4.2 對數(shù)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第一冊）

4.2對數(shù)【考點梳理】重難點技巧：對數(shù)的概念考點一對數(shù)的有關(guān)概念對數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．常用對數(shù)與自然對數(shù)：通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，以e(e＝2.71828…)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，log10N可簡記為lgN，logeN簡記為lnN.考點二對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系一般地，有對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：若a>0，且a≠1，則ax＝N?logaN＝x.對數(shù)恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．考點三對數(shù)的性質(zhì)1．1的對數(shù)為零．2．底的對數(shù)為1.3．零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．重難點技巧：對數(shù)的運算考點四：對數(shù)運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．考點五換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．【題型歸納】題型一：指數(shù)式與對數(shù)式的互化1．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期末）有以下四個結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中正確的是（

）A．①② B．②④C．①③ D．③④2．（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列各式：①；②；③若，則；④若，則.其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個3．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12題型二：對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·高一單元測試）設(shè)，則（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型三：對數(shù)換底公式的應(yīng)用7．（2021·湖北黃石·高一期中）若實數(shù)a，b滿足，，則（

）．A． B． C． D．8．（2022·江蘇·高一）已知，則的值為（

）A．1 B．0 C． D．29．（2022·全國·高一）若非零實數(shù)，，滿足，則（

）A． B．C． D．題型四：對數(shù)換底公式證明等式10．（2021·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b，c均為不等于1的正實數(shù)，則下列等式中恒成立的是（

）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac11．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若實數(shù)、、滿足，則下列式子正確的是A． B．C． D．12．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）下列計算恒成立的是A．B．C．D．題型五：對數(shù)的運算13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．14．（2022·全國·高一）(1)；(2)．15．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題16．（2022·江蘇·高一單元測試）已知，均為正實數(shù)，若，，則（

）A．或2 B． C． D．117．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，，則（

）A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．419．（2022·全國·高一課時練習(xí)），則（

）A．64 B．125 C．256 D．62520．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．21．（2021·全國·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3).22．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高一階段練習(xí)）求值：(1)(2).【高分突破】一：單選題23．（2022·江蘇·高一）已知，，則（

）A． B． C． D．24．（2021·湖北·武漢市第十四中學(xué)高一階段練習(xí)）中國的技術(shù)處于領(lǐng)先地位，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升到4000，則大約增加了（

）A． B． C． D．25．（2022·江蘇·高一）已知，，則（用，表示）等于（

）A． B．C． D．26．（2022·江蘇·高一）化簡：（

）A． B． C．1 D．227．（2022·江蘇·高一）①；②；③若，則；④若，則．其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④28．（2022·江蘇·高一）若實數(shù)a，b，c滿足，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．29．（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知，且，則有（

）A．； B．；C．； D．．二、多選題30．（2022·全國·高一課時練習(xí)）（多選）下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與31．（2022·全國·高一單元測試）若，則（

）A． B．C． D．32．（2021·江蘇鹽城·高一期中）若a＞0，a≠1，則下列說法不正確的是（）A．若logaM＝logaN，則M＝N B．若M＝N，則logaM＝logaNC．若logaM2＝logaN2，則M＝N D．若M＝N，則logaM2＝logaN233．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）下面給出的四個式子中（式中，，，，）中錯誤的是（

）A． B．C． D．34．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若，且，則下列等式中不正確的是（

）A．B．C．D．35．（2021·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一期中）（多選）有以下四個結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的是（

）A．① B．②C．③ D．④三、填空題36．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高一階段練習(xí)）若實數(shù)a，b，c滿足，，，則=______．37．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，則______．38．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)x，y為正實數(shù)，已知，則的值為______．39．（2022·江蘇·高一）計算___________40．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則的值為__________.41．（2022·江蘇·高一）某化工集團(tuán)生產(chǎn)的一種化工產(chǎn)品最初的雜質(zhì)含量為64%，先進(jìn)性除雜，每除雜一次雜質(zhì)含量減少，要使雜質(zhì)含量不超過1%，則過濾的次數(shù)至少為___________.（參考數(shù)據(jù)：）42．（2022·湖南·湘府中學(xué)高一開學(xué)考試）若實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為___________.四、解答題43．（2022·全國·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)．44．（2022·全國·高一課時練習(xí)）化簡求值：(1)；(2)；(3)(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e2.71828).45．（2021·全國·高一專題練習(xí)）1.計算：(1)；(2)．46．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）計算下列各式的值：（1）lg＋lg；（2）log345－log35；（3）(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2；（4）log535－2log5＋log57－log51.8；（5）lg－lg＋lg；（6）lg52＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.47．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）設(shè)a，b均為不等于1的正數(shù)，利用對數(shù)的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.【答案詳解】1．A【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】由對數(shù)定義可知，，①正確；，②正確；對③，，錯誤；對④，，錯誤.故選：A.2．B【分析】根據(jù)對數(shù)的概念和性質(zhì)，逐項判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于①，因為，故①正確；對于②，因為，故②正確；

對于③，因為，所以，故③錯誤；對于④，因為，∴，故④錯誤.所以只有①②正確．故選：B.3．D【分析】對數(shù)式改寫為指數(shù)式，再由冪的運算法則計算．【詳解】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．故選：D．4．D【分析】利用對數(shù)的運算法則及性質(zhì)進(jìn)行運算可得答案．【詳解】因為，，所以．故選：D.5．C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【詳解】解：.故選：C.6．B【分析】根據(jù)指對互化，以及對數(shù)運算性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：，，．故選：B.7．C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式可證明，由此可證明，再構(gòu)造函數(shù)，證明其值小于零，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明，可得答案.【詳解】因為，所以,即，故，即，故，令，則，故，即有，所以，即，即，故，故，故選：C.8．C【分析】利用指數(shù)與對數(shù)互化的公式表示出，再利用換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)化簡計算.【詳解】因為，所以，由換底公式和對數(shù)的運算性質(zhì)可得.故選：C9．A【分析】將指數(shù)式換成對數(shù)式，由換底公式化簡可判斷.【詳解】由已知，得，得，，，所以，，，而，所以.故選：A．10．B【分析】根據(jù)換底公式可判斷A、B的正誤，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷C、D的正誤．【詳解】由logab·logcb＝·≠logca，故A錯；由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正確；對選項C，D，由對數(shù)的運算法則，容易知，其顯然不成立.故選：B.11．A【分析】由指數(shù)式化對數(shù)式，然后利用換底公式得出，，，利用對數(shù)的運算性質(zhì)和可得出成立.【詳解】由已知，得，得，，，所以，，，而，則，所以，即.故選A.【點睛】本題考查對數(shù)式的運算，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化以及換底公式的應(yīng)用，解題時要需要注意各真數(shù)之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于中等題.12．D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)一一驗證選項即可得正確答案.【詳解】因為，所以A不對；因為，所以B不對；因為，所以C不對；因為，D正確.故選D.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13．(1)0(2)3(3)1【分析】（1）利用對數(shù)相加相減的運算法則求解即可；（2）提公因式，逐步化簡即可求解；（3）逐步將原式化成只含和形式.（1）方法一：（直接運算）原式．方法二：（拆項后運算）原式．（2）原式．（3）原式．14．(1)2；(2)4.【分析】(1)將展開再根據(jù)對數(shù)的運算求解；(2)根據(jù)對數(shù)的運算求解即可.【詳解】解:(1)原式．(2)原式．15．(1)(2)1(3)4(4)(5)(6)(7)(8)【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)及換底公式逐一計算即可.(1)解：；(2)解：；(3)解：；(4)解：；(5)解：；(6)解：；(7)解：；(8)解：.16．A【分析】由換元法解出，再與方程聯(lián)立求解【詳解】令，則，所以，即，解得或，即或，所以或，因為，代入得或，所以，或，，所以或.故選：A17．C【分析】與先通過進(jìn)行比較，能得到，接著發(fā)現(xiàn)，所以，即可得到結(jié)果【詳解】因為，所以，又，所以，所以，故選：C.18．D【分析】化簡，求得關(guān)于與的等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值.【詳解】對等號兩邊同時取對數(shù)，得，即，令，則，所以，即的最大值是4（此時，對應(yīng)）.故選：D19．D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算及性質(zhì)化簡求解即可.【詳解】，，，故選：D20．A【分析】先由得到，利用基本不等式“1的妙用”即可求出最小值.【詳解】因為，所以且，所以且，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立.故選：A21．(1)0(2)2(3)【分析】直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行運算即可.(1)原式.(2)原式.(3)原式.22．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運算法則及根式運算法則求解；（2）根據(jù)對數(shù)運算法則進(jìn)行計算.（1）原式=；（2）原式.23．C【分析】由換底公式和對數(shù)運算法則進(jìn)行化簡計算.【詳解】由換底公式得：，，其中，，故故選：C24．B【分析】根據(jù)題中的香農(nóng)公式分別計算等于1000和4000時對應(yīng)的，進(jìn)而比較可得出結(jié)果.【詳解】信噪比提升到4000時對應(yīng)的值記為，根據(jù)題意，時，時，大約增加了20%，選項B正確.故選：B.25．D【分析】利用換底公式和對數(shù)運算法則得到，，進(jìn)而再用換底公式和對數(shù)運算法則表示出【詳解】，，，則故選：D26．B【分析】利用換底公式可化簡運算.【詳解】原式.故選：B.27．C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算逐一判斷可得選項.【詳解】解：對于①，，故①正確；對于②，，故②正確；對于③，若，則，故③不正確；對于④，若，則，故④不正確．故選：C.28．A【分析】由指數(shù)與對數(shù)互化的性質(zhì)分別表示出，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)即可得解.【詳解】由已知，得，得，，，所以，，，而，所以，即，故選：A.29．C【分析】根據(jù)題意求出，，，比較即可.【詳解】，,,,,.故選：C30．ACD【分析】根據(jù)指數(shù)式、對數(shù)式的概念進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.【詳解】對于選項A，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故A正確；對于選項B，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故B錯誤；對于選項C，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故C正確；對于選項D，指數(shù)式化為對數(shù)式為，故D正確.故選：ACD.31．BCD【分析】利用對數(shù)運算化簡已知條件，然后對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.【詳解】依題意，所以，所以，A選項錯誤.，B選項正確.，C選項正確.，D選項正確.故選：BCD32．BCD【分析】根據(jù)對數(shù)的定義和運算性質(zhì)，即可判斷各選項的正誤．【詳解】A：由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：若logaM＝logaN，則M＝N，正確；B：若M＝N＜0，則logaM＝logaN不成立，不正確；C：若logaM2＝logaN2，則M2＝N2，則M＝±N，不正確；D：若M＝N＝0，則等式不成立，不正確；故選：BCD．33．BCD【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)：當(dāng)，，，時，成立，判斷A選項正確；當(dāng)，時，判斷BCD選項錯誤.【詳解】A選項：由對數(shù)的運算性質(zhì)：當(dāng)，，，時，成立，故A選項正確；B選項：當(dāng)，時，，，成立，，故B選項錯誤；C選項：當(dāng)，時，，，成立，，故C選項錯誤；D選項：當(dāng)，時，，，成立，無意義，故D選項錯誤；故選：BCD.【點睛】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.34．AB【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則成立的條件，即可逐項判斷出真假．【詳解】對于A，時，，但是無意義，該等式不正確；對于B，時，，但是無意義，該等式不正確；對于C，，按照對數(shù)的運算法則，該等式正確；對于D，由換底公式得，，該等式正確．故選AB．【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算法則成立的條件判斷以及換底公式的應(yīng)用．35．AB【分析】利用對數(shù)的恒等式與對數(shù)式與指數(shù)式的互化可判斷出各等式的正誤.【詳解】因為，，，所以①②均正確；③中若，則，故③錯誤；④中，而沒有意義，故④錯誤.故選AB.【點睛】本題考查對數(shù)式正誤的判斷，解題時要熟悉對數(shù)恒等式的應(yīng)用，同時也要掌握對數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.36．【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用換底公式進(jìn)行計算.【詳解】因為，，，所以，故，由換底公式可得：.故答案為：237．10【分析】由同底數(shù)對數(shù)加法公式以及，可得答案.【詳解】因為，所以．故答案為：.38．7【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及根式的運算法則計算可得.【詳解】解：由，可得，則，則，則，兩邊同時除以得．故答案為：39．##0.5【分析】利用對數(shù)運算及指數(shù)式與對數(shù)式互化計算作答【詳解】.故答案為：40．##【分析】由題意，設(shè)，從而表示出，可得，化簡計算得，從而得，化簡，代入計算即可.【詳解】由題意，設(shè)，則，所以，得，即，解得或（舍），因為，所以.故答案為：【點睛】解答本題的關(guān)鍵在于先利用整體代入法得，化簡以后得關(guān)于的一元二次方程，求解出，即求解出，從而整體代入所求式子.41．5【分析】結(jié)合題意，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)過濾的次數(shù)至少為n次，則，即從而即所以所以過濾的次數(shù)至少為5次.故答案為：5.42．8【分析】由給定條件可得，再變形配湊借助均值不等式計算作答.【詳解】由得：，又實數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，