4.1 指數(shù)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第一冊）

4.1指數(shù)【考點梳理】重難點考點n次方根與分數(shù)指數(shù)冪考點一n次方根、n次根式1．a(chǎn)的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a(chǎn)的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)a∈Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)3.根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．考點二根式的性質(zhì)1.eq\r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)．2．(eq\r(n,a))n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)．3.eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))．4.eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù))．考點三分數(shù)指數(shù)冪的意義分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義考點四有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．重難點考點無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)考點五無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．考點六二實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．【題型歸納】題型一：指數(shù)和指數(shù)冪的運算1．（2022·江蘇省江浦高級中學(xué)高一階段練習(xí)）下列各式中成立的一項是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高一）下列說法正確的個數(shù)是（）①49的平方根為7；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·江蘇·高一單元測試）化簡(a>0)等于（

）A．6a B．－aC．－9a D．9a2題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值4．（2022·江蘇·高一單元測試）求下列各式的值；(1)；(2)．（2022·全國·高一單元測試）（1）化簡：；（2）計算：．6．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）（1）已知是方程的兩個根，且，求的值．（2）已知，求下列各式的值：①；②．題型三：根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化7．（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡：(1)；(2)；(3)．8．（2021·全國·高一）化簡下列各式：(1)；(2)．9．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）計算：(1)；(2)(a＞0，b＞0)．題型四：運用指數(shù)冪運算公式化簡求值10．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）化簡：（1）；（2）先化簡，再求值．已知，，求的值．11．（2022·江蘇·徐州市王杰中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）計算：；（2）已知，證明：．12．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（1）已知，計算：；（2）設(shè)，，求的值．題型五：分數(shù)指數(shù)冪運算的綜合應(yīng)用13．（2021·全國·高一專題練習(xí)）（1）計算；（2）若，求的值．14．（2019·廣東·湛江一中高一期中）（1）求值：；（2）已知，求的值．15．（2020·全國·高一課時練習(xí)）（1）化簡：（a＞0，b＞0）；（2）先化簡，再求值．已知，，求的值．【雙基達標】一、單選題16．（2022·江蘇·南京市第五高級中學(xué)高一階段練習(xí)）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．17．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，為方程的兩個根，則（

）A．8 B．-8 C．1 D．318．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高一期末）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）把代數(shù)式中的移到根號內(nèi)，那么這個代數(shù)式等于（

）A． B． C． D．20．（2022·江蘇·高一）已知實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．21．（2022·湖南·高一課時練習(xí)（理））用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．22．（2022·江蘇·高一）計算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【高分突破】一：單選題23．（2022·江蘇·高一單元測試）有下列四個式子：①；②；③；④其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．24．（2021·全國·高一課時練習(xí)）下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①當(dāng)時，；②；③函數(shù)的定義域是．A．0 B．1 C．2 D．325．（2022·江蘇·揚中市第二高級中學(xué)高一開學(xué)考試）下列根式、分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（

）A．（） B．C．（） D．（）26．（2022·江蘇·高一）若代數(shù)式有意義，則（

）A． B． C． D．27．（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A． B．C． D．二、多選題28．（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．29．（2022·江蘇·高一單元測試）已知正數(shù)x，y，z滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．30．（2021·全國·高一專題練習(xí)）（多選題）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．已知，則31．（2021·全國·高一專題練習(xí)）在下列根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化中，不正確的是（）A．B．C．D．三、填空題32．（2022·江蘇省江浦高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，化簡：=____．（用分數(shù)指數(shù)冪表示）33．（2022·湖南·高一課時練習(xí)（理））用分數(shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)＝____;

(2)＝____；(3)＝____;

(4)＝____；(5)＝____.34．（2022·上?！じ咭粏卧獪y試）設(shè)，則___________.35．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)），則實數(shù)a的取值范圍_________

36．（2022·全國·高一專題練習(xí)）計算=____________.37．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，，則的值為______．四、解答題38．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）（2021·江蘇·高一單元測試）（1）（2）（3）40．（2021·全國·高一課時練習(xí)）計算下列各式：(1)；(2)（，）；(3)．41．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一）（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．42．（2021·全國·高一課時練習(xí)）完成下列式子的化簡：(1)；(2)．43．（2021·全國·高一）化簡，求值：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，求值．【答案詳解】1．C【分析】利用根式運算法則及根式與分數(shù)指數(shù)冪互化，選出正確答案.【詳解】，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D錯誤.故選：C2．A【分析】根據(jù)根式的運算，逐一判斷即可.【詳解】49的平方根是，故①錯誤；，故②正確；，故③錯誤；，故④錯誤．故選:A．3．C【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則進行運算.【詳解】故選：C4．(1)(2)【分析】分析：（1）利用進行化簡，求得答案；（2）先將式子和化成完全平方式，再化簡，即得答案.（1）=．（2）原式=因為，所以，當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，,所以.5．（1）；（2）【分析】（1）分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算；（2）分數(shù)指數(shù)冪與根式運算法則進行計算.【詳解】（1）原式．（2）原式．6．（1）；（2）①；②．【分析】（1）先得到兩根之和，兩根之積，再求解的平方，進而求出的值；（2）利用平方法進行求解.【詳解】（1）因為是方程的兩個根，所以，所以．因為，所以．所以．（2）①將兩邊平方，得．即．②將兩邊平方，得，即．7．(1)(2)(3)【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算可得.（1）,（2）,（3）方法一（從外向里化簡）

．方法二（從里向外化簡）．8．(1)(2)【分析】（1）（2）將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算可得；(1)解：．(2)解：．9．(1)19(2)【分析】（1）利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化、指數(shù)的運算法則進行求解；（2）利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化、指數(shù)的運算法則進行求解.(1)解：.(2)解：.10．（1）；（2）．【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行計算；（2）先利用平方差公式和完全平方公式進行化簡，再代入求值.【詳解】（1）；（2），因為，，所以.11．（1）；（2）答案見解析【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則計算即可；（2）利用作差法證明即可．【詳解】（1）原式＝．（2）證明：∵，∴，，∴，則有．12．（1）4；（2）27【分析】（1）對兩邊平方，求出，再對此式兩邊平方，化簡可得，從而代入可求結(jié)果，（2）將等式兩邊化為同底數(shù)冪的形式，然后可得關(guān)于的方程組，求出的值，從而可求得的值【詳解】（1）因為，所以，所以，所以，

所以，即，所以，所以．

（2）因為，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值為27．13．（1）-5；（2）14.【分析】（1）由題意利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，計算求得結(jié)果．（2）由題意兩次利用完全平方公式，計算求得結(jié)果．【詳解】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．14．（1）；（2）18.【分析】(1)根據(jù)指數(shù)冪的運算公式進行計算即可；（2）根據(jù)立方和公式和完全平方公式進行化簡.【詳解】（1）原式=；（2）已知,，而,代入上式得到：.15．（1）a；（2）；.【分析】（1）將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪，利用指數(shù)的運算法則即可化簡；（2）先將所求代數(shù)式利用平方差公式和完全平方式化簡，再代入，即可求解.【詳解】（1）；（2），因為，則，則原式=，因為，所以原式=.【點睛】本題主要考查了指數(shù)式的化簡，考查了指數(shù)的運算法則涉及完全平方公式，平方差公式，屬于基礎(chǔ)題.16．C【分析】根據(jù)根式運算公式和指數(shù)運算公式判斷各選項.【詳解】，A錯；，B錯；，C對；，D錯，故選：C.17．A【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)冪的運算，可得答案.【詳解】由于，為方程的兩個根,利用根與系數(shù)的關(guān)系，得，所以,故選:A18．B【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】取，滿足，而無意義，即不能推出；若，則必有，即成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B19．A【分析】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出，進而求出的取值范圍，然后確定的正負情況，再將移入根號內(nèi)即可.【詳解】，即，，.故選：A.20．D【分析】根據(jù)二次根式的運算求解.【詳解】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D21．(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪的定義將根式化為分數(shù)指數(shù)冪(1)(2)(3)(4)由于，即，故(5)(6)22．(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用實數(shù)指數(shù)冪的運算法則直接計算作答.(2)利用實數(shù)指數(shù)冪的運算法則結(jié)合單項式的除法法則直接計算作答.(3)將給定等式兩邊平方直接計算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，兩邊平方得，所以.23．A【分析】利用公式進行求解.【詳解】①正確；②，②錯誤；③，③錯誤；④，若，則，若，則，故④錯誤．故選：A24．A【分析】①中，取特殊情況時，否定結(jié)論；②中取特殊情況，n為奇數(shù)時，否定結(jié)論；③直接求出定義域即可.【詳解】①中，當(dāng)時，，，所以；故①錯誤.②中，當(dāng)n為奇數(shù)時，；故②錯誤.③中，定義域應(yīng)為．故③錯誤.故選：A25．C【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化公式逐個判斷即可.【詳解】A中，（），故A錯誤；B中，，故B錯誤；C中，（），故C正確；D中，（），故D錯誤．故選：C．26．B【分析】由有意義求出的取值范圍，然后根據(jù)根式的運算性質(zhì)化簡計算即可得答案【詳解】由有意義，得解得．所以所以．故選：B．27．B【分析】利用平方差公式結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)即可【詳解】因為，，，，，所以原式=故選：B28．CD【分析】根據(jù)分式與指數(shù)冪的互化逐項判斷可得答案.【詳解】，而，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：CD.29．ACD【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為對數(shù)的形式，利用對數(shù)運算、商比較法、基本不等式等指數(shù)對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】正數(shù)x，y，z滿足，設(shè)，則，，．對于A，，故A正確；對于B，，，，∵，∴，∵，∴，∴，故B錯誤；對于C，由（），兩邊平方，可得，故C正確；對于D，由，可得（），故D正確．故選：ACD30．BC【解析】根據(jù)根式運算和指數(shù)冪的運算法則求解判斷.【詳解】A.，故錯誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因為，所以，則，故錯誤；故選：BC31．ABD【解析】根據(jù)根式和分式指數(shù)冪的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化即可.【詳解】對于A，，左邊，右邊，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，由分式指數(shù)冪可得，則，故C正確；對于D，，故D錯誤.∴不正確的是A、B、D.故選：ABD.【點睛】本題為基礎(chǔ)題，考查負指數(shù)分數(shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)化運算.32．##【分析】將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再進行相關(guān)計算.【詳解】.故答案為：33．

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【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪的定義，將根式化為分數(shù)指數(shù)冪.【詳解】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.34．4【分析】由根式與有理數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)，求值即可.【詳解】由.故答案為：4.35．【分析】由二次根式的化簡求解【詳解】由題設(shè)得，，所以所以，．故答案為：36．【分析】利用根式化簡和指數(shù)冪運算法則進行化簡求值【詳解】故