3.2.2 雙曲線的幾何性質（九大題型）（解析版）

3．2．2雙曲線的幾何性質課程標準學習目標能類比橢圓性質的研究，利用方程推出雙曲線的一些幾何性質，進一步體會數(shù)形結合思想．（1）掌握雙曲線的幾何性質．（2）理解雙曲線離心率的定義、取值范圍和漸近線方程．知識點01雙曲線的簡單幾何性質雙曲線（a>0，b>0）的簡單幾何性質范圍，即或雙曲線上所有的點都在兩條平行直線和的兩側，是無限延伸的．因此雙曲線上點的橫坐標滿足或．對稱性對于雙曲線標準方程（，），把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以雙曲線（a>0，b>0）是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心．頂點①雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點．②雙曲線（，）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為，，頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點．③兩個頂點間的線段叫作雙曲線的實軸；設，為y軸上的兩個點，則線段叫做雙曲線的虛軸．實軸和虛軸的長度分別為，．叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的虛半軸長．①雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線的焦點總在實軸上．③實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．離心率①雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作．②因為，所以雙曲線的離心率．由，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊．所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度．③等軸雙曲線，所以離心率．漸近線經(jīng)過點、作y軸的平行線，經(jīng)過點、作x軸的平行線，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是．我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．【即學即練1】（多選題）（2023·高二課時練習）雙曲線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】雙曲線的焦點在軸上，因為，所以，所以左頂點為，右頂點為.故選：AB.知識點02雙曲線兩個標準方程幾何性質的比較標準方程圖形性質焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程知識點詮釋：雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．對于雙曲線，不一定大于，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．【即學即練2】（多選題）（2023·廣東深圳·高二?？茧A段練習）已知雙曲線的焦距為4，焦點到漸近線的距離是1，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為B．的標準方程為C．的漸近線方程為D．直線經(jīng)過的一個焦點【答案】ABD【解析】由題意得：雙曲線的焦點坐標為，漸近線方程為，即，則，解得：，則，解得：，所以的離心率為，A正確；的標準方程為，B正確；的漸近線方程為，C錯誤；在直線上，故經(jīng)過的一個焦點，D正確.故選：ABD知識點03雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程．（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（，焦點在軸上，，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為．【即學即練3】（2023·陜西商洛·高二?？计谀┤鐖D1，北京冬奧會火種臺以“承天載物”為設計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實軸所成銳角的正切值為．

【答案】【解析】如圖所示，設雙曲線的標準方程為，因為最小直徑為，可得，即，又因為尊高，上口直徑為，底部直徑為，設點，所以且，解得，即，可得雙曲線的漸近線為，所以漸近線與實軸所成銳角的正切值為.故答案為：.知識點04雙曲線中a，b，c的幾何意義及有關線段的幾何特征：雙曲線標準方程中，、、三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．雙曲線，如圖：（1）實軸長，虛軸長，焦距，（2）離心率：；（3）頂點到焦點的距離：，；（4）中結合定義與余弦定理，將有關線段、、和角結合起來．（5）與焦點三角形有關的計算問題時，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角結合起來，建立、之間的關系．【即學即練4】（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的焦距為為其左右兩個焦點，直線l經(jīng)過點且與漸近線平行，若l上存在第一象限的點P滿足，則雙曲線C離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為滿足的所有點在以為焦點，長軸長為，短軸長為的雙曲線，即上.故若l上存在第一象限的點P滿足，則雙曲線與直線l有交點即可.又直線，數(shù)形結合可得，當或的經(jīng)過一象限的漸近線的斜率即可，兩種情況均有，故，故離心率故選：A知識點05直線與雙曲線的位置關系判斷將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關于的一元二次方程，1、當，即時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點；2、當，即時，設該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；若，直線與雙曲線相切，有一個公共點；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；注意：直線與雙曲線有一個公共點時，可能相交或相切．【即學即練5】（2023·全國·高二課堂例題）過點且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條？分別求出它們的方程.【解析】若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時僅有一個交點，滿足條件，若直線的斜率存在，設直線的方程為，則，代入到雙曲線方程，得，所以，當時，方程無解，不滿足條件；當時，方程有一解，滿足條件；當時，令，化簡后知方程無解，所以不滿足條件.所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為和.題型一：雙曲線的簡單幾何性質例1．（多選題）（2023·高二課時練習）下列關于雙曲線的判斷，正確的是（

）A．頂點坐標為 B．焦點坐標為C．實軸長為 D．漸近線方程為【答案】ACD【解析】對于雙曲線，，，則，對于A選項，雙曲線的頂點坐標為，A對；對于B選項，雙曲線的焦點坐標為，B錯；對于C選項，雙曲線的實軸長為，C對；對于D選項，雙曲線的漸近線方程為，即，D對.故選：ACD.例2．（多選題）（2023·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學?？茧A段練習）已知雙曲線，則（

）A．實軸長為1 B．虛軸長為2C．離心率 D．漸近線方程為【答案】BCD【解析】由可知，，故實軸長為，虛軸長為，離心率，漸近線方程為，即.故選：BCD例3．（多選題）（2023·廣西崇左·高二?？计谥校┫铝嘘P于雙曲線的結論中，正確的是（

）A．離心率為 B．焦距為C．兩條漸近線互相垂直 D．焦點到漸近線的距離為1【答案】ACD【解析】雙曲線，可得，，，則雙曲線的離線率為，故A正確；焦距，故B錯誤；漸近線為與，且斜率之積為-1，即兩條漸近線互相垂直，故C正確；焦點到漸近線的距離為，故D正確；故選：ACD.變式1．（多選題）（2023·貴州黔東南·高二校考階段練習）已知雙曲線，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的實軸長為 B．雙曲線的焦距為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的漸近線方程為【答案】BC【解析】雙曲線，則，雙曲線的實軸長為，故A錯誤；雙曲線的焦距為，故B正確；雙曲線的離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，故D錯誤．故選：BC．變式2．（多選題）（2023·湖南郴州·高二?？计谀┮阎p曲線：，則下列選項中正確的是（

）A．的焦點坐標為 B．的頂點坐標為C．的離心率為 D．的焦點到漸近線的距離為3【答案】BC【解析】由已知，雙曲線的焦點在軸上，且，，則，所以，，，所以的焦點坐標為、，故A項錯誤；頂點坐標為、，故B項正確；離心率，所以C項正確；漸近線方程為與，焦點到漸近線的距離為，所以D項錯誤.故選：BC.題型二：雙曲線的漸近線例4．（2023·江西南昌·高二南昌市八一中學?？茧A段練習）求雙曲線的漸近線為.【答案】【解析】雙曲線的標準方程為，所以，且雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為.故答案為：.例5．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習）若雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點，則雙曲線C的標準方程是．【答案】【解析】由雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，可設雙曲線C的方程為，又C過點，所以，，整理得雙曲線C的標準方程是．故答案為：例6．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知圓C的半徑為3，它與雙曲線的兩條漸近線均相切，且與該雙曲線的右支相交，則圓C的方程為．【答案】【解析】由雙曲線可知，且焦點在x軸上，所以漸近線方程為，即，由題意可設圓心，則，解得或（舍去），所以圓C的方程為.故答案為：.變式3．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則a的值為．【答案】4【解析】由雙曲線標準方程特征知，雙曲線的漸近線方程為，由已知可得漸近線與直線垂直，所以，所以．故答案為：.變式4．（2023·遼寧朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線，其一條漸近線被圓截得的弦長為，則該雙曲線的虛軸長為.【答案】【解析】依題意知的漸近線方程為：．不妨取漸近線，則圓心,到的距離．由勾股定理得，解得，，，故虛軸長為故答案為：變式5．（2023·上海嘉定·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點，且，則該雙曲線的實軸長為.【答案】【解析】令，可得：，不妨設雙曲線的一條漸近線為，設圓的圓心為，則圓心到直線的距離為：，則，解得：，即，所以，則，因為，所以.雙曲線的實軸長為.故答案為：變式6．（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點A在C上，點B在y軸上，，且，則C的離心率為．【答案】/【解析】因為，設，則有根據(jù)雙曲線的定義，因為，所以在直角三角形與直角三角形，又因為由此解得所以，故答案為：.變式7．（2023·廣東深圳·高二?？计谥校╇p曲線的一條漸近線方程為，則其離心率是.【答案】/【解析】由題意知，又因為在雙曲線中，，所以，故（負舍），故答案為：.題型三：求雙曲線離心率的值例7．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┰O分別為雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上關于軸對稱的不同兩點，設直線的斜率分別為，若，則雙曲線的離心率.【答案】【解析】由題意可得，設，由題意可得，由在雙曲線上，則，所以，由題意可得，所以，由題意可得，可得，所以離心率.故答案為：例8．（2023·高二課時練習）已知圓的圓心為雙曲線的一個焦點，半徑為雙曲線的實半軸長.若圓與雙曲線的一條漸近線交于點，且，則雙曲線的離心率為.【答案】【解析】不妨設雙曲線，圓，由得：，；取雙曲線的一條漸近線，即，到漸近線的距離，，解得：，雙曲線的離心率.故答案為：.例9．（2023·高二單元測試）設是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點．過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】如圖所示：設雙曲線的一條漸近線方程為，因為焦點到漸近線的距離為，所以，則，所以，因為，所以，解得：.故答案為：.變式8．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線C：，過雙曲線C的右焦點F作直線交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第四象限，且滿足，，則雙曲線C的離心率為.【答案】/【解析】雙曲線C：的右焦點，漸近線方程為，設，因為，所以，所以，即①，②又分別在漸近線上，所以代入②可得：，再代入①得故，則，所以整理得：，又，所以，則，即，故，所以，則雙曲線C的離心率.故答案為：.變式9．（2023·全國·高二專題練習）設為雙曲線C：的左、右焦點，過左焦點的直線與在第一象限相交于一點P，若，且直線傾斜角的余弦值為，則的離心率為．【答案】【解析】設直線的傾斜角為α，則，由P在第一象限內，且，則，∴，由余弦定理可得，整理得，則，解得或（舍去）.故答案為：題型四：求雙曲線離心率的范圍例10．（2023·全國·高二專題練習）如果雙曲線右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點距離相等的兩個相異點，則雙曲線離心率的取值范圍是．【答案】【解析】如圖，因為，F(xiàn)點坐標為，所以，又A在右支上且不在頂點處，所以，所以.故答案為：例11．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）橢圓與雙曲線有公共的焦點、，與在第一象限內交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，設雙曲線的實軸長為，因為與在第一象限內交于點，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因為，則，故.故選：B.例12．（2023·陜西西安·高二西安中學?？茧A段練習）中心在原點的橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，，為與在第一象限的交點，且，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】設橢圓方程為：，由題意有：，設雙曲線方程為，同理可得,由有：.本題選擇C選項.變式10．（2023·江蘇揚州·高二揚州中學校考階段練習）已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，O為坐標原點，點P為雙曲線C中第一象限上的一點，的平分線與x軸交于Q，若，則雙曲線的離心率范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設雙曲線的半焦距為，離心率為，由，則，，因為是的平分線，所以,又因為，所以，所以，解得，即，所以雙曲線的離心率取值范圍為.故選：B變式11．（2023·高二課時練習）已知雙曲線（，）與直線有交點，則雙曲線的離心率的范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線（，）與直線有交點，應有，所以解得故選C.考點：雙曲線的簡單幾何性質.變式12．（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左焦點為，右頂點為，一條漸近線與圓在第一象限交于點，交軸于點，且，則的離心率為（

）A． B．2C． D．【答案】C【解析】如圖所示，連接，由雙曲線的漸近線方程為，根據(jù)題意，點在第一象限，將代入，可得，可得由求根公式，可得，因為，且，所以，所以點由，可得，即，因為，所以，即，化簡得，兩邊同除以，得，解得或（舍去）．故選：C.變式13．（2023·高二課時練習）已知雙曲線左，右焦點分別為，若雙曲線右支上存在點使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得點不是雙曲線的頂點，否則無意義在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，因為點在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質可得，所以，化簡得，所以，解得，因為，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C變式14．（2023·山西晉城·高二?？茧A段練習）已知雙曲線的左，右焦點分別為，P是右支上一點，且，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由雙曲線的幾何性質可知，由條件可知，，在中，，即，；當點P位于雙曲線的右頂點時，也滿足題意，即，，由雙曲線的幾何性質知，所以離心率的取值范圍是；故選：C.變式15．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，若的最小值為，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，是左、右焦點，為雙曲線左支上的任意一點，所以，代入得，當且僅當時取等號，即，又點是雙曲線左支上任意一點，所以，即，.故選：C．題型五：直線與雙曲線的位置關系例13．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線，直線，求直線l與雙曲線C的公共點的坐標．【解析】直線與雙曲線的公共點的坐標就是方程組的解．解這個方程組，得，．因此，所求公共點的坐標為，．例14．（2023·全國·高二課堂例題）討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．【解析】聯(lián)立直線和雙曲線方程，消去y得．整理得，若，則方程①變?yōu)?，無解，此時直線與雙曲線無公共點．事實上，此時直線為，就是雙曲線的漸近線，自然與雙曲線無公共點．若，即直線平行于兩條漸近線中的一條，方程①成為一元一次方程，有唯一解，原方程組有唯一一組解，此時直線與雙曲線有一個公共點．綜上可知，時，無公共點；時，有一個公共點．例15．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線E的兩個焦點分別為，并且E經(jīng)過點.(1)求雙曲線E的方程；(2)過點的直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點，求直線l的方程.【解析】（1）由已知可設雙曲線E的方程為，則，解得，所以雙曲線E的方程為.（2）當直線l的斜率不存在時，顯然不合題意，所以可設直線l的方程為，如圖，聯(lián)立，得（*），①當，即或時，方程（*）只有一解，所以直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點，此時，直線l的方程為；②當，即時，要使直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點，則，解得，此時，直線l的方程為.綜上所述，直線l的方程為或.變式16．（2023·全國·高三專題練習）設直線與雙曲線的方程分別為和，當實數(shù)取何值時，直線與雙曲線分別有兩個公共點？一個公共點？沒有公共點．

【解析】將直線方程代入雙曲線方程，得．①當，即時，方程①有兩個不同的實根，直線與雙曲線有兩個不同的公共點；當，即時，方程①無解，直線與雙曲線沒有公共點；直線與雙曲線只有一個公共點的情況不存在．綜上：時，直線與雙曲線分別有兩個公共點；時，直線與雙曲線沒有公共點；直線與雙曲線只有一個公共點的情況不存在．變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線，直線，試確定實數(shù)k的取值范圍，使：(1)直線l與雙曲線有兩個公共點；(2)直線l與雙曲線有且只有一個公共點；(3)直線l與雙曲線沒有公共點．【解析】（1）聯(lián)立，消整理得，（*）因為直線l與雙曲線C有兩個公共點，所以，整理得解得：或或.（2）當即時，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程（*）化為，故方程（*）有唯一實數(shù)解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個公共點，滿足題意．當時，因為直線l與雙曲線C僅有一個公共點，則，解得；綜上，或.（3）因為直線l與雙曲線C沒有公共點，所以，解得：或.題型六：弦長問題例16．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的右焦點F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點，則弦長．【答案】8【解析】由雙曲線，得，，焦點為，傾斜角，法一：直線斜率，直線方程為，聯(lián)立消得，，由韋達定理知，代入弦長公式，得.法二：.故答案為：8.例17．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左，右焦點分別為，，離心率為，過作漸近線的垂線交C于A，B兩點，若，則的周長為．【答案】18【解析】由題意可得：焦點在x軸上，，則雙曲線C：，漸近線，不妨設直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，解得，可得，由雙曲線的定義可得，則，可得，所以的周長.故答案為：.例18．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，與x軸交于點P，若，則點P的坐標為.【答案】【解析】雙曲線雙曲線：的漸近線方程為，而直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為，可設直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，化簡可得，由，得或．設，，則，，則，所以，，解得：（舍去）或，所以直線的方程為，令，可得.故點P的坐標為.故答案為：.變式18．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于、兩點，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】記，若直線與軸重合，此時，；若直線軸時，將代入雙曲線方程可得，此時，當時，則，此時，；當，可得，則，所以，雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為；當直線與軸不重合時，記，則點，設直線的方程為，其中，設點、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達定理可得，，所以，，即，所以，關于的方程由四個不等的實數(shù)解.當時，即當時，可得，可得，整理可得，因為，解得；當時，即當，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.變式19．（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，分別在雙曲線的左支與右支上，且點，與點共線，若，則.【答案】【解析】因為，設，，由雙曲線定義可得，所以，即，，即.故答案為：.變式20．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學校考開學考試）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有條．【答案】3【解析】由題知雙曲線的標準方程為，所以，雙曲線的右焦點為，所以，設直線的方程為，聯(lián)立方程得所以，，，設，則，所以，由弦長公式得，所以，，即或，解得或，此時直線的方程為或.綜上，滿足條件的直線的方程為或，共3條.故答案為：3變式21．（2023·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，點是雙曲線上一點連接，過點作交雙曲線于點B，且，則．【答案】5【解析】由點是雙曲線上一點和雙曲線的離心率為，得，解得，所以，c＝2，所以，．所以直線的斜率為，因為，所以直線的斜率為．p設直線的傾斜角為，則，所以，即，因為，為銳角，所以．連接，在中，由余弦定理得，又，所以，所以．故答案為：5題型七：中點弦問題例19．（2023·全國·高三專題練習）已知，直線相交于點M，且它們的斜率之積是3.(1)求點M的軌跡C的方程；(2)過點能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P，Q，且點N是線段的中點？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．【解析】（1）設，∵，，∴，整理得即點M的軌跡C的方程．（2）若能作出直線m，則直線m的斜率存在，設為k，設則，兩式相減得整理可∵N是線段的中點，即，故直線m的方程為，即，將直線方程代入雙曲線方程可得，此時直線與雙曲線不相交．故不能作出這樣的直線m．例20．（2023·全國·高三專題練習）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求直線l的方程．【解析】設，，中點的坐標為，則①，②，②－①得，，即，又，所以，所以直線l的方程為，即.聯(lián)立，得，則，綜上，直線l的方程為.例21．（2023·全國·高二隨堂練習）已知雙曲線，過點作直線交雙曲線于，，若線段的中點在直線上，求直線的斜率．【解析】由題意可設的方程為，聯(lián)立，消去整理得．顯然，設，，則，解得，由解得，顯然不適合，適合，所以．變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的中心在原點，且它的一個焦點為，直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，求此雙曲線的方程．【解析】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，由直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標為，得的中點為，則，由且，兩式相減得，則，即，所以，聯(lián)立，解得，，故所求雙曲線的方程為．變式23．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.【解析】因為該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，故可設直線的方程為，且設該直線被雙曲線截得的弦AB對應的中點為，，.由得.則，即，且，所以，即，，且，，所以，.由，即，，代入消去k得.又，且，，故或.故弦AB的中點的軌跡方程為（或）.變式24．（2023·全國·高三專題練習）已知焦點在軸上的雙曲線實軸長為，其一條漸近線斜率為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點能否作直線，使直線與所給雙曲線交于、兩點，且點是弦的中點？如果直線存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．【解析】（1）因為雙曲線的焦點在軸上，設該雙曲線的標準方程為，因為該雙曲線的實軸長為，一條漸近線斜率為，則，解得，因此，該雙曲線的標準方程為.（2）假定直線存在，設以為中點的弦的兩端點為、，則有，．根據(jù)雙曲線的對稱性知．由點、在雙曲線上，得，，兩式相減得，所以，所以，即以為中點的弦所在直線的斜率，故直線的方程為，即．聯(lián)立，消去得，，因此直線與雙曲線無交點，故滿足條件的直線不存在．變式25．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經(jīng)過點.(1)求C的標準方程；(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線C的右焦點為，所以，可得，又因為雙曲線C的一條漸近線經(jīng)過點，可得，即，聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線C的標準方程為.（2）假設存在符合條件的直線，易知直線l的斜率存在，設直線的斜率為，且，則，兩式相減得，所以，因為的中點為，所以，所以，解得，直線的方程為，即，把直線代入，整理得，可得，該方程沒有實根，所以假設不成立，即不存在過點的直線與C交于兩點，使得線段的中點為.題型八：定點定值問題例22．（2023·廣東深圳·高二深圳外國語學校?？茧A段練習）已知雙曲線的焦距為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標準方程；(2)點是雙曲線上異于點的兩點，直線與軸分別相交于兩點，且，求證：直線過定點，并求出該定點坐標.【解析】（1）由題意知，解得，，，雙曲線的方程為.（2）證明：設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，得，則，，所以直線方程為，令，則，同理直線方程為，令，則，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，當時，，此時直線方程為，恒過定點，不符合題意；當時，直線方程為，恒過定點符合題意，綜上所述，直線過定點.例23．（2023·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學考試）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，且．(1)求雙曲線的方程．(2)已知點，兩個不重合的動點，在雙曲線上，直線，分別與軸交于點，，點在直線上，且，試問是否存在定點，使得為定值？若是，求出點的坐標和；若不存在，請說明理由．【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，雙曲線上一點到漸近線距離之積為，由題知，．因為，所以，故雙曲線的方程為．（2）顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，，，聯(lián)立方程組整理得，則，，，，直線的方程為，令，則，得，同理得，由，可得，所以，所以，整理得．當，即時，直線的方程為，過點，與矛盾，舍去；當時，直線的方程為，恒過點，設的中點為，則，因為，所以，為定值．故存在，使為定值．例24．（2023·全國·高二專題練習）已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.【解析】（1）設到漸近線，即的距離為，則，結合得，又在雙曲線上，所以，得，所以雙曲線的標準方程為.（2）聯(lián)立，消去并整理得，則，，即，設，，則，，則，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因為直線不過，即，，所以，即，所以直線，即過定點.變式26．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知點在雙曲線C：上，過C的右焦點F的動直線l與C交于A，B兩點．(1)若點，分別為C的左、右頂點，Q為C上異于，的點，求（k表示斜率）的值；(2)證明以為直徑的圓恒過x軸上的定點，并求該定點的坐標．【解析】（1）∵點在雙曲線C：上∴，解得，∴雙曲線C的方程為，則，．設Q點坐標為，則，，∴．∵點Q在雙曲線C上，∴，∴．（2）設以AB為直徑的圓與x軸的交點為．由（1）可知雙曲線的右焦點F為．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，，，∵，∴，整理得到①．由，消去y可得．∵直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，∴且，∴．由題設有①對任意的總成立，∵，，∴①可轉化為，整理得到對任意的總成立，故，解得，即點M的坐標為．當直線l的斜率不存在時，，此時，或，，則，即M在以為直徑的圓上．綜上，以為直徑的圓恒過x軸上的定點，且定點的坐標為．變式27．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且左焦點到漸近線的距離為，直線經(jīng)過且互相垂直（斜率都存在且不為0），與雙曲線分別交于點和分別為的中點.(1)求雙曲線的方程；(2)證明：直線過定點.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，所以，左焦點到漸近線的距離為，所以，又，聯(lián)立得，解之得，所以雙曲線的方程為.（2）設直線的方程為，令聯(lián)立，整理得，，所以，所以，，則，設直線的方程為，令聯(lián)立，整理得，，所以，所以，，則，當，即時，直線的方程為.當時，直線的斜率為，直線的方程為，即，所以直線過點，又直線過點，綜上，直線過定點.變式28．（2023·福建廈門·高二廈門一中校考期中）已知雙曲線：實軸長為4（在的左側），雙曲線上第一象限內的一點到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點，記直線，的斜率為，，請從下列的結論中選擇一個正確的結論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值【解析】（1）設是上的一點，與是的兩條漸近線，到兩條漸近線的距離之積，依題意，，故，雙曲線的標準方程為；（2）正確結論：③為定值.證明如下：由（1）知，，設，，因為，不與，重合，所以可設直線：，與聯(lián)立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.變式29．（2023·全國·高二課堂例題）設F是雙曲線：的左焦點，經(jīng)過F的直線與相交于M，N兩點．(1)若M，N都在雙曲線的左支上，求面積的最小值．(2)是否存在x軸上一點P，使得為定值?若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【解析】（1）設直線MN的方程為，，．由可得，由根與系數(shù)的關系可知，①．此時．原點O到直線MN的距離為，此時．由M，N都在雙曲線的左支上知，，得，令，則，由于，所以當，即時，此時取最大值，則，當，即時，等號成立．（2）假設存在這樣的定點．當直線的斜率不為0時，由（1）知②．將①代入②可得，此時要想為定值，則，得，從而．即存在這樣的定點滿足題意．當直線的斜率為0時，易知，若，則，滿足題意.綜上，存在滿足題意．變式30．（2023·江西南昌·高二南昌十中校考期中）已知雙曲線C經(jīng)過點，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)點A為雙曲線C的左頂點，過點作直線交雙曲線C于M、N兩點，試問，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【解析】（1）由漸近線方程為，可設雙曲線方程為，將點代入雙曲線方程中可得，故雙曲線方程為（2）由題意可知：直線有斜率，設其方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，設,則，由于,則，所以將代入可得，由于點在直線上，所以，此時，只需要，即可，因此,故直線AM與直線AN的斜率之和為定值.變式31．（2023·江蘇南京·高二?？计谥校┮阎c在雙曲線上，直線（不過點）的斜率為，且交雙曲線于、兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線、的斜率之和為定值.【解析】（1）將點的坐標代入雙曲線的方程可得，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）證明：由題意，設直線的方程為，設、，聯(lián)立可得，，解得或，由韋達定理可得，，所以，.可得直線、的斜率之和為.題型九：最值問題例25．（2023·全國·高二期中）已知雙曲線實軸的一個端點是，虛軸的一個端點是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個不同的交點是坐標原點，求的面積最小值.【解析】（1）設點，點，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）設，把代入，得，則，，，點到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因為，所以，由，得，由，得，由，得，即當時，等號成立，此時滿足，所以面積的最小值為.例26．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．例27．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，（，）的實軸長為2，且過點，其中為雙曲線的離心率．(1)求的標準方程；(2)過點且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于點，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，（為坐標原點）的斜率分別為，，求的最小值．【解析】（1）因為雙曲線的實軸長為2，則，由雙曲線過點，且，則，即，解得，故雙曲線的標準方程為．（2）設直線，，，由題意可知，聯(lián)立方程，整理得，由題意可得，解得或，則，．可得，，則，所以．因為，則，整理得，則，即，則．所以，即．∴，當且僅當，即或時，等號成立，此時或，均滿足與的左、右兩支分別相交．∴的最小值為6．變式32．（2023·湖北荊州·高二沙市中學?？茧A段練習）已知為坐標原點，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且的最小值為6，(1)求雙曲線方程(2)求面積的最小值【解析】（1）依題意得，當軸時，取得最小值，不妨設，則，故，則，所以，則，又，則，聯(lián)立，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）得，設，，直線，因為雙曲線的漸近線為，又由直線與雙曲線的右支交于兩點，所以，則，從而，聯(lián)立，得，則，，，所以，設，則，，令，易得在上單調遞減，則，所以，即面積的最小值為.變式33．（2023·高二課時練習）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，，的最小值，，且滿足．(1)求雙曲線的離心率；(2)若，過點的直線交雙曲線于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點（異于坐標原點），求的最小值．【解析】（1）由題意知，．由雙曲線的性質知，，∴，∴，故雙曲線的離心率．（2）當時，，．∴雙曲線的方程為，．由題知直線的斜率存在，設為，則，直線的方程為．聯(lián)立消去并整理，得．設，，則，，∴．又∵，線段的中點的坐標為，∴線段的垂直平分線的方程為．令，得，∴點的坐標為，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為．變式34．（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓的方程；(2)若直線交橢圓于兩點，點為橢圓上的一點，求的面積取最大值時的直線方程.【解析】（1）易知雙曲線的離心率為，所以在橢圓中，，得，所以，所以橢圓的方程為.（2）不妨設，，聯(lián)立方程組得，由得，由韋達定理知，所以，將代入橢圓方程得，，解得，又到直線AB的距離為，所以，當且僅當，即時取等號.所以的面積取最大值時的直線方程為或.變式35．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，點，點.以G為圓心作一個半徑為6的圓，點P是圓上一動點，線段AP的垂直平分線與直線GP相交于點Q.(1)求Q的軌跡方程；(2)過原點斜率為的直線l交曲線Q于B，C兩點，求四邊形GBAC面積的最大值.【解析】（1）如下圖所示，由題意可知點Q在線段AP的垂直平分線，所以，又點P是圓G上一動點，所以，所以；同理，若如下圖所示則滿足，所以，Q的軌跡滿足，根據(jù)雙曲線定義可知，Q點的軌跡是以為左右焦點，實軸長為的雙曲線，可得，；所以Q的軌跡方程.（2）如下圖所示，設直線l的方程為，聯(lián)立整理可得，解得，不妨設，所以四邊形GBAC面積又因為，所以，當時等號成立；即，所以四邊形GBAC面積的最大值為.變式36．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期中）設橢圓：的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若橢圓左、右焦點分別為，過的直線與橢圓相交于兩點，求面積的最大值．【解析】（Ⅰ）由題知，雙曲線的離心率為，所以，橢圓的離心率為，解得則橢圓的方程為，代入得，，所以，橢圓的方程為（Ⅱ）根據(jù)題意，設過的直線，與聯(lián)立得，設，由韋達定理得：，所以，設到直線的距離（當且僅當）所以，面積的最大值為一、單選題1．（2023·江蘇南京·高二金陵中學?？茧A段練習）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得：雙曲線漸近線斜率為，則其漸近線方程為：．故選：C2．（2023·江蘇南京·高二南京外國語學校?？茧A段練習）已知雙曲線的離心率為2．則（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【解析】由，則，因為，,解得，故選:A.3．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右焦點為為虛軸上端點，是中點，為坐標原點，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由題意，在雙曲線C:中，右焦點為，F(xiàn)N垂直于軸，由題意可知：，因為是BF中點，則，可得，且三點共線，則∥，可得，即,所以.故選：A.4．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學校聯(lián)考階段練習）雙曲線：的右頂點為A，點A到直線距離為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，且，所以.又，所以，，所以，.故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習）在幾何學中，單葉雙曲面是通過圍繞其主軸旋轉雙曲線而產(chǎn)生的表面.由于有良好的穩(wěn)定性和漂亮的外觀，單葉雙曲面常常應用于一些大型的建筑結構，如發(fā)電廠的冷卻塔.已知某發(fā)電廠的冷卻塔的立體圖如圖所示，塔的總高度為150m，塔頂直徑為80m，塔的最小直徑（喉部直徑）為60m，喉部標高（標高是地面或建筑物上的一點和作為基準的水平面之間的垂直距離）為110m，則該雙曲線的離心率約為（精確到0.01）（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標系，設雙曲線標準方程為，根據(jù)題意，可得，所以，由塔的總高度為150m，塔頂直徑為80m，塔的最小直徑60m，喉部標高為110m，可得點在該雙曲線上，，可得，所以，可得，所以，結合選項，可得B項符合題意.故選：B.6．（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學?？茧A段練習）設是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線，可得，漸近線方程為，如圖所示，則焦點到漸近線的距離為，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.7．（2023·四川成都·高三?？茧A段練習）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點P滿足，則雙曲線離心率的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】設，雙曲線的半焦距為c，則有，，，于是，因此，當且僅當時取等號，則，即，離心率，所以雙曲線離心率的最小值為.故選：D8．（2023·全國·高三專題練習）過原點的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點（點A在第一象限），交x軸于C點，直線BC交雙曲線于點D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為直線過原點，所以關于原點對稱，設，因為與軸垂直，所以，設，則，而所以，，所以，所以漸近線方程為.故選：D二、多選題9．（2023·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習）已知曲線的方程為（

）A．當時，曲線是焦點坐標為的橢圓B．當時，曲線為雙曲線，其漸近線方程為C．不存在實數(shù)，使得曲線為離心率為的雙曲線D．“”是“曲線為橢圓”的必要不充分條件【答案】BCD【解析】對A：當時，曲線的方程為，表示焦點在軸上的橢圓，，故曲線是焦點坐標為，故A錯誤；對B：當時，曲線的方程為，表示雙曲線，其漸近線方程為，故B正確；對C：若雙曲線的離心率為，則，則，要使得曲線為雙曲線，則，即或，當時，雙曲線方程為，若離心率為，則，無解，當時，雙曲線方程為，若離心率為，則，無解，所以不存在實數(shù)，使得曲線為離心率為的雙曲線，故C正確；對D：若方程為橢圓，則，解得且，所以由得不到曲線為橢圓，由曲線為橢圓可以得到，故“”是“曲線為橢圓”的必要不充分條件，故D正確.故選：BCD10．（2023·河北滄州·?？既＃┮阎?，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內一點，且，，關于的平分線的對稱點恰好在上，則（

）A．的實軸長為2B．的離心率為C．的面積為D．的平分線所在直線的方程為【答案】ACD【解析】由題意，在中，∵關于的平分線的對稱點恰好在上，∴，，三點共線，且，∵，∴.設，，根據(jù)雙曲線定義可得，，解得，，即，∴.在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得，∴的實軸長為2，所以A正確；又，，∴的離心率為，所以B不正確；的面積為，∴C正確；∵，∴，∵，易得的平分線的傾斜角為，∴的平分線所在直線的方程為，即，所以D正確.故選：ACD.11．（2023·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的焦點分別為，則下列結論正確的是（

）A．漸近線方程為B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數(shù)C．若雙曲線上一點滿足，則的周長為28D．若從雙曲線的左?右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6【答案】CD【解析】設雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距，由題意可知：，且焦點在x軸上，對于選項A：雙曲線的漸近線方程為，即，故A錯誤；對于選項B：雙曲線的離心率，設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距，則，可得橢圓的離心率，且，所以雙曲線與橢圓的離心率不互為倒數(shù)，故B錯誤；對于選項C：由雙曲線的定義可知：，可得，所以的周長為，故C正確；對于選項D：若從雙曲線的左?右支上任取一點，由雙曲線的對稱性可知這兩點的最短距離為，故D正確；故選：CD.12．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的上焦點為，過焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】當時，兩漸近線的斜率為，此時直線與另一漸近線平行，不滿足題意.當時，如圖1所示，.，又，解得，，，，即漸近線的斜率為，當時，如圖2所示，設與軸交于點P，，，又，解得，即漸近線的斜率為，綜上，雙曲線的離心率為或.故選：AC.三、填空題13．（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線，過其上焦點的直線與圓相切于點A，并與雙曲線的一條漸近線交于點不重合）．若，則雙曲線的離心率為．【答案】/【解析】由題意得，漸近線方程，設過其上焦點的直線方程為，