人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二6.1 平面向量的概念（精講）（解析版）

6.1平面向量的概念（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一概念辨析【例1-1】（2022江蘇）有下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)樗俣?、力和加速度既有大小，又有方向，所以它們是向量；而質(zhì)量、路程和功只有大小，沒(méi)有方向，所以它們不是向量，故不是向量的個(gè)數(shù)是3.故選：C【例1-2】（2022·湖北）下列關(guān)于零向量的說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒(méi)有大小 B．零向量沒(méi)有方向C．兩個(gè)反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【解析】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長(zhǎng)度為零，方向任意，故A、B錯(cuò)誤；兩個(gè)反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯(cuò)誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選：D.【例1-3】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．向量與向量長(zhǎng)度相等 B．單位向量都相等C．的長(zhǎng)度為，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)【答案】B【解析】因?yàn)椋院突橄喾聪蛄?，長(zhǎng)度相等，方向相反，故A選項(xiàng)正確；單位向量長(zhǎng)度都為，但方向不確定，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)零向量的概念，易知C選項(xiàng)正確；向量只與長(zhǎng)度和方向有關(guān)，與位置無(wú)關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故D選項(xiàng)正確；故選：B.【一隅三反】1．（2022·廣東）給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．其中不是向量的有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【解析】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時(shí)間只有大小，沒(méi)有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個(gè)不是向量.故選：C2．（2022山東）下列說(shuō)法：①零向量是沒(méi)有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量與任意一個(gè)向量共線.其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯(cuò)誤，②③正確；故選：C3．（2022黑龍江）下列命題中假命題是（

）A．向量與的長(zhǎng)度相等B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于D．共線的單位向量都相等【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，與互為相反向量，這兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)相等的向量，長(zhǎng)度相等，方向相同，若兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，只有零向量的模等于，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，共線的單位向量是相等向量或相反向量，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的描述正確的是A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)共圓【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：向量包括長(zhǎng)度和方向，單位向量的長(zhǎng)度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍?，不一定成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：任意一個(gè)非零向量有兩個(gè)與之共線的單位向量，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樗袉挝幌蛄康哪?，且共起點(diǎn)，所以所有單位向量的終點(diǎn)在半徑為的圓周上，故選項(xiàng)D正確；故選：D.考點(diǎn)二向量的幾何表示【例2】（2022湖南）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量：（1），使||＝4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；（2），使＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；（3），使＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫(huà)出向量如下圖所示．（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫(huà)出向量如下圖所示．（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫(huà)出向量如下圖所示．【一隅三反】1．（2022四川）如圖所示，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方.（1）作出向量，，（圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m）；（2）求向量的模.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析（2）【解析】（1）如圖，即為所求.（2）如圖，作向量，由題意可知，四邊形是平行四邊形，∴.2．（2022·湖南）如圖的方格由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，方格中有定點(diǎn)A，點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且，畫(huà)出所有的向量.【答案】見(jiàn)解析【解析】∵，∴C點(diǎn)落在以A為圓心，以為半徑的圓上，又∵點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，根據(jù)該條件不難找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C，解析所有的向量，如圖所示：考點(diǎn)三相等向量與平行向量【例3-1】（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①錯(cuò)誤，平行向量又叫共線向量，向量與是共線向量，則與平行或共線；②錯(cuò)誤，與至少有一個(gè)為零向量時(shí)，結(jié)論不成立；由向量的夾角可知③正確；④錯(cuò)誤，由，只能說(shuō)明，的長(zhǎng)度相等，確定不了方向.故選：B.【例3-2】（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是正六邊形的中心，且，，．在以這七個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，問(wèn)：(1)與相等的向量有哪些？(2)的相反向量有哪些？(3)與的模相等的向量有哪些？【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)由相等向量定義知：與相等的向量有.(2)由相反向量定義知：的相反向量有.(3)由向量模長(zhǎng)定義知：與的模相等的向量有.【一隅三反】1．（2022·陜西·渭南高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為【答案】D【解析】若，則或，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，此時(shí)不存在，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若，由，，不一定得到，選項(xiàng)C不正確；由向量為非零向量，根據(jù)單位向量的定義，選項(xiàng)D正確.故選：D.2．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為非零向量，“”為“共線”的A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【解析】分別表示與同方向的向量，，則有共線，而共線，則的方向不一定相同，即兩向量不一定相等，“”為“共線”的充分不必要條件.故選:B.3．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，在以O(shè)，A，B，C，D這5點(diǎn)中任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，寫(xiě)出：（1