已知直線和，若直線到直線的距離與到直線的距離之比為，則直線的方程為（）A． B．C． D．40．（多選）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（）A． B．C． D．41．已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．線段PQ的長度的最小值為B．當(dāng)PQ最短時(shí)，直線PQ的方程是C．當(dāng)PQ最短時(shí)P的坐標(biāo)為D．線段PQ的長度可能是42．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．直線與直線之間的距離是D．已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是5三、填空題43．已知直線，，若，則與的距離為______．44．設(shè)，求的最小值是___________.45．已知直線，則原點(diǎn)到直線的距離的最大值等于___________.46．已知，，過點(diǎn)且斜率為的直線與線段相交，點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________________.47．直線經(jīng)過點(diǎn)，且分別與直線和相交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為________．四、解答題48．已知直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若原點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程；（2）若直線被兩條相交直線和所截得的線段恰被點(diǎn)平分，求直線的方程．49．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．（1）若過的直線將分割為面積相等的兩部分，求b的值；（2）一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射到x軸上的F點(diǎn)，最后再經(jīng)x軸反射，反射光線所在直線為l，證明直線l經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．50．已知兩定點(diǎn)，及兩平行直線，，（1）求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P，Q分別在直線，上，且，求折線段APQB的長度最短時(shí)直線PQ的一般式方程．51．已知為正方形ABCD的中心B，C，D逆時(shí)針排列，AB邊所在直線方程為．（1）求對角線AC，BD所在直線的方程；（2）已知是一個(gè)定點(diǎn)，是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN，滿足MN與MQ斜率之和為零，且直線MN與正方形ABCD有公共點(diǎn)．①求出直線MN分別過正方形各頂點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出實(shí)數(shù)t的最大值與最小值不需要過程，直接寫出答案即可．【答案詳解】1．B【詳解】直線與x軸的交點(diǎn)為，直線與y軸的交點(diǎn)為，則．如圖所示：則由兩點(diǎn)式可得直線MN的方程為，即，由解得，此為兩直線的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得P點(diǎn)到直線MN的距離為，故．故選：B2．A解：設(shè)三條直線交于一點(diǎn)P，則直線，，交于點(diǎn)P，聯(lián)立，解得，即，直線過點(diǎn)P，即，故選:A．3．A【詳解】聯(lián)立，解得，直線與直線垂直，則直線直線的斜率為，所以直線的方程為，整理可得.故選：A.4．C【詳解】聯(lián)立，得，∵直線與射線恒有公共點(diǎn)，∴，解得.∴m的取值范圍是.5．C【詳解】直線恒過的定點(diǎn)，.當(dāng)時(shí)，直線方程為，與線段有交點(diǎn)，符合題意.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，則，解得或，綜上，.故選：C6．C【詳解】直線與線段沒有交點(diǎn)即直線與線段沒有交點(diǎn)對于直線,令,則,則直線恒過點(diǎn)根據(jù)題意,作出如下圖像:,根據(jù)兩點(diǎn)求斜率公式可得:直線的斜率為,根據(jù)兩點(diǎn)求斜率公式可得:直線的斜率為直線的斜率為若直線與線段沒有交點(diǎn)則故選:C.7．C【詳解】由，得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，由，得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以.故選：C8．B【詳解】由已知，，，∴，即，∴是直角三角形.故選：B.9．C【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得或，故選：C10．C【詳解】點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，恒有，于是得，綜合得，所以點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍是.故選：C11．C【詳解】直線的方程為，即.由解得.設(shè)，直線的方程分別為，即，.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，到直線的距離相等，所以，，由于，所以上式可化為，兩邊平方并化簡得，解得（），所以.所以到直線的距離為，而，所以.故選：C12．B【詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，則當(dāng)與直線垂直時(shí)﹐點(diǎn)到直線的距離達(dá)到最大值，此時(shí)過的直線的斜率為所以直線的斜率為，即，所以.故選：B．13．B【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是，則有，解得，，故點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是.故選：B.14．D【詳解】,的中點(diǎn)為，，與關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)，且斜率為1，直線的方程為，即，故選：D15．D【詳解】，，直線BC的方程是，即，光線經(jīng)直線BC反射后，恰好經(jīng)過原點(diǎn)O，原點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)在入射光線上，設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)是，則，解得，，入射光線經(jīng)過點(diǎn)，入射光線所在的直線的斜率為，故選：D16．B【詳解】由得，解得，所以直線：，即，所以與間的距離為，故選B．17．D【詳解】直線的方程可化為，則與之間的距離．故選：D18．D設(shè)所求直線l方程為：，因?yàn)橹本€l與；距離相等，所以，解得，所以所求直線方程為：，故選：D.19．D【詳解】由兩直線垂直得，解得，所以原直線一可寫為，又因?yàn)榇棺銥橥瑫r(shí)滿足兩直線方程，所以代入得，解得，所以，故選:D20．D聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第二象限，可得且，解得，設(shè)直線的傾斜角為，其中，即，解得，即直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D.21．D【詳解】根據(jù)題意，平面上兩點(diǎn)，，，則，則有，則的最小值為，故選：D.22．C【詳解】將代入直線方程，得，所以直線必過定點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選:C23．C【詳解】直線交軸于點(diǎn)，且直線的斜率為，故所求直線的方程為，即.故選：C.24．D【詳解】則設(shè)C到AB邊所在直線的距離為d，由的面積為5，得即；頂點(diǎn)C的軌跡是與AB所在直線平行且與直線AB距離為的兩條直線；直線AB的方程為即設(shè)點(diǎn)C所在直線方程為解得或點(diǎn)C的軌跡方程為或；故選：D25．A【詳解】由題意兩直線平行，則，，又，而，所以．所以．故選：A．26．B【詳解】設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則，解得，故，同理設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則，由菱形的性質(zhì)可知,且的斜率均存在，所以，則，即，解得故選：B.27．B【詳解】解：動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線化為，令，解得，，故定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線方程為，，此時(shí)兩直線垂直；當(dāng)時(shí)，由兩直線的斜率之積為可知兩直線垂直，，，故答案選：B.28．C【詳解】由題可知，所以，所以．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號．故選：C．29．B【詳解】設(shè)AC的中點(diǎn)為D，因?yàn)锳（2，1），C(0，-1)，所以,所以AC邊上的中線長.故選：B30．D解：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于l：的對稱點(diǎn)為，所以反射光線的方程為.故選：D.31．C【詳解】解：設(shè)，與間的距離為．，即，得或，即或，即線的方程為或，故選：C．32．B【詳解】解：直線與直線：垂直，則，即，∵直線：與直線關(guān)于直線：對稱，∵由得得交點(diǎn)坐標(biāo)，在直線上取點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為，則，得，故，解得，故選：B.33．B【詳解】解：設(shè)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴最小．故選：B34．C【詳解】解：因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，所以三角形的重心坐標(biāo)為，的中垂線方程為，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的中垂線方程為，即，所以三角形的外心為直線與的交點(diǎn)，所以三角形的歐拉線方程為，整理得故選：C35．B【詳解】直線：，即，令，求得，，可得該直線恒過點(diǎn).直線：上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故、都在直線：的上方．點(diǎn)關(guān)于直線：的對稱點(diǎn)為，則直線方程為，即.把直線方程和直線：聯(lián)立方程組，求得，可得當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B36．B【詳解】根據(jù)題意，可得的集合為與直線和距離都相等的直線，則到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，設(shè)點(diǎn)所在直線的方程為，由，可得，解得，可得，所以到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：B.37．AB【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以A正確，對于B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以B正確，對于C，當(dāng)或時(shí)，不能利用兩點(diǎn)式求直線方程，所以C錯(cuò)誤，對于D，當(dāng)直線的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則，所以直線方程為，當(dāng)當(dāng)直線的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，所以經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D錯(cuò)誤，故選：AB38．BD【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點(diǎn)在直線上，∴，又點(diǎn)到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：BD.39．BD【詳解】設(shè)直線，且，直線到直線和的距離分別為，由題知：，，因?yàn)椋?，即，解得或，即直線為或。故選：BD40．AB當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．由已知得，所以或，所以直線l的方程為或．故選：AB41．AC【詳解】解：當(dāng)PQ垂直直線時(shí)，PQ最短，Q到直線的距離為，故A正確；故PQ的長度范圍為，，故D錯(cuò)誤；設(shè)，則，解得，故P為，故C正確；此時(shí)直線PQ的方程是，即，故B錯(cuò)誤，故選：AC．42．ABC解：過點(diǎn)，的直線的斜率是，則傾斜角不為，故A錯(cuò)誤由直線與直線垂直，得解得，故B錯(cuò)誤；直線與直線之間的距離是，故C錯(cuò)誤點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，連接，交x軸于點(diǎn)，則，當(dāng)與重合時(shí)取等號，故D正確.故選：ABC.43．【詳解】解：直線，，當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，與重合，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，．則與的距離為．故答案為：.44．【詳解】解：，即d可看作點(diǎn)和到直線上的點(diǎn)的距離之和，作關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，由題意得，解得故，則.故答案為：.45．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d.直線,即則有,解得,即直線l恒過定點(diǎn)(1,2).設(shè)M(1,2),則,即原點(diǎn)到直線l的距離的最大值等于.故答案為:.46．【詳解】由題意知：當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，；∴過點(diǎn)且斜率為的直線與線段相交，則.又到直線的距離.故答案為：47．或【詳解】直線和之間的距離為，由做于，所以，因?yàn)椋耘c的夾角為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則的直線方程為，所以，解得，則的直線方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則的直線方程為，與直線和的交點(diǎn)為和，因?yàn)閮?/p>