專題01相似形與比例線段(原卷版+解析)

專題01相似形與比例線段【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1相似圖形的概念知識點(diǎn)2相似多邊形的概念與性質(zhì)（重點(diǎn)）知識點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）知識點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）知識點(diǎn)5黃金分割（難點(diǎn)）知識點(diǎn)6平行線分線段成比例（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定題型2由相似多邊形的概念判斷命題的真假題型3識別成比例線段題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用題型8平行線分線段成比例應(yīng)用題型9設(shè)輔助元求值題型10重心的實(shí)際應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位易錯(cuò)點(diǎn)2判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)3解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)4判斷三角形中線段平行時(shí)，判斷線段成比例時(shí)，比例式中不能有要證明的平行線【方法四】成果評定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似多邊形及相似比等有關(guān)概念。2.了解比例線段的概念，了解比例的基本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)，會運(yùn)用比例性質(zhì)進(jìn)行簡單的變形。3.了解黃金分割點(diǎn)的概念，掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論；判定定理及推論；以及平行線分線段成比例定理的推導(dǎo)與應(yīng)用；4、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題；5、經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對圖形運(yùn)動的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動觀點(diǎn)、化歸和分類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略.【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1相似圖形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．重點(diǎn)剖析：相似圖形不僅有平面圖形，還有立體圖形，在初中階段主要研究平面圖形的相似。在兩個(gè)大小不相等的相似圖形中，我們可以認(rèn)為大的圖形是由小的圖形經(jīng)過放大而成的，也可以認(rèn)為小的圖形是由大的圖形經(jīng)過縮小而成的。學(xué)法指導(dǎo)：兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)?！纠?】下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來大小不同的照片（B）一張巨幅畫像和用照相機(jī)把它拍出來的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星【變式演練】下面的四個(gè)圖案是空心的矩形，正方形，等邊三角形，不等邊三角形，其中每個(gè)圖案的邊的寬度都相等，那么每個(gè)圖案中邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）知識點(diǎn)2相似多邊形的概念與性質(zhì)（重點(diǎn)）如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例．當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對應(yīng)邊的長度的比值為1．注意?。?！判斷兩個(gè)多邊形是否相似時(shí)，既要考慮對應(yīng)角是否相等，又要考慮對應(yīng)邊長度的比是否相等，二者缺一不可。學(xué)法指導(dǎo)：在判斷兩個(gè)多邊形是否為相似多邊形時(shí)，邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過計(jì)算來確定，即分別計(jì)算長邊與長邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時(shí)應(yīng)注意對應(yīng)關(guān)系?！纠?】某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【變式演練】已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長為26.求四邊形的各邊長.知識點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）兩條線段的比：注意?。?！在計(jì)算兩條線段的比時(shí)，這兩條線段的長度單位必須要統(tǒng)一。兩條線段的比是一個(gè)沒有單位的正實(shí)數(shù)，該比值與線段的長度無關(guān)。在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實(shí)際距離的比通常稱為比例尺，因此比例尺也是兩條線段的比的一種形式。2．成比例線段：對于四條線段、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意?。?！比例線段是有順序的，即比例線段、b、c、d與比例線段、c、b、d是不同的?！纠?】下列各組線段中，成比例的一組是（ ）（A），，， （B），，，（C），，， （D），，，【例4】在比例尺為的地圖上，量得與兩地的距離是厘米，則與兩地 的實(shí)際距離是 ．知識點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）（1）基本性質(zhì)：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質(zhì)：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質(zhì)：如果，那么．重點(diǎn)剖析：利用比例的基本性質(zhì)可以在比例式和等積式之間互相轉(zhuǎn)化。將比例式化為等積式是有條件的，并不是比例式中的四個(gè)字母中的任意兩個(gè)字母的乘積就等于另外兩個(gè)字母的乘積，而是比例的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積。使用等比性質(zhì)時(shí)，要注意b+d≠0這個(gè)條件，否則這個(gè)性質(zhì)不成立?！纠?】設(shè)線段、、滿足，求、、的值．【變式演練】如果，那么的值是（）A.B.C.D.知識點(diǎn)5黃金分割如果點(diǎn)把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項(xiàng)，那么稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)稱為線段的黃金分割點(diǎn)．其中，，稱為黃金分割數(shù)，簡稱黃金數(shù)．注意！?。∫粭l線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，因此，一般說點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，需加注或AP＜BP，否則在已知AB的長度求AP（或BP）的長度時(shí)，會有兩種情況，此時(shí)應(yīng)分情況討論?！纠?】寬與長之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結(jié)論.【變式演練】主持人站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，如果舞臺AB長為20米，一個(gè)主持人現(xiàn)站在舞臺AB的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C處，則下列結(jié)論一定正確的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④知識點(diǎn)6平行線分線段成比例一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，那么．2、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的兩倍．三、三角形一邊的平行線判定定理及推論1、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．2、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．四：平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．2、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．平行線分線段成比例速記口訣?。?！平行線分線段，成比例是關(guān)鍵。先找出平行線，再找出上、下、全，對應(yīng)之比均相等，代入數(shù)值求線段?！纠?】如圖已知直線截△ABC三邊所在的直線分別于E、F、D三點(diǎn)且AD=BE.

求證：EF：FD=CA：CB.

【變式演練】如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【例8】.已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的長.【例9】如圖，AM是△ABC的中線，P是AM上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長線分別交AC、AB于E、D兩點(diǎn).求證：DE∥BC.【變式演練】如圖，在△ABC（AB＞AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)P,求證：.【例10】如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【變式演練】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（）B.2C.D.【例11】如圖，//，且．求證：//．【變式演練】如圖，、是的邊上的兩點(diǎn)，滿足．聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作//，交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．求證：//．【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定【例12】（2022秋?浦東新區(qū)期末）下列圖形，一定相似的是（）A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形【變式演練】（2022秋?閔行區(qū)期中）下列各組圖形中一定是相似形的是（）A．兩個(gè)長方形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)平行四邊形題型2有多邊形的概念判斷命題的真假【例13】（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩個(gè)矩形必相似 B．兩個(gè)含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個(gè)菱形必相似 D．兩個(gè)含45°角的直角三角形必相似【變式演練】（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）下列判斷中，正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個(gè)角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似題型3識別比例線段【例14】（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【變式演練】（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算【例15】（（2023?奉賢區(qū)一模）已知線段a＝4，b＝16，如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，那么c的值是．【變式演練】（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知線段a＝2cm、b＝8cm，那么線段a、b的比例中項(xiàng)等于cm．【例16】（2022秋?黃浦區(qū)月考）如果，那么＝．【變式演練】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如果＝，那么＝．【例17】（1）求，，的第四比例項(xiàng)；（2）若，，的第四比例項(xiàng)是，求．題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算【例18】（2022?寶山區(qū)模擬）在比例尺為1：50的圖紙上，長度為10cm的線段實(shí)際長為（）A．50cm B．500cm C． D．【變式演練】（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算【例19】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知線段x，y．（1）當(dāng)＝時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【變式演練】設(shè)線段、、滿足，求、、的值．題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用【例20】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長．【變式演練1】（2022秋?寶山區(qū)校級月考）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長；（2）若AC比BC大2，求AB的長．題型8平行線分線段成比例的應(yīng)用【例21】如圖，中，，，，，，求的長．【例21】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若， 則 ．【例22】如圖，已知．，，求的長．（用、的代數(shù)式表示）．【例23】（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．【變式演練1】如圖，為平行四邊形的對角線上一點(diǎn)，，的延長線交 的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【變式演練2】如圖，，，，求的值．【變式演練3】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．【變式演練4】（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【變式演練5】（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長．【變式演練6】（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．【變式演練7】（2021秋?楊浦區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點(diǎn)，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當(dāng)，求的值．【例24】如圖，為的中點(diǎn)，//，聯(lián)結(jié)、分別交、于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：//．【例25】點(diǎn)、分別在的邊、上，且//，以為一邊作平行四邊 形，延長、交于點(diǎn)，連接，求證：//．題型9設(shè)輔助元求值【例26】（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【例27】（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知a：b：c＝2：3：4，a+b+c＝18，求a+b﹣c的值．【變式演練1】（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．【變式演練2】（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長．題型10重心的實(shí)際應(yīng)用【例28】如圖，、是的中線，交于點(diǎn)． 求證：．【變式演練】如圖，在中，，是的重心，過作邊的平行線交于 點(diǎn)，求的長．【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位。【例29】在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實(shí)際距離為km．【變式演練】東海大橋全長千米，如果東海大橋在某張地圖上的長為厘米，則這張地圖 的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易錯(cuò)點(diǎn)2：判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)?！纠?0】已知有三條線段的長分別為，，的線段，請?jiān)偬硪粭l線段，使這四 條線段成比例，求所添線段的長度．【變式演練】已知甲、乙兩個(gè)三角形相似，甲三角形的三邊長分別為、、，乙三角形其中 一邊的長為，求乙三角形的另外兩邊的長．易錯(cuò)點(diǎn)3：解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)【例31】（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．【變式演練】如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，求的長． 易錯(cuò)點(diǎn)4：判斷三角形中線段平行時(shí)，判斷線段成比例時(shí)，比例式中不能有要證明的平行線?！纠?2】如圖，中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，下列命題中不正確的是（）ABCEF （A）若//，則ABCEF （B）若，則// （C）若//，則 （D）若，則//【方法四】成功評定法一、單選題1．（2013·上海·中考真題）如圖，已知在中，點(diǎn)、、分別是邊、、上的點(diǎn)，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（

）A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶52．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，下列式子不一定能推得的是（

）A．； B．； C．； D．．3．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┫铝袌D形一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形； B．兩個(gè)矩形； C．兩個(gè)菱形； D．兩個(gè)正方形．4．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．5．（2022秋·上海楊浦·九年級期末）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，已知，求作，則下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．7．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校c(diǎn)把線段分割成和兩段，如果是種的比例中項(xiàng)．那么下列式正確的個(gè)數(shù)有（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題8．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┰谥?，點(diǎn)、分別在的邊、上，下列條件中能判定的是（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┮阎?，那么___________．10．（2022秋·上海·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┮阎€段，C是的黃金分割點(diǎn)，且，則_____．11．（2022秋·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）我們知道：四個(gè)角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且EFBC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是_____．12．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┮阎?，那么_______．13．（2021秋·上海青浦·九年級?？计谥校┮阎€段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長為______．14．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，點(diǎn)E、F是對角線上的點(diǎn)（點(diǎn)E、F不與B、D重合），分別連接若四邊形是菱形，且與菱形是相似菱形，那么菱形的邊長是_______．（用a的代數(shù)式表示）．15．（2022秋·上海金山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是的中線，是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)，那么______．16．（2022秋·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某人跳芭蕾舞，踮起腳尖時(shí)顯得下半身比上半身更修長．若以裙子的腰節(jié)為分界點(diǎn)，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cm，那么裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為______cm．（結(jié)果保留根號）17．（2022秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ薪ㄆ綄?shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎€段AB＝4，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AP的長為_____．18．（2022秋·上海崇明·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)對應(yīng)，邊分別交邊AB、BC于點(diǎn)D、E，如果點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，那么=__________19．（2022秋·上海楊浦·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知梯形中，，對角線與中位線交于點(diǎn)，如果，，那么__________．20．（2022秋·上海徐匯·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線，直線分別與直線、、相交于點(diǎn)、、．直線分別與直線、、相交于點(diǎn)、、，直線與交于點(diǎn)．如果，，那么的長為______．21．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，在直角梯形中，，，，，的平分線分別交，于點(diǎn)，，則的值是______．22．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┮阎c(diǎn)P把線段分割成和（）兩段，如果是和的比例中項(xiàng)，那么的值等于___________．23．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點(diǎn)，E在線段AC上，，則_____．四、解答題24．（2022秋·上海浦東新·九年級校考期中）小明夜游世博會，在路燈下的處走到處時(shí)，測得影子的的長為1米，繼續(xù)往前走了米到達(dá)處，若小明的身高是米，路燈高度為米，此時(shí)小明的影子長為多少米？25．（2022秋·上海奉賢·九年級校聯(lián)考期中）已知：，，求代數(shù)式的值．26．（2022秋·上海靜安·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，求和的長．專題01相似形與比例線段【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1相似圖形的概念知識點(diǎn)2相似多邊形的概念與性質(zhì)（重點(diǎn)）知識點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）知識點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）知識點(diǎn)5黃金分割（難點(diǎn)）知識點(diǎn)6平行線分線段成比例（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定題型2由相似多邊形的概念判斷命題的真假題型3識別成比例線段題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用題型8平行線分線段成比例應(yīng)用題型9設(shè)輔助元求值題型10重心的實(shí)際應(yīng)用【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位易錯(cuò)點(diǎn)2判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)3解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)4判斷三角形中線段平行時(shí)，判斷線段成比例時(shí)，比例式中不能有要證明的平行線【方法四】成果評定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似多邊形及相似比等有關(guān)概念。2.了解比例線段的概念，了解比例的基本性質(zhì)、合比性質(zhì)、等比性質(zhì)，會運(yùn)用比例性質(zhì)進(jìn)行簡單的變形。3.了解黃金分割點(diǎn)的概念，掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論；判定定理及推論；以及平行線分線段成比例定理的推導(dǎo)與應(yīng)用；4、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題；5、經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對圖形運(yùn)動的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動觀點(diǎn)、化歸和分類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略.【知識導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點(diǎn)1相似圖形的概念相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱為相似的圖形，簡稱相似形．重點(diǎn)剖析：相似圖形不僅有平面圖形，還有立體圖形，在初中階段主要研究平面圖形的相似。在兩個(gè)大小不相等的相似圖形中，我們可以認(rèn)為大的圖形是由小的圖形經(jīng)過放大而成的，也可以認(rèn)為小的圖形是由大的圖形經(jīng)過縮小而成的。學(xué)法指導(dǎo)：兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無關(guān)?！纠?】下列給出的圖形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一張底片印出來大小不同的照片（B）一張巨幅畫像和用照相機(jī)把它拍出來的照片（C）小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像（D）五星紅旗上的大五角星和小五角星【答案】C【解析】哈哈鏡反映人像及物件的扭曲面貌，呈現(xiàn)出與原物不同的像，即不是相似形．【總結(jié)】考查相似圖形的特征，形狀完全相同．【變式演練】下面的四個(gè)圖案是空心的矩形，正方形，等邊三角形，不等邊三角形，其中每個(gè)圖案的邊的寬度都相等，那么每個(gè)圖案中邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（）【答案】A知識點(diǎn)2相似多邊形的概念與性質(zhì)（重點(diǎn)）如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例．當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對應(yīng)邊的長度的比值為1．注意?。?！判斷兩個(gè)多邊形是否相似時(shí)，既要考慮對應(yīng)角是否相等，又要考慮對應(yīng)邊長度的比是否相等，二者缺一不可。學(xué)法指導(dǎo)：在判斷兩個(gè)多邊形是否為相似多邊形時(shí)，邊數(shù)相同、角分別相等容易判斷，而邊是否成比例則需要通過計(jì)算來確定，即分別計(jì)算長邊與長邊的比，短邊與短邊的比，在判斷時(shí)應(yīng)注意對應(yīng)關(guān)系。【例2】某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路內(nèi)外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【答案與解析】設(shè)小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為(20+2x)米，寬為(10+2x)米，將兩個(gè)矩形的長與寬分別相比，得長的比為，而寬的比為，

很明顯，所以做不到.

【總結(jié)升華】通過本題的探索可以發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)矩形的長和寬同時(shí)增加或減小相同的長度，所得矩形與原來矩形一定不相似.因?yàn)?【變式演練】已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長為26.求四邊形的各邊長.【答案與解析】∵四邊形與四邊形相似，且

.

又∵四邊形的周長為26

即四邊形的四邊長為：.【總結(jié)升華】多邊形相似周長比等于相似比.知識點(diǎn)3兩條線段的比及比例線段（重點(diǎn)）兩條線段的比：注意?。?！在計(jì)算兩條線段的比時(shí)，這兩條線段的長度單位必須要統(tǒng)一。兩條線段的比是一個(gè)沒有單位的正實(shí)數(shù)，該比值與線段的長度無關(guān)。在地圖或工程圖紙上，圖上距離與實(shí)際距離的比通常稱為比例尺，因此比例尺也是兩條線段的比的一種形式。2．成比例線段：對于四條線段、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．注意?。?！比例線段是有順序的，即比例線段、b、c、d與比例線段、c、b、d是不同的?！纠?】下列各組線段中，成比例的一組是（ ）（A），，， （B），，，（C），，， （D），，，【答案】A【解析】只有A選項(xiàng)滿足可知其成比例．【總結(jié)】考查成比例的定義，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可確定．【例4】在比例尺為的地圖上，量得與兩地的距離是厘米，則與兩地 的實(shí)際距離是 ．【答案】．【解析】實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺，可知兩地實(shí)際距離為，注意單位的轉(zhuǎn)化．【總結(jié)】考查應(yīng)用比例尺的定義，比例尺=圖上距離÷實(shí)際距離，公式轉(zhuǎn)化．知識點(diǎn)4比例的性質(zhì)（難點(diǎn)）（1）基本性質(zhì)：如果，那么；如果，那么，，．（2）合比性質(zhì)：如果，那么；如果，那么．（3）等比性質(zhì)：如果，那么．重點(diǎn)剖析：利用比例的基本性質(zhì)可以在比例式和等積式之間互相轉(zhuǎn)化。將比例式化為等積式是有條件的，并不是比例式中的四個(gè)字母中的任意兩個(gè)字母的乘積就等于另外兩個(gè)字母的乘積，而是比例的外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積。使用等比性質(zhì)時(shí)，要注意b+d≠0這個(gè)條件，否則這個(gè)性質(zhì)不成立?！纠?】設(shè)線段、、滿足，求、、的值．【答案】．【解析】由（1）可得，再結(jié)合（2），可得：，由此可得到，結(jié)合（2）式可解得．【總結(jié)】考查比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用．【變式演練】如果，那么的值是（）A.B.C.D.【答案】B；提示：∵，∴==．故選B．知識點(diǎn)5黃金分割如果點(diǎn)把線段分割成和（）兩段（如下圖），其中是和的比例中項(xiàng)，那么稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)稱為線段的黃金分割點(diǎn)．其中，，稱為黃金分割數(shù)，簡稱黃金數(shù)．注意?。?！一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，因此，一般說點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，需加注或AP＜BP，否則在已知AB的長度求AP（或BP）的長度時(shí)，會有兩種情況，此時(shí)應(yīng)分情況討論?！纠?】寬與長之比為的矩形叫黃金矩形.如圖：如果在一個(gè)黃金矩形里面畫一個(gè)正方形，那么留下的矩形還是黃金矩形嗎？請證明你的結(jié)論.【答案與解析】∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,又∵,∴，即點(diǎn)F是AD的黃金分割點(diǎn)，∴,即∴，即∴矩形CDEF是黃金矩形.【總結(jié)升華】根據(jù)黃金矩形的定義去計(jì)算寬與長之比即可.【變式演練】主持人站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，如果舞臺AB長為20米，一個(gè)主持人現(xiàn)站在舞臺AB的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C處，則下列結(jié)論一定正確的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；③；④．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黃金分割點(diǎn)為點(diǎn)C處，若AC＞BC，則AB：AC=AC：BC，所以①不一定正確；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②錯(cuò)誤；若AC為較長線段時(shí)，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC為較長線段時(shí)，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正確，④正確．故選D．【總結(jié)升華】黃金分割知識的理解和運(yùn)用要結(jié)合生活實(shí)踐.知識點(diǎn)6平行線分線段成比例一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，那么．2、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的兩倍．三、三角形一邊的平行線判定定理及推論1、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．2、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．四：平行線分線段成比例定理1、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．2、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．平行線分線段成比例速記口訣?。。∑叫芯€分線段，成比例是關(guān)鍵。先找出平行線，再找出上、下、全，對應(yīng)之比均相等，代入數(shù)值求線段?！纠?】如圖已知直線截△ABC三邊所在的直線分別于E、F、D三點(diǎn)且AD=BE.

求證：EF：FD=CA：CB.

【答案與解析】過D作DK∥AB交EC于K點(diǎn).則，，即

又∵AD=BE，

∴.【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形一邊的平行線性質(zhì)定理，即只要有平行線就可推出對應(yīng)線段成比例.【變式演練】如圖,在⊿ABC,DG∥EC,EG∥BC,求證:【答案】∵DG∥EC,∴,∵EG∥BC,∴,∴,即.【例8】.已知，△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，求BG的長.【答案與解析】延長BG交AC于點(diǎn)D,∵G是三角形的重心，∴點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，又∵AG⊥GC，AG=3，GC=4，∴AC=5，即DG=2.5，∵BG:GD=2:1.∴BG=5.【總結(jié)升華】三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離的二倍.【例9】如圖，AM是△ABC的中線，P是AM上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長線分別交AC、AB于E、D兩點(diǎn).求證：DE∥BC.【答案與解析】延長AM到H，使HM=MP，連接BH、CH

∵BM=MC

∴四邊形BPCH是平行四邊形

∵BH∥CD，CH∥BE

在△ABH和△ACH中，

有，∴DE∥BC

【總結(jié)升華】平行線所截得的對應(yīng)線段成比例，而兩條平行線中的線段與所截得的線段不成比例.【變式演練】如圖，在△ABC（AB＞AC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)P,求證：.【答案】過點(diǎn)C作CF∥AB交DP于點(diǎn)F,∵CF∥AB，∴∠ADE=∠EFC∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=∠FEC∴∠EFC=∠FEC∴CF=CE∵CF∥AB∴,即.【例10】如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可．【答案】C．【解析】解：∵DE∥BC，∴==，故選C．【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)定義或定理，難度不大．【變式演練】如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（）B.2C.D.【答案】D提示：∵AG=2，GB=1，∴AB=AG+BG=3，∵直線l1∥l2∥l3，∴=，【例11】如圖，//，且．求證：//．【難度】★★【解析】證明：//， ． ， ， //．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定，先應(yīng)用性質(zhì)證明比例線段相等再判定．【變式演練】如圖，、是的邊上的兩點(diǎn)，滿足．聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作//，交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．求證：//．【解析】證明：//，．又，即，，//．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定，先應(yīng)用性質(zhì)證明比例線段相等再判定．【方法二】實(shí)例探索法題型1相似圖形的判定【例12】（2022秋?浦東新區(qū)期末）下列圖形，一定相似的是（）A．兩個(gè)直角三角形 B．兩個(gè)等腰三角形 C．兩個(gè)等邊三角形 D．兩個(gè)菱形【分析】根據(jù)相似圖形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形一定相似，結(jié)合選項(xiàng)，用排除法求解．【解答】解：A．兩個(gè)直角三角形，對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故A選項(xiàng)不符合題意；B．兩個(gè)等腰三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故B選項(xiàng)不符合題意；C．兩個(gè)等邊三角形的對應(yīng)角一定相等，對應(yīng)邊一定成比例，符合相似的定義，故C選項(xiàng)符合題意；D．兩個(gè)菱形，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了相似圖形，熟悉各種圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式演練】（2022秋?閔行區(qū)期中）下列各組圖形中一定是相似形的是（）A．兩個(gè)長方形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)平行四邊形【分析】如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．【解答】解：∵兩個(gè)正方形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，∴兩個(gè)正方形一定是相似形，又∵兩個(gè)菱形的對應(yīng)角不一定相等，兩個(gè)矩形的邊不一定對應(yīng)成比例，兩個(gè)平行四邊形的對應(yīng)邊不一定對應(yīng)成比例、對應(yīng)角不一定相等，∴兩個(gè)菱形、兩個(gè)矩形、兩個(gè)平行四邊形都不一定是相似形，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等．題型2有多邊形的概念判斷命題的真假【例13】（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．兩個(gè)矩形必相似 B．兩個(gè)含45°角的等腰三角形必相似 C．兩個(gè)菱形必相似 D．兩個(gè)含45°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似圖形的判定方法得出答案．【解答】解：A、兩個(gè)矩形對應(yīng)邊不一定成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)含45°角的等腰三角形，45°不一定是對應(yīng)角，故不一定相似，故此選項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)菱形的對應(yīng)角不一定相等，不一定相似，故此選項(xiàng)不符合題意；D、兩個(gè)含45°角的直角三角形必相似，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】此題主要考查了相似圖形，正確掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式演練】（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）下列判斷中，正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個(gè)角是40°的等腰三角形都相似 C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似【分析】利用相似圖形的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、所有的等邊三角形都相似，正確，符合題意；B、有一個(gè)角是40°的等腰三角形不一定都相似，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、所有的矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，錯(cuò)誤，不符合題意；D、所有的菱形的對應(yīng)邊的比相等，但對應(yīng)角不相等，故不一定相似，錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】考查了相似圖形的定義，了解對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形相似，難度不大．題型3識別比例線段【例14】（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．【變式演練】（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．，b＝3，c＝2， D．a(chǎn)＝2，，，【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合題意，B.1×4≠2×3，故不符合題意，C.≠2×3，故不符合題意，D.，故符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．題型4與比例線段有關(guān)的計(jì)算【例15】（（2023?奉賢區(qū)一模）已知線段a＝4，b＝16，如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，那么c的值是8．【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．【解答】解：∵線段c是a、b的比例中項(xiàng)，∴c2＝ab＝64，解得：c＝±8，又∵線段是正數(shù)，∴c＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】此題考查了比例中項(xiàng)，掌握比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵．注意線段不能是負(fù)數(shù)．【變式演練】（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知線段a＝2cm、b＝8cm，那么線段a、b的比例中項(xiàng)等于4cm．【分析】根據(jù)線段的比例中項(xiàng)的定義列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵線段a＝2cm，b＝8cm，∴線段a、b的比例中項(xiàng)＝＝4（cm）．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，熟記線段比例中項(xiàng)的求解方法是解題的關(guān)鍵，要注意線段的比例中項(xiàng)是正數(shù)．【例16】（2022秋?黃浦區(qū)月考）如果，那么＝．【分析】直接利用比例的性質(zhì)變形得出答案．【解答】解：∵，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將比例式變形是解題關(guān)鍵．【變式演練】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如果＝，那么＝．【分析】根據(jù)合比性質(zhì)直接進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握合比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例17】（1）求，，的第四比例項(xiàng)；（2）若，，的第四比例項(xiàng)是，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得第四比例項(xiàng)=；（2）依題意有，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，整理得， 解得．【總結(jié)】考查比例的基本性質(zhì)和比例中相關(guān)定義．題型5有關(guān)比例尺的計(jì)算【例18】（2022?寶山區(qū)模擬）在比例尺為1：50的圖紙上，長度為10cm的線段實(shí)際長為（）A．50cm B．500cm C． D．【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解：設(shè)長度為10cm的線段實(shí)際長為xcm，則：＝，解得，x＝500．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺定義列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式演練】（2021秋?金山區(qū)期末）在比例尺是1：200000的地圖上，兩地的距離是6cm，那么這兩地的實(shí)際距離為（）A．1.2km B．12km C．120km D．1200km【分析】設(shè)這兩地的實(shí)際距離為xcm，根據(jù)比例尺的定義列出方程，然后求解即可得出答案．【解答】解：設(shè)這兩地的實(shí)際距離為xcm．由題意得：＝，解得x＝1200000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1200000是分式方程的解，1200000cm＝12km，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查比例線段，比例尺的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例尺性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．題型6利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算【例19】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知線段x，y．（1）當(dāng)＝時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值．【分析】（1）由比例的性質(zhì)對比例式進(jìn)行變形，然后去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得到x＝9y；（2）由比例的性質(zhì)對比例式進(jìn)行變形從而得到3y2+2xy﹣x2＝0，然后分解得（3y﹣x）（y+x）＝0．【解答】解：（1）由＝得：2（x+3y）＝3（x﹣y），去括號得：2x+6y＝3x﹣3y，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：9y＝x，∴．（2）由得：xy+3y2＝x2﹣xy，整理得：3y2+2xy﹣x2＝0．∴（3y﹣x）（y+x）＝0．∴3y﹣x＝0或y+x＝0．∴或（舍去）．∴＝3．【點(diǎn)評】本題主要考查的是比例的性質(zhì)、因式分解、將3y2+2xy﹣x2＝0分解為（3y﹣x）（y+x）＝0是解題的關(guān)鍵．【變式演練】設(shè)線段、、滿足，求、、的值．【答案】．【解析】由（1）可得，再結(jié)合（2），可得：，由此可得到，結(jié)合（2）式可解得．【總結(jié)】考查比例的等比性質(zhì)的應(yīng)用．題型7黃金分割的實(shí)際應(yīng)用【例20】（2022秋?嘉定區(qū)期中）已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，AB＝1，且AC2＝BC?AB，求AC的長．【分析】分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分三種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，如圖：∵AC2＝BC?AB，∴點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC＝AB＝×1＝；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，如圖：設(shè)AC＝x，則BC＝AC﹣AB＝x﹣1，∵AC2＝BC?AB，∴x2＝（x﹣1）?1，整理得：x2﹣x+1＝0，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，如圖：設(shè)AC＝x，則BC＝AC+AB＝x+1，∵AC2＝BC?AB，∴x2＝（x+1）?1，整理得：x2﹣x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（不符合題意，舍去），∴AC的長為；綜上所述，AC的長為或．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式演練1】（2022秋?寶山區(qū)校級月考）已知點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC．（1）若AB＝1，求AC的長；（2）若AC比BC大2，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)已知可得點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，從而可得AC＝AB，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)已知可設(shè)AC＝x，則BC＝x﹣2，從而可得AB＝2x﹣2，然后根據(jù)AC2＝AB?BC，可得x2＝（2x﹣2）（x﹣2），從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵點(diǎn)C在線段AB上，且滿足AC2＝AB?BC，∴點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC＝AB＝，∴AC的長為；（2）∵AC比BC大2，∴設(shè)AC＝x，則BC＝x﹣2，∴AB＝AC+BC＝2x﹣2，∵AC2＝AB?BC，∴x2＝（2x﹣2）（x﹣2），解得：x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），∴AB＝2x﹣2＝2+4，∴AB的長為2+4．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．題型8平行線分線段成比例的應(yīng)用【例21】如圖，中，，，，，，求的長．【難度】★★【答案】．【解析】，，即，求得：．【總結(jié)】相似三角形中“”字型和“”字型的綜合應(yīng)用，可得到相等比例關(guān)系式．【例21】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，若， 則 ．【難度】★★【答案】．【解析】，可知， 由，可知，故．【總結(jié)】初步認(rèn)識相似三角形中的“”字型．【例22】如圖，已知．，，求的長．（用、的代數(shù)式表示）．【難度】★★【答案】．【解析】由，則有， 即，得．【總結(jié)】考查相似三角形中“”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．【例23】（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長，即可得出AC的長．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【變式演練1】如圖，為平行四邊形的對角線上一點(diǎn)，，的延長線交 的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的值．【答案】．【解析】由，可得，即， 故，由， 可得：．【總結(jié)】考查相似三角形中“”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．【變式演練2】如圖，，，，求的值．【答案】．【解析】由，得：，又， 可得，故．【總結(jié)】考查相似三角形中“”字型的綜合應(yīng)用，得到比例關(guān)系．【變式演練3】（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理求解；（2）過點(diǎn)A作AK∥DF交BE于點(diǎn)J，交CF于點(diǎn)K，則AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如圖，過點(diǎn)A作AK∥DF交BE于點(diǎn)J，交CF于點(diǎn)K，則AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【點(diǎn)評】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式演練4】（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式演練5】（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定方法解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴四邊形ADFE是菱形；（2）如圖，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式演練6】（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）證明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD?AG＝AF?AB．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．【變式演練7】（2021秋?楊浦區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點(diǎn)，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當(dāng)，求的值．【分析】（1）先根據(jù)相似比的性質(zhì)得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．【例24】如圖，為的中點(diǎn)，//，聯(lián)結(jié)、分別交、于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：//．【解析】證明：//，．為的中點(diǎn)，．，//．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理，先判定再應(yīng)用．【例25】點(diǎn)、分別在的邊、上，且//，以為一邊作平行四邊 形，延長、交于點(diǎn)，連接，求證：//．【難度】★★【解析】證明：//，．又四邊形為平行四邊形，．，，，//．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理的推論，先應(yīng)用性質(zhì)證明比例線段相等再判定．題型9設(shè)輔助元求值【例26】（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）已知：線段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【分析】（1）設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，代入所求代數(shù)式即可；（2）把a(bǔ)＝3k，b＝4k，c＝5k代入3a﹣4b+5c＝54求出k，把k值代入所求代數(shù)式即可．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝4k，c＝5k，（1）＝＝＝；（2）∵3a﹣4b+5c＝54，∴9k﹣16k+25k＝54，解得：k＝3，∴a﹣2b+c＝3k﹣8k+5k＝0．【點(diǎn)評】本題主要考查了比例線段，設(shè)＝＝＝k得到a＝3k，b＝4k，c＝5k是解決問題的關(guān)鍵．【例27】（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知a：b：c＝2：3：4，a+b+c＝18，求a+b﹣c的值．【分析】先根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，則利用a+b+c＝18得到2k+3k+4k＝18，再求出k＝2，然后利用a+b﹣c＝k得到a+b﹣c的值．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：4，∴設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b+c＝18，∴2k+3k+4k＝18，解得k＝2，∴a+b﹣c＝2k+3k﹣4k＝k＝2．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．【變式演練1】（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代數(shù)式3x﹣2y+z的值．【分析】設(shè)比值為k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，從而得到x、y、z，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)＝＝＝k，則x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出x、y、z求解更簡便．【變式演練2】（2022秋?上海月考）已知a、b、c分別是△ABC的三條邊的邊長，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周長．【分析】設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，再代入等式3a﹣2b+c＝9，求出k的值，從而得到a、b、c的值，然后根據(jù)三角形周長公式進(jìn)行計(jì)算，即可得解．【解答】解：設(shè)a＝5k，b＝7k，c＝8k，代入3a﹣2b+c＝9得，15k﹣14k+8k＝9，解得：k＝1，則a＝5，b＝7，c＝8，所以△ABC的周長是：5+7+8＝20．【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)以及代數(shù)式求值，解決此類題目時(shí)利用“設(shè)k法”求解更簡便．題型10重心的實(shí)際應(yīng)用D【例28】如圖，、是的中線，交于點(diǎn)．D 求證：．【難度】★【解析】證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)． 是中點(diǎn)， 是中點(diǎn)，故， 又是中點(diǎn)，，，， 即，整理得：．【總結(jié)】考查三角形重心性質(zhì)的證明，通過一個(gè)中點(diǎn)作對邊的平行線即可．【變式演練】如圖，在中，，是的重心，過作邊的平行線交于 點(diǎn)，求的長．【難度】★★【答案】2．D【解析】連結(jié)并延長交于點(diǎn)，根據(jù)重心的定義， 可知為中點(diǎn)，則，D 根據(jù)重心的性質(zhì)，又， 可得：，求得．【總結(jié)】考查三角形重心的性質(zhì)．【方法三】差異對比法易錯(cuò)點(diǎn)1：在求兩條線段的比時(shí)忽略了要統(tǒng)一單位?！纠?9】在比例尺為1：400000的地圖上，量得線段AB兩地距離是24cm，則AB兩地實(shí)際距離為km．【答案】96；【解析】解：設(shè)AB兩地實(shí)際距離為，根據(jù)題意得：，解得：（cm），∴AB兩地實(shí)際距離為96km.【變式演練】東海大橋全長千米，如果東海大橋在某張地圖上的長為厘米，則這張地圖 的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】比例尺=圖上距離÷實(shí)際距離，比例尺=．【總結(jié)】考查比例尺的定義，注意單位的換算．易錯(cuò)點(diǎn)2：判斷線段是否成比例時(shí)，局限于字母的順序而出錯(cuò)?！纠?0】已知有三條線段的長分別為，，的線段，請?jiān)偬硪粭l線段，使這四 條線段成比例，求所添線段的長度．【答案】或或．【解析】設(shè)添加的線段長度為，將當(dāng)作一個(gè)比例外項(xiàng)，根據(jù)比例的基本性質(zhì)有：（1）對應(yīng)的外項(xiàng)是時(shí)，；（2）對應(yīng)的外項(xiàng)是時(shí)，；（3）對應(yīng)的外項(xiàng)是時(shí)，【總結(jié)】考查比例的計(jì)算，在順序不確定的情況下，必須進(jìn)行分類討論．【變式演練】已知甲、乙兩個(gè)三角形相似，甲三角形的三邊長分別為、、，乙三角形其中 一邊的長為，求乙三角形的另外兩邊的長．【答案】3，4或，或1，．【解析】分類討論．（1）乙三角形中邊長為2的邊對應(yīng)甲三角形中邊長為4的邊時(shí)，邊長對應(yīng)比值為，則另兩邊長分別為；（2）乙三角形中邊長為2的邊對應(yīng)甲三角形中邊長為6的邊時(shí)，邊長對應(yīng)比值為，則另兩邊長分別為；（3）乙三角形中邊長為2的邊對應(yīng)甲三角形中邊長為4的邊時(shí)，邊長對應(yīng)比值為，則另兩邊長分別為．【總結(jié)】三角形中，注意三邊的對應(yīng)關(guān)系，對題目指代不明確的，需進(jìn)行分類討論．易錯(cuò)點(diǎn)3：解題時(shí)漏掉一個(gè)黃金分割點(diǎn)【例31】（1）點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，厘米，求的長；（2）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)定義，且，可知，此時(shí)；線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，與原線段比例分別為和，故或．【總結(jié)】注意黃金分割點(diǎn)和黃金分割的區(qū)別，一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，滿足黃金分割黃金比的只有一個(gè)．【變式演練】如圖，樂器上的一根弦厘米，兩個(gè)端點(diǎn)、固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，求的長．【難度】★★【答案】．【解析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)定義，知，故， ，得．【總結(jié)】考查線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)． 易錯(cuò)點(diǎn)4：判斷三角形中線段平行時(shí)，判斷線段成比例時(shí)，比例式中不能有要證明的平行線。【例32】如圖，中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，下列命題中不正確的是（）ABCEF （A）若//，則ABCEF （B）若，則// （C）若//，則 （D）若，則//【答案】D【解析】A、B、C選項(xiàng)都可由三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理可判定正確，D選 項(xiàng)不符合定理判定內(nèi)容．【總結(jié)】考查三角形一邊平行線性質(zhì)定理及其判定定理的內(nèi)容．【方法四】成功評定法一、單選題1．（2013·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，已知在中，點(diǎn)、、分別是邊、、上的點(diǎn)，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（

）A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5【答案】A【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，則可求得答案．【詳解】解：，，∵DE//BC，，∵EF//AB，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，注意掌握比例線段的對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，下列式子不一定能推得的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．，能推得，故不符合題意；B．，能推得，故不符合題意；C．，能推得，故不符合題意；D．，不能推得，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校┫铝袌D形一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形； B．兩個(gè)矩形； C．兩個(gè)菱形； D．兩個(gè)正方形．【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的定義，邊對應(yīng)成比例，角對應(yīng)相等，對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法解答．【詳解】A.兩個(gè)平行四邊形邊不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.兩個(gè)矩形四個(gè)角相等，但是各邊不一定對應(yīng)成比例，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.兩個(gè)菱形的邊成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.兩個(gè)正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似的定義，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似多邊形的定義，比較簡單，要從邊與角兩方面考慮．4．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，DE∥BC，DF∥AC，則下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用平行線分線段成比例定理分別分析得出答案．【詳解】解：∵DE∥BC，∴＝，＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵DF∥AC，∴＝，可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；可得：＝＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，＝＝，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線分線段成比例定理，正確得出比例式是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·上海楊浦·九年級期末）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)AB=1，AP=x，則PB=1－x，由比例中項(xiàng)得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．【詳解】解：設(shè)AB=1，AP=x，則PB=1－x，∵線段是和的比例中項(xiàng)，∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，∴x2+x－1=0，解得：，（舍去），∴PB=1－=，∴，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項(xiàng)的定義是解答的關(guān)鍵．6．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，已知，求作，則下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則即，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，需要在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則，即，所以；因?yàn)椋訢E=x即即為所求．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的基本作圖，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·上海青浦·九年級?？计谥校c(diǎn)把線段分割成和兩段，如果是種的比例中項(xiàng)．那么下列式正確的個(gè)數(shù)有（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)，則，由比例中項(xiàng)得出，代入解一元二次方程即可解答．【詳解】解：設(shè)，則，∵線段是種的比例中項(xiàng)，∴，即，∴，解得：（舍去），∴，∴，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項(xiàng)的定義是解答的關(guān)鍵．二、多選題8．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┰谥?，點(diǎn)、分別在的邊、上，下列條件中能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)平行線分線段對應(yīng)成比例定理，對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵，不能判定；符合題意；B、∵，∴；符合題意；C、不能判定，不符合題意；D、∵，∴，符合題意；故答案為：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理．熟練掌握如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．三、填空題9．（2022秋·上海青浦·九年級校考期中）已知，那么___________．【答案】【分析】根據(jù)題意可設(shè)，再代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·上海·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┮阎€段，C是的黃金分割點(diǎn)，且，則_____．【答案】【分析】利用黃金分割的定義計(jì)算即可．【詳解】解：線段，C是AB的黃金分割點(diǎn)，且解得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義，若C是AB的黃金分割點(diǎn)，，則，熟練應(yīng)用黃金分割的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）我們知道：四個(gè)角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且EFBC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是_____．【答案】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出=，把AD=1和BC=2代入求出EF，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【詳解】解：∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴，∵AD=1，BC=2，∴，解得：EF=，∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式是解此題的關(guān)鍵．12．（2022秋·上海·九年級?？计谥校┮阎敲確______．【答案】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，設(shè)，代入即可求解．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋·上海青浦·九年級校考期中）已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長為______．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，且，得出，代入數(shù)據(jù)即可得答案．【詳解】解：由于P為線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，即.∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，應(yīng)該識記黃金分割的公式：較長的線段=原線段的

．14．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，點(diǎn)E、F是對角線上的點(diǎn)（點(diǎn)E、F不與B、D重合），分別連接若四邊形是菱形，且與菱形是相似菱形，那么菱形的邊長是_______．（用a的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】連接，根據(jù)菱形對角線互相垂直，構(gòu)建直角三角形，再根據(jù)相似，得出，再根據(jù)直角三角形30°角所對的邊是斜邊的一半得出，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，∵四邊形為菱形，，∴，，∴，∵菱形與菱形相似，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形對角線互相垂直，相似多邊形對應(yīng)角相等．15．（2022秋·上海金山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是的中線，是AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于點(diǎn)，那么______．【答案】【分析】根據(jù)題意先過D作BF的平行線，交AC邊于G，得出DG∥BF，再根據(jù)D為BC中點(diǎn)可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，從而得出AF=FG=GC，即可得出的值．【詳解】解：過D作BF的平行線，交AC邊于G，如下圖所示：∵D為BC中點(diǎn)，DG∥BF，∴∠CGD=∠CFB，又∵∠C=∠C，∴△CDG∽△CBF，∴，即：CG=CF=FG，又E為AD的中點(diǎn)，BE的延長線交AC于F，DG∥BF，同理可得：△AEF∽△ADG