3.3導數與極值、最值-2022屆高考數學一輪復習講義

3.3導數與函數的極值、最值學習目標1.理解函數的極值點、極值與最值概念；2.會求函數的極值與最值.知識要點1.極值點與極值的概念：函數在點處的函數值比它在點附近其他點的函數值都小，，且在點附近的左側，右側，則點叫做函數的極小值點，叫做函數的極小值.函數在點處的函數值比它在點附近其他點的函數值都大，，且在點附近的左側，右側，則點叫做函數的極大值點，叫做函數的極大值.極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.2.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在必有最大值與最小值；3.求函數在上的最值的步驟：求在內的極值；②將的各極值與，比較，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.三、典例分析例1.（1）函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖象如圖所示，則函數在開區(qū)間內有極小值點（）A.1個B.2個C.3個D.4個（2）設函數在上可導，其導函數，且函數在處取得極小值，則函數的圖象可能是（）【答案】（1）A；（2）A.例2.（1）已知函數在時有極值0，則______.（2）若函數在處取得極小值，則_______.【答案】（1）；（2）.例3．已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B例4.求下列函數的最值：（1）；（2）【答案】（1）當時，有最大值，當時，有最小值；（2）當時，有最大值，當時，有最小值.例5.已知函數在處取得極值.（1）求a、b的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值.【答案】（1）因故由于在點處取得極值，故有即，化簡得，解得；（2）由（1）知，令，得當時，故在上為增函數；當時，故在上為減函數當時，故在上為增函數．由此可知在處取得極大值，在處取得極小值由題設條件知得此時，.因此，上的最小值為.例6.已知函數．（1）求的單調區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）令，得．所以，的減區(qū)間是（）；單調增區(qū)間是（2）當，即時，函數在[0，1]上遞增，所以（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為當時，由（1）知上遞減，在上遞增，所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為；當，即時，函數在[0，1]上遞減，所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為四、課外作業(yè)1．函數是定義在上的可導函數，則“”是“是的極值點”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B2．設函數，則（）A.為的極大值點B.為的極小值點C.為的極大值點D.為的極小值點【答案】D3．設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是（）A．函數有極大值和極小值B．函數有極大值和極小值C．函數有極大值和極小值D．函數有極大值和極小值【答案】D4．設直線與函數的圖像分別交于點，則當達到最小時的值為（）A．1 B． C． D．【答案】D5．設，若函數，有大于零的極值點，則（）A． B． C． D．【答案】B6．若函數在處取極值，則_______.【答案】37．若是函數的極值點，則的極小值為________.【答案】8．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為______.【答案】9．設函數，其中.求的單調區(qū)間；（2）討論的極值.【答案】（1）當時，在，當時，在，，；（2）當時，在，無極值，當時，在，，，函數在處取得極大值1，在處，取得極小值.10．已知函數．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，所以，函數的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.11．已知當時，求的單調區(qū)間；若在區(qū)間的最小值為