2.7.1 拋物線的標準方程 題組訓練-2021-2022學年高二上學期數(shù)學人教B版（2019）選擇性必修第一冊第二章

2.7拋物線及其方程2.7.1拋物線的標準方程基礎(chǔ)過關(guān)練題組一拋物線的定義及軌跡問題1.(2020山西臨汾一中月考)在平面內(nèi),“點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距離”是“點P的軌跡為拋物線”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若點M(x,y)滿足x2+yA.直線 B.圓C.橢圓 D.拋物線3.(2020四川成都七中高二期中)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則C的圓心軌跡為()A.拋物線 B.雙曲線C.橢圓 D.圓4.若動點P到定點F(1,1)的距離與它到直線l:3x+y-4=0的距離相等,則動點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.直線題組二拋物線的標準方程5.若拋物線的焦點坐標為(0,-3),則拋物線的標準方程是()A.y2=-6x B.y2=-12xC.x2=-6y D.x2=-12y6.(2020安徽蚌埠高二月考)若點(3,5)在拋物線y2=mx(m≠0)的準線上,則該拋物線的標準方程為()A.y2=12x B.y2=20xC.y2=-12x D.y2=-20x7.(2020浙江余姚高二期末)若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線x25-y2A.(1,2) B.(3,-6)C.(2,-2) D.(1,6)8.(2020山東省實驗中學高二期中)已知d為拋物線y=2px2(p>0)的焦點到其準線的距離,則pd的值等于()A.12p2 B.p2 C.12 9.若拋物線C:y=ax2經(jīng)過點(4,2),則拋物線的焦點坐標為.

10.(2020廣東茂名高二期中)已知點M是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,F為C的焦點,MF的中點坐標是(2,2),則p的值為.

11.(2020重慶酉陽一中高二月考)動圓P與定圓A:(x+2)2+y2=1外切,且與直線l:x=1相切,求動圓的圓心P的軌跡方程.12.若拋物線y2=(m+1)x的焦點到點(0,-4)的距離等于5,求實數(shù)m的值.能力提升練題組一拋物線定義的應(yīng)用1.(2020黑龍江哈爾濱六中高二期中,)過焦點為F的拋物線y2=12x上一點M向其準線作垂線,垂足為N,若|NF|=10,則|MF|=()A.163 B.253 C.2832.(2020廣西南寧三中高二月考,)已知點F是拋物線y=2x2的焦點,M,N是該拋物線上的兩點,若|MF|+|NF|=174,則線段MN的中點的縱坐標為()A.32 B.2 C.523.(2020四川成都外國語學校高二期中,)拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,連接PF并延長交拋物線C于點Q,若|PF|=45|PQ|,則|QF|=()A.3 B.4 C.5 D.64.(2020廣東肇慶高二期中,)已知點A(3,0),點P在拋物線y2=4x上,過點P的直線與直線x=-1垂直相交于點B,|PB|=|PA|,則cos∠APB的值為()A.12 B.13 C.-125.(2020山東濰坊一中高二月考,)設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為該拋物線上三個不同的點,若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|=.

6.(2020山西太原高二期中,)已知點F為拋物線y2=-8x的焦點,O為原點,點P是拋物線準線上一動點,A在拋物線上,且|AF|=4,則|PA|+|PO|的最小值是.

7.(2020甘肅武威高二月考,)如圖,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4,且位于x軸上方的點,點A到拋物線準線的距離等于5,過點A作AB垂直于y軸,垂足為點B,OB的中點為M.(1)求拋物線的方程;(2)過點M作MN⊥FA,垂足為N,求點N的坐標.8.(2020吉林通化一中高二月考,)設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點,F為拋物線的焦點.(1)若點P到直線x=-1的距離為d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.題組二拋物線的方程及應(yīng)用9.(2020河南濮陽高二月考,)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在拋物線上,且|MO|=|MF|=32,O為坐標原點,則OM·MF=()A.94 B.74 C.-9410.(2020河北景縣中學高二期中,)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標原點,M為拋物線上一點,且|MF|=4|OF|,△MFO的面積為43,則拋物線方程為()A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=15211.(2020安徽蚌埠高二月考,)已知拋物線x2=4y的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,過P作PA⊥l于點A,當∠AFO=30°(O為坐標原點)時,|PF|=()A.43 B.83 C.212.(多選)(2020山東省實驗中學高二月考,)已知拋物線C:x2=3y的焦點為F,過點F的直線l交拋物線C于A,B兩點,其中點A在第一象限,若弦AB的長為4,則()A.直線l的傾斜角為30°或150°B.|AF|-|BF|=4C.|AF||D.S△AOB=9答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.B若點P的軌跡為拋物線,則點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距離,但若點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距離,且該定點在該定直線上,則點P的軌跡就不是拋物線,故應(yīng)為必要不充分條件.2.D依題意,動點M到點(0,0)的距離等于其到定直線3x+4y-1=0的距離,且點(0,0)不在直線3x+4y-1=0上,因此動點M的軌跡是拋物線.3.A由題意知,圓C的圓心到點(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是拋物線.4.D設(shè)動點P的坐標為(x,y),則由題意可得(x-15.D依題意,設(shè)拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),又p2=3,所以p=6,2p=12,故拋物線的標準方程為x26.C由于點(3,5)在拋物線y2=mx(m≠0)的準線上,所以準線方程必為x=3,因此m<0,且-m4=3,故m=-12,即拋物線的標準方程為y27.B雙曲線x25-y24=1的右焦點為(3,0),所以拋物線y8.D拋物線方程可化為x2=12py,所以d=14p,故pd=p·9.答案(0,2)解析依題意有2=a·42,所以a=18,因此拋物線方程為x210.答案4解析依題意,有Fp2,0,設(shè)My022p11.解析設(shè)動圓P的半徑為r,由題意可得定圓A的圓心A(-2,0),半徑為1,所以|PA|=r+1.因為動圓P與直線l:x=1相切,所以圓心P到直線l的距離d=r,所以|PA|=d+1,即P到A(-2,0)的距離比P到直線l的距離大1,因此P到A(-2,0)的距離與到直線x=2的距離相等,故P的軌跡是以A為焦點,x=2為準線的拋物線,易知其方程為y2=-8x.12.解析當m+1>0,即m>-1時,2p=m+1,p2=m+14依題意有m+1當m+1<0,即m<-1時,2p=-(m+1),p2=-m+14依題意有m+1綜上,m的值為11或-13.能力提升練1.B記準線與x軸的交點為A,因為|AF|=6,|NF|=10,所以|AN|=8,即點M的縱坐標為8或-8,設(shè)點M的橫坐標為xM,則xM=6412=163,故|MF|=1632.B拋物線的標準方程為x2=12y,設(shè)線段MN的中點為Q(x0,y0),過M,N,Q作準線的垂線,垂足分別為M1,N1,Q1,則有|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=2|QQ1|=174,所以|QQ1|=178,因此y0+18=3.C設(shè)Q到l的距離為d,則由拋物線的定義可得,|QF|=d,∵|PF|=45不妨設(shè)Q在第四象限,則直線PF的斜率為-(5d)∵F(2,0),∴直線PF的方程為y=-26(x-2),與y2=8x聯(lián)立可得3x2-13x+12=0,解得x=3或x=434.D易知拋物線的焦點F(1,0),由過拋物線y2=4x上一點P的直線與直線x=-1垂直相交于點B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以P的坐標為(2,±22),可得|AB|=26,由余弦定理可得cos∠APB=|PB|2+|5.答案6解析易知F(1,0),因為FA+FB+FC=0,所以點F為△ABC的重心,設(shè)A,B,C三點的橫坐標分別為xA,xB,xC,則xA+xB+xC3=1,故|FA|+|FB|+|6.答案213解析由|AF|=4及拋物線的定義可得A到準線的距離為4,所以A點橫坐標為-2,因此A(-2,±4).又原點關(guān)于準線的對稱點B的坐標為(4,0),所以|PA|+|PO|的最小值為|AB|=36+16=213.7.解析(1)拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=-p2,于是4+p所以拋物線的方程為y2=4x.(2)由題意得A(4,4),B(0,4),M(0,2).又F(1,0),所以kAF=43,則直線FA的方程為y=4因為MN⊥FA,所以kMN=-34,則直線MN的方程為y=-3解方程組y=-34x+28.解析(1)依題意,拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.由已知及拋物線的定義,可知|PF|=d,于是問題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|的最小值.由平面幾何知識知,當F,P,A三點共線時,|PA|+|PF|取得最小值,最小值為|AF|=5,即|PA|+d的最小值為5.(2)把點B的橫坐標代入y2=4x中,得y=±23,因為23>2,所以點B在拋物線的內(nèi)部.過B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P1(如圖所示).由拋物線的定義,可知|P1Q|=|P1F|,則|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值為4.9.D易知Fp2,0,不妨設(shè)M(m,2pm).因為|MO|=|MF|=32,所以m2+2pm=94且m+p2=32,又p>0,所以m=1210.B依題意有Fp2,0,所以|MF|=4×p2=2p,設(shè)M(x0,y0),由拋物線的定義知M點的橫坐標x0=2p-p2=3p2,因此其縱坐標y0滿足y02=2p·3p2=3p2,故|y0|=3p,又△MFO的面積為4311.A設(shè)l與y軸交于點B,在Rt△ABF中,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=23設(shè)P(x0,y0),則x0=±233,于是y0=13,從而|PF|=|P