3.3 冪函數-2020-2021學年高一數學同步練習和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊）

第三章函數的概念與性質3.3冪函數學習本節(jié)內容要從概念、圖象及性質理解冪函數.學習時還應掌握以下幾點:1.了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.2.通過具體實例,結合y=x,y=x-1,y=x2,y=x12,y=x3.能利用冪函數的單調性比較大小.一、基礎過關練題組一冪函數的概念1.下列函數是冪函數的是()A.y=2x2 B.y=x3+x C.y=3x D.y=x2.已知冪函數y=f(x)的圖象經過點4,14A.12 B.2 C.22 3.函數f(x)=(1-x)-12+(2x-1)A.(-∞,1] B.-∞,12C.(-∞,-1) D.14.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是冪函數,則a=,b=.

5.已知函數f(x)=(m2+2m)·xm(1)正比例函數?(2)反比例函數?(3)冪函數?題組二冪函數的圖象及其應用6.函數y=x437.如圖所示,曲線C1和C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是()A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>08.在同一平面直角坐標系中,函數y=xa和y=ax+1a(a≠0)的圖象可能是題組三冪函數的性質及其應用9.下列命題正確的是()A.冪函數y=xn的圖象都經過(0,0),(1,1)兩點B.當n=0時,函數y=xn的圖象是一條直線C.如果兩個冪函數的圖象有三個公共點,那么這兩個函數一定相同D.如果冪函數為偶函數,那么圖象一定經過點(-1,1)10.如果冪函數f(x)=xα的圖象過點(-2,4),那么f(x)的單調遞增區(qū)間是()A.(-∞,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,0] D.(-∞,0)∪(0,+∞)11.已知冪函數f(x)=(a2-2a-2)·xa在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞增函數,則a的值為()A.3 B.-1 C.-3 D.112.已知冪函數f(x)=(m2-5m+7)·xm-1為偶函數.(1)求函數f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是單調函數,求實數a的取值范圍.二、能力提升練題組一冪函數的概念與圖象1.若f(x)是冪函數,且滿足f(4)f(2)=4,則f1A.-4 B.4 C.-12 D.2.函數y=x123.已知當x∈[0,1]時,函數y=(mx-1)2的圖象與y=x+m的圖象有且只有一個交點,則正實數m的取值范圍是()A.(0,1]∪[23,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)4.對于冪函數f(x)=x45,若0<x1<x2,則fx1+A.fx1+B.fx1+C.fx1+D.無法確定5.已知冪函數f(x)=(m2-3m+1)xm2-4題組二冪函數的性質及其應用6.若冪函數y=f(x)的圖象經過點(-2,4),則f(x)在定義域內()A.為增函數 B.為減函數C.有最小值 D.有最大值7.已知冪函數f(x)=(m2-3m-3)x2m-3在區(qū)間(0,+∞)上是增函數,則m的值為()A.4 B.3C.-1 D.-1或48.已知函數f(x)=(2n-1)x-mA.2 B.3C.4 D.59.(多選)已知函數f(x)=xa的圖象經過點(4,2),則()A.函數f(x)在定義域內為增函數B.函數f(x)為偶函數C.當x>1時,f(x)>1D.當0<x1<x2時,f(x10.(多選)已知冪函數f(x)=xmn(m,n∈N*A.m,n是奇數時,f(x)是奇函數B.m是偶數,n是奇數時,f(x)是偶函數C.m是奇數,n是偶數時,f(x)是偶函數D.0<mn11.若點(2,2)在冪函數f(x)的圖象上,點2,1(1)求函數f(x)和g(x)的解析式;(2)定義h(x)=f(12.已知冪函數f(x)=x1m2(1)試確定該函數的定義域,并指明該函數在其定義域上的單調性;(2)若函數f(x)的圖象經過點(2,2),試確定m的值,并求滿足f(2-a)>f(a-1)的實數a的取值范圍.

答案全解全析基礎過關練1.Dy=2x2,y=x3+x,y=3x均不是冪函數,y=x12.A設冪函數為f(x)=xα,∵冪函數的圖象經過點4,14,∴14∴f(x)=x-1,∴f(2)=2-1=123.B依題意得1?x>0,2x-1≠0,4.答案25;解析由題意得2a+5.解析(1)若函數f(x)為正比例函數,則m2(2)若函數f(x)為反比例函數,則m2(3)若函數f(x)為冪函數,則m2+2m=1,∴m=-1±2.6.A∵y=x43=又∵43>1,∴y=x437.A由題中圖象可知,兩函數在第一象限內單調遞減,故m<0,n<0.由冪函數圖象的特點知n<m,故n<m<0.8.B∵在y=ax+1a中,a與1a同號,當a>0時,若x=0,則y=1a9.D對于A,冪函數y=xn的圖象都經過點(1,1),當n≤0時,不過點(0,0),故A不正確;對于B,當n=0時,冪函數y=xn的圖象是一條除去點(0,1)的直線y=1,故B不正確;對于C,當兩個冪函數的圖象有三個交點時,這兩個函數可以不相同.如y=x與y=x3有三個交點,但這兩個函數不相同,故C不正確;對于D,冪函數的圖象都經過點(1,1),若冪函數為偶函數,則其圖象一定經過點(-1,1),故D正確.故選D.10.B依題意得(-2)α=4=(-2)2,即α=2,∴f(x)=x2,∴f(x)的單調遞增區(qū)間是[0,+∞),故選B.11.A由題意知a2-2a-2=1,解得a=3或a=-1,由f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞增函數可知a>0,所以a=3,故選A.12.解析(1)由題意得m2-5m+7=1,即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.又f(x)為偶函數,所以m=3,即f(x)=x2.(2)由(1)知f(x)=x2,則g(x)=x2-ax-3.因為g(x)=x2-ax-3在[1,3]上不是單調函數,所以1<a2即a的取值范圍為(2,6).能力提升練1.D設f(x)=xα,則f(4)=4α=22α,f(2)=2α.∵f(4)f(2)=22α∴α=2,∴f(x)=x2,∴f12=1222.By=x12-1的定義域為[0,+∞),且為增函數,所以函數圖象從左到右是上升的,所以y=3.B當0<m≤1時,1m≥1,y=(mx-1)2在[0,1]上單調遞減,值域為[(m-1)2,1];y=x+m在[0,1]上單調遞增,值域為[m,1+m],此時兩個函數圖象有且僅有一個交點.當m>1時,0<1m<1,y=(mx-1)2在1m,1上單調遞增,所以要與y=4.A冪函數f(x)=x4設A(x1,0),C(x2,0),其中0<x1<x2,則AC的中點E的坐標為x1且|AB|=f(x1),|CD|=f(x2),|EF|=fx1+x∴fx1+x5.答案3解析依題意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.當m=0時,f(x)=x,其圖象經過原點,不符合題意;當m=3時,f(x)=x-2,其圖象不經過原點,符合題意,因此實數m的值為3.6.C設冪函數f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4,所以α=2,即f(x)=x2,所以函數f(x)在定義域內有最小值0.故選C.7.A∵f(x)=(m2-3m-3)x2m-3是冪函數,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.當m=-1時,f(x)=x-5,其在區(qū)間(0,+∞)上是減函數,不合題意;當m=4時,f(x)=x5,其在區(qū)間(0,+∞)上是增函數,滿足題意.所以m=4,故選A.8.A因為函數f(x)為冪函數,所以2n-1=1,所以n=1.因為函數f(x)在(0,+∞)上是單調遞增的,所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3.又因為m∈N,所以m=0,1,2.當m=0或m=2時,函數f(x)為奇函數,不合題意,舍去;當m=1時,f(x)=x4,為偶函數,符合題意.故m=1.所以m+n=1+1=2.故選A.9.ACD由題意得4a=2,解得a=12,所以f(x)=x12=x.易得函數f(x)在[0,+∞)上單調遞增,且為非奇非偶函數,故A正確,B錯誤;當x>1時,f(x)=x解題模板函數的“凹凸性”:設A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),當自變量取x1,x2的平均數x1+x22時,圖象上點的縱坐標為fx1+x22,線段AB的中點坐標為10.ABf(x)=xmn=nx