4.4對(duì)數(shù)函數(shù)-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義

新教材必修第一冊(cè)4.4：對(duì)數(shù)函數(shù)課標(biāo)解讀：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.（了解）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像.（掌握）指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).（掌握）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系（互為反函數(shù)）.（了解）幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型.（理解）學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1.類比指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，分析對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題的方式來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容必能事半功倍.2.在分析解決對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則——先研究對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域.3.結(jié)合具體問(wèn)題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)實(shí)現(xiàn)含義.知識(shí)導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)1：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，定義域是.2.判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)（1）形如；（2）底數(shù)滿足；（3）真數(shù)是，而不是的函數(shù)；（4）定義域.例如：是對(duì)數(shù)函數(shù)，而、都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱為對(duì)數(shù)型函數(shù).例1-1：（多選題）下列函數(shù)中為對(duì)數(shù)函數(shù)的（）.A.B.C.D.答案：CD指數(shù)點(diǎn)2：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域（0，+）值域R單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)例2-2：函數(shù)的大致圖象是（）答案：A例2-3：若函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為.答案：（1,4）例2-4：已知函數(shù)在（0，2）上的值域是（1，），則的大致圖象是（）.答案：B知識(shí)點(diǎn)3：反函數(shù)1.反函數(shù)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)，設(shè)它的值域?yàn)镃.我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中的的關(guān)系，用把表示出來(lái)，得到.如果對(duì)于在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)，在A中都有唯一的值和他對(duì)應(yīng)，那么就表示是自變量的函數(shù).這樣的函數(shù)叫做的反函數(shù)，記作.2.反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.（2）若互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，則該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（3）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)的圖象上；反之，若點(diǎn)在反函數(shù)的圖象上，則必在其原函數(shù)的圖象上.（4）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同.例3-5：設(shè)函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）.4B.C.1D.答案：C例3-6：函數(shù)的反函數(shù)為（）A.B.C.D.答案：B例3-7：設(shè)常數(shù)，函數(shù).若的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,1），則.答案：7知識(shí)點(diǎn)4：幾類函數(shù)的增長(zhǎng)差異1.幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升，其增長(zhǎng)速度不變.（2）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.（3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，即增長(zhǎng)速度平緩.（4）冪函數(shù)模型當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，越大其函數(shù)值的增長(zhǎng)速度就越快.2.幾類函數(shù)的增長(zhǎng)差異一般地，在區(qū)間上，盡管函數(shù)，，都單調(diào)遞增，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著的增大，的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，最終會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度（即使的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的值也是如此），而的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，有例4-8：某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求，對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，后來(lái)增長(zhǎng)越來(lái)越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)與產(chǎn)量的關(guān)系，則可選用（）A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型C.指數(shù)函數(shù)模型D.對(duì)數(shù)函數(shù)模型答案：D例4-10：函數(shù)的圖象如圖所示：（1）試根據(jù)函數(shù)增長(zhǎng)的差異指出曲線分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)增長(zhǎng)的差異（以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)，的大小進(jìn)行比較）答案：（1）（2）當(dāng)；當(dāng)當(dāng)；當(dāng).重難拓展底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的影響在同一平面直角坐標(biāo)系中作出幾個(gè)常見(jiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是還是，在第一象限內(nèi)，取相同的函數(shù)值，不同的圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)自左向右逐漸變大.（1）上下比較：在直線的右側(cè)，當(dāng)時(shí)，越大，圖象越靠近軸；當(dāng)時(shí)，越小，圖象越靠近軸；（2）左右比較：比較圖象與直線的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.例5-11：如圖所示的曲線分別是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，則的大小關(guān)系為（用“＞”號(hào)連接）.答案：例5-12：若，試比較的大小.答案：解題指導(dǎo)題型1：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域例13：求下列函數(shù)的定義域：（1）（2））（4）.答案：（1）（2）（3）（4）變式訓(xùn)練:函數(shù)的定義域是（）A.（0,2）B.（0,2]C.D.答案：D題型2：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用1.利用對(duì)數(shù)函數(shù)作有關(guān)函數(shù)圖像例14：作出函數(shù)的圖象.答案：2.圖象的識(shí)別問(wèn)題例15：函數(shù)的圖象大致是（）答案：A例16：函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）.答案：D變式訓(xùn)練：如果函數(shù)是減函數(shù)，那么函數(shù)的圖象大致是（）.答案：C3.圖象的應(yīng)用——數(shù)形結(jié)合例17：方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（）0B.1C.2D.3答案：C變式訓(xùn)練：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A.（0,1）B.（1,2）C.D.（0，）答案：C題型3：對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及最值例18：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）（2）答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是例19：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的必要不充分條件是（）A.B.C.D.答案：C變式訓(xùn)練1：已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.答案：B變式訓(xùn)練2：已知函數(shù)，若，當(dāng)時(shí)，總有，則區(qū)間有可能是（）A.B.C.D.答案：B2.對(duì)數(shù)式的大小比較例20.比較下列各組中的兩個(gè)值的大小：（1）（2）（3）（4）答案：（1）＞（2）＜（3）＞（4）＞例21：設(shè)為正數(shù)，且，則（）.A.B.C.D.答案：D變式訓(xùn)練1：已知，則（）A.B.C.D.答案：C變式訓(xùn)練2：（多選題）已知正實(shí)數(shù)滿足等式，則下列五個(gè)關(guān)系式中可能成立的是（）A.B.C.D.E.答案：BDE3.解對(duì)數(shù)不等式：例22：解下列不等式：（1）（2）（1）答案：（1）.（2）（3）當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為變式訓(xùn)練：已知函數(shù)在區(qū)間[-2，-1]上總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：題型4：對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性例23：已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）在（1）的條件下，若在（）上的值域?yàn)椋?1，+），求的值.答案：（1）（2）.易錯(cuò)提醒易錯(cuò)1：忽略真數(shù)大于0致誤例24：若函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）.A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（1，+）答案：B易錯(cuò)2：忽略對(duì)底數(shù)的討論致誤例25：函數(shù)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則的值為.答案：2或易錯(cuò)3：未注意指數(shù)函數(shù)值域的特殊性致錯(cuò)例26：關(guān)于的方程有正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.答案：高考鏈接考向1：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與值域例28：函數(shù)的定義域?yàn)?答案：例29：下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）A.B.C.D.答案：D考向2：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例30：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.答案：D例31：若，則（）A.B.C.D.答案：B考向3：對(duì)數(shù)函數(shù)圖像及其應(yīng)用例32：（1）下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的是（）A.B.C.D.答案：B（2）如圖，函數(shù)的圖象為折線ACB，則不等式的解集是（）A.B.C.D.答案：C考向4：對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題例33：設(shè)函數(shù)，則是（）A.奇函數(shù)，且在（0,1）上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在（0,1）上單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在（0,1）上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在（0,1）上單調(diào)遞減答案：A基礎(chǔ)鞏固：1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.（-1,2）B.C.D.[-1,2]2.指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（4,2），則（）A.3B.2C.9D.43.下列函數(shù)中，在區(qū)間（-1,1）上單調(diào)遞減是（）A.B.C.D.4.設(shè)，，，則的大小關(guān)系正確是（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)，直線與這三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.6.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）求不等式的解集.7.已知函數(shù)，求使關(guān)系式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.能力提升：8.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）.A.B.C.D.9.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象可能是（）10.設(shè)函數(shù)的圖象與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）.A.-1B.1C.2D.211.設(shè)，，則（）A.B.C.D.12.已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則的大小關(guān)系為（）A.