重要幾何模型12-1倍長中線模型【原卷版+解析】

第十二章重要幾何模型1倍長中線模型1定義即延長三角形的中線，使得延長后的線段是原中線的兩倍．其目的是構造一對對頂?shù)娜热切?；其本質(zhì)是轉移邊和角．2示例剖析其中，延長使得，則．其模型也屬于“8字型或成X字型”.【題型1】基本型【典題1】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，求證：AB＝CD．(1)延長DE到F，使得EF＝DE；(2)作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F；(3)過C點作CF∥AB，交DE的延長線于F．【典題2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．探究線段AB與AF，CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．【鞏固練習】1如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜92.如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，E為AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，則CF的長為．3.如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD＝CE，連接DE交BC于點M．求證：MD＝ME．4.如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．5.如圖，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中點，求證：AB＝2AE．6.如圖，已知△ABC中，延長AC邊上的中線BE到G，使EG＝BE，延長AB邊上的中線CD到F，使DF＝CD，連接AF，AG．（1）補全圖形；（2）AF與AG的大小關系如何？證明你的結論；（3）F，A，G三點的位置關系如何？證明你的結論．【題型2】模型變式【典題1】已知：如圖，D為線段AB的中點，在AB上任取一點C（不與點A，B，D重合），分別以AC，BC為斜邊在AB同側作等腰Rt△ACE與等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，連接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度數(shù)；（2）求證：△DEF為等腰直角三角形．【鞏固練習】1.如圖，點P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，AP＝CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP＝DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的長．2.如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH上的中點，求證：MA⊥BC．3.課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點D是△ABC邊BC的中點，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．(1)小明的想法是，過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E，如圖2，從而通過構造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；(2)請按照上述提示，解決下面問題：在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是邊AC延長線上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，過點A作AF⊥AE，且AF＝AE，連接EF交BC于點G，連接CF，求證BG＝CG．1.如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是()A．1 B．2 C．3 D．42.如下右圖，在△ABC中，點D、E為邊BC的三等分點，給出下列結論：①BD＝DE＝EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，則以上結論正確是．3.如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE．4.如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點，AD為∠BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF＝CG．5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中線，點D在AC的延長線上，連接BD，BC平分∠EBD．(1)求證：∠ABE＝∠D；(2)求證：BD＝2BE．6.(1)如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設AD＝x，可得x的取值范圍是；(2)如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．

第十二章重要幾何模型1倍長中線模型1定義即延長三角形的中線，使得延長后的線段是原中線的兩倍．其目的是構造一對對頂?shù)娜热切?；其本質(zhì)是轉移邊和角．2示例剖析其中，延長使得，則．其模型也屬于“8字型或成X字型”.【題型1】基本型【典題1】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，求證：AB＝CD．(1)延長DE到F，使得EF＝DE；(2)作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F；(3)過C點作CF∥AB，交DE的延長線于F．證明方法一：延長DE至點F，使EF＝DE．∵E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中&∴△BEF≌△CED(SAS)．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．方法二：作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中&∠F∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中&∠F∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延長線于點F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠BAE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵&∠AEB=∠FEC&∠F=∴AB＝CF．∴AB＝CD．【典題2】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．探究線段AB與AF，CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．解析如圖，延長AE交DF的延長線于M，∵AB∥CM，∴∠B＝∠ECM，∵BE＝EC，∠BAE＝∠M，∴△BEA≌△CEM（AAS），∴AB＝CM，∵∠BAE＝∠EAF，∴∠FAE＝∠M，∴AF＝FM，∵CM＝CF+FM，∴AB＝CF+AF．【鞏固練習】1如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，則BC邊上的中線AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜18 B．3＜AD＜6 C．4＜AD＜12 D．1＜AD＜9答案D解析延長AD至E，使DE＝AD，連接CE．∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜18，∴1＜AD＜9．故選：D．2.如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，E為AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，則CF的長為．答案2.4解析如圖，延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，在△BDG和△CDA中&BD∴△BDG≌△CDA(SAS)，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，∵∠AEF＝∠FAE，∴∠CAD＝∠AEF，∵∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE＝4，∴AC＝BE＝4，∵∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF＝1.6，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4．故答案為：2.4．3.如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD＝CE，連接DE交BC于點M．求證：MD＝ME．證明如圖，過點E作EN∥AB，并交BC的延長線于N．∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°．又∵∠ACB與∠NCE是對頂角，∴∠ACB＝∠NCE＝60°．∵AB∥NE，∴∠B＝∠N＝60°．∴∠NCE＝∠N＝60°．∴CE＝NE．又∵BD＝CE，∴BD＝NE．在△BDM和△NEM中&∴△BDM≌△NEM(AAS)．∴DM＝EM．4.如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．證明過E作AC的平行線于AD延長線交于G點，∵EG∥AC，∴∠DEG＝∠C，在△DEG和△DCA中，∠ADC=∠GDECD=ED∠DEG=∠DCA，∴△DEG≌△DCA（∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．5.如圖，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中點，求證：AB＝2AE．證明：延長AE到F，使EF＝AE，連結DF，∵E是DC中點，∴DE＝CE，在△DEF和△CEA中&DE∴△DEF≌△CEA(SAS)，∴DF＝AC＝BD，∠FDE＝∠C，∵DC＝AC，∴∠ADC＝∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠ADF＝∠FDE+∠ADC，∴∠ADF＝∠ADB，在△ADB和△ADF中&AD∴△ADB≌△ADF(SAS)∴AB＝AF＝2AE．6.如圖，已知△ABC中，延長AC邊上的中線BE到G，使EG＝BE，延長AB邊上的中線CD到F，使DF＝CD，連接AF，AG．（1）補全圖形；（2）AF與AG的大小關系如何？證明你的結論；（3）F，A，G三點的位置關系如何？證明你的結論．答案（1）略（2）AF＝AG（3）F，A，G三點共線解析（1）補全圖形，如圖所示；（2）AF＝AG，理由為：在△AFD和△BCD中AD=BD∠ADF=∠BDC∴△AFD≌△BCD（SAS），∴AF＝BC，在△AGE和△CBE中AE=CE∠AEG=∠CEB∴△AGE≌△CBE（SAS），∴AG＝BC，則AF＝AG；（3）F，A，G三點共線，理由為：∵△AFD≌△BCD，△AGE≌△CBE，∴∠FAB＝∠ABC，∠GAC＝∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠FAB+∠BAC+∠GAC＝180°，則F，A，G三點共線．【題型2】變式模型【典題1】已知：如圖，D為線段AB的中點，在AB上任取一點C（不與點A，B，D重合），分別以AC，BC為斜邊在AB同側作等腰Rt△ACE與等腰Rt△BCF，∠AEC＝∠CFB＝90°，連接DE，DF，EF．（1）求∠ECF的度數(shù)；（2）求證：△DEF為等腰直角三角形．解析（1）∵△ACE和△CBF均為等腰直角三角形，∴∠ECA＝45°，∠FCB＝45°．∵∠ECA+∠ECF+∠FCB＝180°，∴∠ECF＝90°．（2）證明：延長ED到點G，使得DG＝DE，連接BG，F(xiàn)G．∵D為線段AB的中點，∴AD＝BD．∵在△EDA和△GDB中ED=GD∠EDA=∠GDBDA=DB，∴△EDA≌△GDB（∴EA＝GB，∠A＝∠GBD＝45°．∵△ACE與△BCF是等腰直角三角形∴CF＝FB，AE＝EC，∠A＝∠ECA＝∠FCB＝∠FBC＝45°．∴CF＝FB，EC＝BG，∠ECF＝90°．∵在△ECF和△GBF中EC=BG∠ECF=∠GBFCF=BF，∴△ECF≌△GBF（∴EF＝GF，∠EFC＝∠GFB．∵∠CFB＝∠CFG+∠GFB＝90°，∴∠EFG＝∠EFC+∠CFG＝90°．∵在△EFD和△GFD中EF=GFFD=FDED=GD，∴△EFD≌△∴∠EDF＝∠GDF＝90°，∠EFD＝∠GFD＝45°．∴ED＝DF，∴△DEF為等腰直角三角形．【鞏固練習】1.如圖，點P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，AP＝CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP＝DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC＝4，求DE的長．答案（1）略（2）2解析(1)證明：如圖，過點P作PM∥BC，則∠DPM＝∠Q，∵△ABC為等邊三角形，∴△APM是等邊三角形，∴AP＝PM，又∵AP＝CQ，∴PM＝CQ，在△DPM和△DQC中&∠DPM∴△DPM≌△DQC(AAS)，∴DP＝DQ；(2)∵△DPM≌△DQC，∴DM＝DC，∵PE⊥AC，△APM是等邊三角形，∴AE＝EM，∴DE＝DM+EM＝12AC∵等邊三角形ABC的邊BC＝4，∴AC＝4，∴DE＝122.如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH上的中點，求證：MA⊥BC．證明延長AM到N使MN＝AM，如圖，∵M為FH上的中點，∴FM＝HM，在△AMF和△NMB中，AM=NM∠AMF=∠NMHFM=HM，∴△AMF≌△∴∠MAF＝∠N，AF＝NH，∵四邊形ABEF和四邊形ACGH為正方形，∴AB＝AF，AC＝AH，∠BAF＝∠CAH＝90°，∴∠FAH+∠BAC＝180°，HN＝AB，∴∠N+∠NAH+∠BAC＝180°，∵∠N+∠NAH+∠AHN＝180°，∴∠BAC＝∠AHN，在△ABC和△HNA中，AB=HN∠BAC=∠AHNAC=HA，∴△ABC≌△HNA（∴∠ACB＝∠HAN，∵∠HAN+∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．3.課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點D是△ABC邊BC的中點，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．(1)小明的想法是，過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E，如圖2，從而通過構造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；(2)請按照上述提示，解決下面問題：在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是邊AC延長線上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，過點A作AF⊥AE，且AF＝AE，連接EF交BC于點G，連接CF，求證BG＝CG．答案（1）1＜AD＜4（2）略解析(1)∵BE∥AC，∴∠C＝∠EBD，∵D是△ABC邊BC的中點，∴CD＝BD，在△ACD和△EBD中&∠C∴△ACD≌△EBD(ASA)，∴AC＝BE＝3，AD＝ED，∴AE＝2AD，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4；(2)過C作CM∥BD交EF于M，如圖：∵AF⊥AE，且AF＝AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，∴∠BAE＝90°﹣∠EAC＝∠CAF，在△BAE和△CAF中&AB∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴∠AEB＝∠AFC，BE＝CF，∴∠BEF＝∠AEB+∠AEF＝135°，∵CM∥BD，∴∠CMG＝∠BEF＝135°，∴∠FMC＝45°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠CFM＝∠AFC﹣∠AFE＝45°，∴∠FMC＝∠CFM，∴CF＝CM，∴BE＝CM，在△BEG和△CMG中&∠BGE∴△BEG≌△CMG(AAS)，∴BG＝CG．1.如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中&AD∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC＝2，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．2.如下右圖，在△ABC中，點D、E為邊BC的三等分點，給出下列結論：①BD＝DE＝EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，則以上結論正確是．答案①②③④解析∵點D、E為邊BC的三等分點，∴BD＝DE＝EC，①正確；延長AD至F，使DF＝AD，連接EF，在△ADB和△FDE中AD=FD∠ADB=∠FDE∴△ADB≌△FDE（SAS）∴AB＝EF，在△AEF中，AE+EF＞AF，即AB+AE＞2AD，②正確；同理可證，AD+AC＞2AE，③正確；由②③得到，AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，整理得，AB+AC＞AD+AE，④正確；故答案為：①②③④．3.如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE．證明延長AD至G，使DG＝AD，連接BG，在△BDG和△CDA中，∵BD=CD∠BDG=∠CDADG=DA∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．4.如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點，AD為∠BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長線于G．求證：BF＝CG．證明延長FE至Q，使EQ＝EF，連接CQ，∵E為BC邊的中點，∴BE＝CE，∵在△BEF和△CEQ中BE=CE∠BEF=∠CEQEF=EQ，∴△BEF≌△∴BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD＝∠G，∠BAD＝∠GFA，∴∠G＝∠GFA，∴∠GFA＝∠BFE，∵∠BFE＝∠Q（已證），∴∠G＝∠Q，∴CQ＝CG，∵CQ＝BF，∴BF＝CG．5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BE是AC的中線，點D在AC的延長線上，連接BD，BC平分∠EBD．(1)求證：∠ABE＝∠D