4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式 第二課時教學設計-（新教材 新高考高中數(shù)學）-2021-2022學年高二上學期數(shù)學（人教A版（2019）選擇性必修第二冊）

《4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式(2)》教學設計-------李德峰（一）教學內(nèi)容等比數(shù)列的前n項和公式（二）教材分析1.教材來源本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二》第四章《數(shù)列》2.地位與作用數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學習高等數(shù)學的基礎，所以在高考中占有重要地位。（三）學情分析1.認知基礎：學生上一節(jié)課已經(jīng)學習了前n項和公式。2.認知障礙：公式靈活應用及構造新數(shù)列（四）教學目標1.知識目標：①熟練應用等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)解題②能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，并解決相應的問題2.能力目標：通過本節(jié)課例題講解提高學生分析解決問題的能力.3.素養(yǎng)目標：通過利用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際應用問題，提升學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).（五）教學重難點：1.重點：等比數(shù)列的前n項和公式及其應用難點：運用等比數(shù)列解決實際問題（六）教學思路與方法教學過程分為問題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應用知識階段課前準備多媒體（八）教學過程教學環(huán)節(jié)：復習引入教學內(nèi)容師生活動設計意圖等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構成等比數(shù)列.(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).(3)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：①在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－（－q）)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).教師提問，學生回答強化知識結構，為本節(jié)課做好準備教學環(huán)節(jié)：例題解析教學內(nèi)容師生活動設計意圖例10.如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H,作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列。解：設正方形的面積為a1，后續(xù)各正方形的面積依次為a2,a3,

由于第k+1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，所以ak+1=12ak,因此{a設{an}的前項和為（1）S10=25×1?12所以，前10個正方形的面積之和為25575512cm(2)當無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和a1而Sn=25×1?隨著n的無限增大，12n將趨近于0，所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.例11.去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）.分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構成等差數(shù)列。因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算。解：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數(shù)列{bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn（單位：萬噸），則an=20(1+5%)Sn==a=(20×1.05+20×1.052?(7.5+9+…6+1.5n)=(20×1.05)×(1?1.05n)

=420×當n=5時，S5所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.解決數(shù)列應用題時一是：明確問題屬于哪類應用問題，即明確是等差數(shù)列還是等比數(shù)列問題，還是含有遞推關系的數(shù)列問題；二是：明確是求an，還是求Sn.細胞繁殖、利率、增長率等問題一般為等比數(shù)列問題．例12.某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛。設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c（1）寫出一個遞推公式，表示cn+1與c（2）將（1）中的遞推公式表示成cn+1?k=r(cn?k)的形式，其中k（3）求S10=c分析：（1）可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立cn+1與c解（1）由題意，得c1cn+1=（2）將cn+1?k=r(cn+1=rcn比較①②的系數(shù)，可得r=1.08,解這個方程組，得r=1.08,所以（1）中的遞推公式可以化為（3）由（2）可知，數(shù)列{cn-1250}(c1?1250)+=所以S10=師生共同探討以正方形面積求和問題為背景，引導學生運用等比數(shù)列求和知識解決問題。通過問題（2）滲透極限思想。等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項和的綜合應用，讓學生學會如何求這個“陌生”數(shù)列的和的問題。以牧場中牛的繁殖問題為背景，引導學生運用等比數(shù)列求和知識解決問題，并學會運用構造法，構造等比數(shù)列解決問題，為后續(xù)的求通項公式奠定基礎。教學環(huán)節(jié)：課堂練習1.已知等比數(shù)列{an}的公比為2，且其前5項和為1，那么{an}的前10項和等于()A.31B.33C.35D.37解析設{an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，則a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.答案B2.數(shù)列{an}中，已知對任意正整數(shù)n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝()A.(3n－1)2B.eq\f(4,13)(27n－1)C.eq\f(1,13)(3n－1)D.27n－1解析設Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則當n≥2時，Sn－1＝3n－1－1，故an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，又a1＝2，所以an＝2×3n－1，所以aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝eq\f(8×（1－33n）,1－33)＝eq\f(4（27n－1）,13).答案B3.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地……”，則該人最后一天走的路程為()A.24里B.12里C.6里D.3里解析由題知，設該人每天行走的里數(shù)構成一個等比數(shù)列{an}(n∈N*)，公比q＝eq\f(1,2)，S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，∴a1＝192，∴a6＝192×eq\f(1,25)＝6.故該人最后一天走的路程為6里.答案C4.設等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，則數(shù)列{an}的公比為________.解析易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，故q3＝27，則q＝3.答案35.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝1，S8＝7，求S12.解因為S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列.所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，即(7－1)2＝1·(S12－7)，解得S12＝43.通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。