2025屆新高考數(shù)學熱點沖刺復習隨機事件的概率與古典概型

2025屆新高考數(shù)學熱點沖刺復習

隨機事件的概率與古典概型課前自主預習案課堂互動探究案課前自主預習案必

備

知

識1.樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的__________稱為樣本點，常用ω表示．全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機事件①定義：將樣本空間Ω的________稱為隨機事件，簡稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．基本結果子集2．事件的關系與運算事件的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生________并事件(和事件)A與B至少一個發(fā)生________或A＋B交事件(積事件)A與B同時發(fā)生________或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A?BA∪BA∩B??Ω3.頻率與概率一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸________事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．穩(wěn)定于

1

0P（A）＋P（B）1－P（A）1－P（B）P（A）＋P（B）－P（A∩B）5．古典概型(1)古典概型的定義：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．①有限性：樣本空間的樣本點只有________；

②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性________．(2)古典概型的概率公式一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．有限個相等

夯

實

基

礎1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(

)(2)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生．(

)(3)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1.(

)(4)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(

)×√×√2．(教材改編)從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結論正確的是(

)A．A，C互斥

B．B，C互斥C．任何兩個都互斥D．任何兩個都不互斥答案：B解析：從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品不全是次品”，在A中，A和C能同時發(fā)生，事件A和C不是互斥事件，故A錯誤；在B中，B和C不能同時發(fā)生，故B和C是互斥事件，故B正確；在C中，A和C能同時發(fā)生，事件A和C不是互斥事件，故C錯誤；在D中，B和C不能同時發(fā)生，故B和C是互斥事件，故D錯誤．故選B.

4．(易錯)對于概率是1‰(千分之一)的事件，下列說法正確的是(

)A．概率太小，不可能發(fā)生B．1000次中一定發(fā)生1次C．1000人中，999人說不發(fā)生，1人說發(fā)生D．1000次中有可能發(fā)生1000次答案：D解析：概率是1‰說明發(fā)生的可能性是1‰，每次發(fā)生都是隨機的，1000次中也可能發(fā)生1000次，只是發(fā)生的可能性很?。蔬xD.5．(易錯)袋子中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個紅球，2個黑球，現(xiàn)隨機從中不放回地依次摸出2個球，則第二次摸到紅球的概率為________．

課堂互動探究案1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．2．理解事件間的關系與運算．3．掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．問題思考·夯實技能

【問題1】互斥事件與對立事件有何區(qū)別與聯(lián)系？

提示：互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．

【問題2】隨機事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機試驗中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．

答案：CD

(2)袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是(

)A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅、黑球各一個D．恰有一個白球；一個白球一個黑球答案：C解析：對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，C是；對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是．故選C.題后師說判斷互斥事件、對立事件的兩種方法角度二隨機事件的頻率與概率例2[2024·廣東揭陽模擬]為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個問題：(1)你的學號是奇數(shù)嗎？(2)在過路口時你是否闖過紅燈？要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問題．被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題，所以都如實地作了回答．結果被調(diào)查的1200人(學號從1至1200)中有366人回答了“是”．由此可以估計這1200人中闖過紅燈的人數(shù)是________．答案：132解析：被調(diào)查的1200人中，在準備回答的兩個問題中每一個問題被問到的概率相同，所以第一個問題可能被問600次，因為被問的600人中有300人學號是奇數(shù)，而有366人回答了“是”，所以估計有66人闖過紅燈，在600人中有66人闖過紅燈，頻率為0.11，用樣本頻率估計總體，從而估計這1200人中闖過紅燈的人數(shù)為1200×0.11＝132人．題后師說計算簡單隨機事件的頻率或概率的解題思路(1)計算所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．(2)由頻率公式得所求，由頻率估計概率．角度三互斥事件與對立事件的概率例3某學校在教師外出家訪了解家長對孩子的學習關心情況活動中，一個月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示：(1)求有4人或5人外出家訪的概率；(2)求至少有3人外出家訪的概率．派出人數(shù)≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04

題后師說求復雜互斥事件概率的兩種方法

答案：B

答案：AD

(3)四種電子元件組成的電路如圖所示，T1，T2，T3，T4電子元件正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，0.6，則該電路正常工作的概率為________.解析：該電路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一個正常工作，所以該電路正常工作的概率為0.9×(1－0.2×0.3×0.4)＝0.8784.答案：0.8784

答案：D

答案：D

題后師說古典概型中樣本點個數(shù)的探求方法

答案：C

答案：D

題型三

概率與統(tǒng)計的綜合問題例5[2024·安徽安慶模擬]縣政府組織500人參加衛(wèi)生城市創(chuàng)建“義工”活動，按年齡分組所得頻率分布直方圖如圖，完成下列問題：組別[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)[45，50)人數(shù)5050a150b(1)如表是年齡的頻數(shù)分布表，求出表中正整數(shù)a、b的值；(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1、2、3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1、2、3組的各抽取多少人？(3)在第(2)問的前提下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．

題后師說概率與統(tǒng)計的結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準確從題中提煉信息是解題的關鍵．鞏固訓練3某校以課程建設為核心，建立了學生勞動實踐基地，開發(fā)了農(nóng)事勞作課程，開展課外種植、養(yǎng)殖活動，打算引進小動物甲以及成立養(yǎng)殖小組．為了解學生的養(yǎng)殖意愿，該校在一年級的100名學生中進行問卷調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：(1)分別估計該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動物甲的概率；(2)學校決定由一年級負責養(yǎng)殖小動物