中考數(shù)學(xué)考前必刷題型突破方案(安徽專版)提分沖刺預(yù)測(cè)03相似模型的應(yīng)用(4種模型)特訓(xùn)(原卷版+解析)

提分沖刺預(yù)測(cè)03相似模型的應(yīng)用（4種模型）【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】相似模型的應(yīng)用（10年10考）命題規(guī)律與備考策略命題規(guī)律與備考策略一、“8”字模型8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);二、“A”字模型三、“一線三等角”模型一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”四、“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型【安徽最新模擬練】題型一：“8”字模型一．解答題（共8小題）1．（2022?宣州區(qū)一模）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D點(diǎn)觀察井內(nèi)水岸C點(diǎn)，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E．如果測(cè)得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．請(qǐng)求出井深A(yù)C的長．2．（2021秋?包河區(qū)校級(jí)期末）如圖，E為?ABCD的邊CD延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)O，交AD點(diǎn)F．（1）求證：△AOB∽△COE；（2）求證：BO2＝EO?FO．3．（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖是小孔成像實(shí)驗(yàn)，火焰AC通過小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行實(shí)像，像長BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的長．4．（2022?淮北模擬）如圖，在同一平面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D為某縣四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的中心點(diǎn)，連接這四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)之間的公路AB＝40km，AC＝BD＝20km．“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)項(xiàng)目規(guī)劃在C，D兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)之間修一條公路CD．已知∠CAB＝36.8°，∠ABD＝53.2°．求CD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin36.8°＝cos53.2°≈0.6，sin53.2°＝cos36.8°≈0.8，≈7.6．）5．（2022春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ACD的外接圓，連接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于點(diǎn)E，PB與⊙O相切于點(diǎn)B．（1）求證：∠P＝∠PAD；（2）若⊙O的半徑為3，OE＝2，求CE的長．6．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)a＝1時(shí)，①求證：∠ECD＜45°；②求證：；（2）如圖2，若D是BC的中點(diǎn)，求tan∠CEF的值（用含a的代數(shù)式表示）．7．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．8．（2022春?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F、交CD于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE交CD于點(diǎn)H，連接FH；①若FG＝1，F(xiàn)A＝3，求tan∠OEC的值；②若FH∥AC，求．題型二：“A”字模型一．解答題（共4小題）1．（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的長．2．（2022秋?瑤海區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD長及四邊形BDEF的周長．3．（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．4．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線BE分別交CD，AC于點(diǎn)F，E．（1）求證：△CBF∽△ABE；（2）若AB＝10，BC＝6，求△CBF的面積；（3）若BC＝AD，求的值．題型三：“一線三等角”模型一．解答題（共4小題）1．（2021秋?大觀區(qū)校級(jí)期中）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．2．（2022?安徽三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長．3．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．4．（2022?碭山縣模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，且AB＝AC．F是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AF，DF，DF交AC于點(diǎn)E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．（1）求證：AC?EC＝BF?CF；（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．①如圖2，若DF∥AB，求的值；②如圖3，若DF＝DC，求△DCF的面積．題型四：“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型一．解答題（共4小題）1．（2021?瑤海區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．2．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．3．（2021秋?當(dāng)涂縣校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：AC＝PC．4．（2020?蕪湖三模）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC＝°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，請(qǐng)判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）（解決問題）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE＝3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，CE的長是多少？（直接寫出答案）【安徽實(shí)戰(zhàn)真題練】一．選擇題（共2小題）1．（2016?安徽）如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為（）A．4 B．4 C．6 D．42．（2019?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G．若EF＝EG，則CD的長為（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5二．填空題（共3小題）3．（2016?安徽）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正確的是．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）4．（2018?安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為．5．（2022?安徽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G．連接DF，請(qǐng)完成下列問題：（1）∠FDG＝°；（2）若DE＝1，DF＝2，則MN＝．三．解答題（共8小題）6．（2018?安徽）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中，已知點(diǎn)O，A，B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn)．（1）在給定的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，得到線段A1B1（點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1），畫出線段A1B1；（2）將線段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B1，畫出線段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是個(gè)平方單位．7．（2014?安徽）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC向上平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）請(qǐng)畫一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不為1．8．（2015?安徽）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求證：AD＝BC；（2）求證：△AGD∽△EGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．9．（2019?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA＝2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．10．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．11．（2017?安徽）已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB＝90°，延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F．①求證：BE＝CF；②求證：BE2＝BC?CE．（2）如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE2＝BC?CE，連接AE交CM于點(diǎn)G，連接BG并延長交CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值．12．（2021?安徽）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如圖2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點(diǎn)M，求的值．13．（2016?安徽）如圖1，A，B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)．（1）求證：△PCE≌△EDQ；（2）延長PC，QD交于點(diǎn)R．①如圖2，若∠MON＝150°，求證：△ABR為等邊三角形；②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．提分沖刺預(yù)測(cè)03相似模型的應(yīng)用（4種模型）【安徽十年真題考點(diǎn)及分值細(xì)目表】相似模型的應(yīng)用（10年10考）命題規(guī)律與備考策略命題規(guī)律與備考策略一、“8”字模型8字_平行型條件：CD∥AB,結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD(上下相似);左右不一定相似,不一定全等，但面積相等;四邊形ABCD為一般梯形.條件：CD∥AB,PD=PC.結(jié)論：ΔPAB～ΔPCD～ΔPDC(上下相似)ΔPAD?ΔPBC左右全等；四邊形ABCD為等腰梯形；8字_不平行型條件：∠CDP=∠BAP.結(jié)論：ΔAPB～ΔDPC(上下相似);ΔAPD～ΔBPC(左右相似);二、“A”字模型三、“一線三等角”模型一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪小癒字模型”。三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見的基本圖形如下：當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。一般類型：基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”四、“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型【安徽最新模擬練】題型一：“8”字模型一．解答題（共8小題）1．（2022?宣州區(qū)一模）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D點(diǎn)觀察井內(nèi)水岸C點(diǎn)，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E．如果測(cè)得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．請(qǐng)求出井深A(yù)C的長．【分析】根據(jù)8字模型相似三角形證明△BDE∽△ACE，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：BD∥AC，∴∠D＝∠ACD，∠A＝∠ABD，∴△BDE∽△ACE，∴，∴，解得：AC＝8，答：井深A(yù)C的長為8米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握8字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?包河區(qū)校級(jí)期末）如圖，E為?ABCD的邊CD延長線上的一點(diǎn)，連結(jié)BE交AC于點(diǎn)O，交AD點(diǎn)F．（1）求證：△AOB∽△COE；（2）求證：BO2＝EO?FO．【分析】（1）由題意可直接得到結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，通過證明△AOF∽△COB，可得，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COE；（2）∵△AOB∽△COE，∴，∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴，∴，即OB2＝OF?OE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖是小孔成像實(shí)驗(yàn)，火焰AC通過小孔O照射到屏幕上，形成倒立的平行實(shí)像，像長BD＝3cm，OA＝50cm，OB＝10cm，求火焰AC的長．【分析】把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出火焰AC的長．【解答】解：∵AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴BD：AC＝OB：OA，即3：AC＝10：50，∴AC＝15．答：火焰AC的長為15cm．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于實(shí)際應(yīng)用問題，主要考查了相似三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)解答，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．4．（2022?淮北模擬）如圖，在同一平面上的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D為某縣四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的中心點(diǎn)，連接這四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)之間的公路AB＝40km，AC＝BD＝20km．“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)項(xiàng)目規(guī)劃在C，D兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)之間修一條公路CD．已知∠CAB＝36.8°，∠ABD＝53.2°．求CD的長．（參考數(shù)據(jù)：sin36.8°＝cos53.2°≈0.6，sin53.2°＝cos36.8°≈0.8，≈7.6．）【分析】設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)D作DP⊥AB，垂足為P，在Rt△AFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF，CF的長，再在Rt△DBP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BP，DP的長，從而求出FP的長，然后證明8字模型相似三角形△CFE∽△DPE，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出EF，EP的長，最后分別在Rt△CEF和Rt△DPE中，利用勾股定理可求出CE，DE的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)D作DP⊥AB，垂足為P，在Rt△AFC中，∠CAB＝36.8°，AC＝20km，∴CF＝AC?sin36.8°≈20×0.6＝12（km），AF＝AC?cos36.8°≈20×0.8＝16（km），在Rt△DBP中，∠ABD＝53.2°，BD＝20km，∴DP＝BD?sin53.2°≈20×0.6＝12（km），DP＝BD?cos53.2°≈20×0.8＝16（km），∵AB＝40km，∴FP＝AB﹣AF﹣BP＝40﹣16﹣12＝12（km），∵∠CFE＝∠DPE＝90°，∠CEF＝∠DEP，∴△CFE∽△DPE，∴＝＝＝，∴EF＝FP＝（km），EP＝FP＝（km），∴CE＝＝＝（km），DE＝＝＝（km），∴CD＝CE+DE＝＝4≈30.4（km），∴CD的長約為30.4km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2022春?定遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ACD的外接圓，連接OC，OD，AC＝CD，AB交CD于點(diǎn)E，PB與⊙O相切于點(diǎn)B．（1）求證：∠P＝∠PAD；（2）若⊙O的半徑為3，OE＝2，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDC+∠ADC＝90°，再利用切線的性質(zhì)可得∠ABP＝90°，進(jìn)而可得∠P+∠BAP＝90°，然后利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠BAP＝∠BDC，從而可得∠P＝∠ADC，最后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠ADC，即可解答；（2）根據(jù)已知可得△AOC≌△DOC，從而可得∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，然后利用（1）的結(jié)論可得∠OCD＝∠BDC，從而證明OC∥BD，進(jìn)而利用平行線分線段成比例可得，即可得出DE＝CE，最后證明8字模型相似三角形△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC+∠ADC＝90°，∵PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABP＝90°，∴∠P+∠BAP＝90°，∵∠BAP＝∠BDC，∴∠P＝∠ADC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠P＝∠PAD；（2）解：∵AC＝CD，OC＝OC，OA＝OD，∴△AOC≌△DOC（SSS），∴∠ACO＝∠DCO，∠CAO＝∠CDO，∵OA＝OC，OC＝OD，∴∠ACO＝∠CAO，∠OCD＝∠ODC，∴∠ACO＝∠CAO＝∠OCD＝∠ODC，∵∠CAO＝∠CDB，∴∠OCD＝∠BDC，∴OC∥BD，∴，∴，∴，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB，∴，∴，∴CE?DE＝5，∴，∴CE＝或CE＝﹣（舍去），∴CE的長為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)a＝1時(shí)，①求證：∠ECD＜45°；②求證：；（2）如圖2，若D是BC的中點(diǎn)，求tan∠CEF的值（用含a的代數(shù)式表示）．【分析】（1）①由tan∠ABC＝＝1得，∠ABC＝45°，由外角定理得∠EDC＝45°+∠BAD，從而∠ECD＝90°﹣∠EDC＜45°．②過點(diǎn)B作BH∥AC，交CE的延長線于H，證明△ACD≌△CBH，得到BH＝CD，再證明△BEH∽△FEC，得到，即可得結(jié)論．（2）過點(diǎn)B作BM⊥CE，交CE的延長線于M，設(shè)BC＝2m，證明△BCM∽△DAC，表示出BM、CM、EM的長，tan∠CEF＝tan∠BEM＝求得結(jié)果．【解答】（1）①證明：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝＝1，∴AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠EDC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，∴∠EDC＞45°，∵CE⊥AD于點(diǎn)E，∴∠DEC＝90°，∴∠ECD＝90°﹣∠EDC，∴∠EDC＜45°．②證明：如圖1，過點(diǎn)B作BH∥AC，交CE的延長線于H，CH與AB交于G，∵∠ACB＝90°，∴∠CBH＝90°，∴∠BCH+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠DAC＝∠BCH，又∵tan∠ABC＝＝1，∴BC＝AC，∴△ACD≌△CBH（ASA），∴BH＝CD．∵BH∥AC，∴△BEH∽△FEC，∴，∴．（2）解：如圖2，過點(diǎn)B作BM⊥CE，交CE的延長線于M，則∠BMC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCM+∠ACE＝90°，∵CE⊥AD，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠BCM＝∠DAC，∴△BCM∽△DAC，∴．設(shè)BC＝2m，∵D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CD＝m，∵tan∠ABC＝＝a，∴AC＝2am，∴AD＝＝＝m，∴，∴BM＝，CM＝，∵BM∥AD，D是BC中點(diǎn)，∴ME＝CE＝，∴tan∠CEF＝tan∠BEM＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，合理添加輔助線，把所學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結(jié)論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，從而得出結(jié)論；（3）作DF∥OB交OC于點(diǎn)F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點(diǎn)，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點(diǎn)，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點(diǎn)F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵M(jìn)N∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)比例式進(jìn)行恒等變形是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊BC延長線上的一個(gè)點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F、交CD于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）如圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE交CD于點(diǎn)H，連接FH；①若FG＝1，F(xiàn)A＝3，求tan∠OEC的值；②若FH∥AC，求．【分析】（1）先判斷出△ABF≌△CBF（SAS），得出AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，再判斷出∠DCF＝∠E，由∠CFG＝∠EFC，得出△CFG∽△EFC，即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)DG＝m，得出AB＝AD＝BC＝3m，進(jìn)而得出BE＝3AD＝6m，過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，得出OM＝BM＝BC＝m，即可求出答案；②設(shè)DG＝n，AB＝kn，進(jìn)而得出BE＝kAD＝k2n，進(jìn)而得出CE＝k（k﹣1）n，同①的方法得，OM＝BM＝kn，得出EM＝kn（2k﹣1），再由OM∥CD，得出，進(jìn)而得出CH＝，HG＝，再由FH∥AC，得出，進(jìn)而求出k，即可求出答案．【解答】（1）證明：如圖1，連接CF，∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，∴∠BAD﹣∠BAF＝∠BCD﹣∠BCF，∴∠DAG＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠E，∴∠DCF＝∠E，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴，∴；（2）解：如圖2，過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AB，AD∥BC，AB∥CD，∴＝，設(shè)DG＝m，F(xiàn)G＝1，F(xiàn)A＝3，∴＝，∴AB＝3m，∴AD＝BC＝3m，∵AD∥BC，∴＝，∴BE＝3AD＝9m，∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴OM＝BM＝BC＝m，在Rt△OME中，EM＝BE﹣BM＝9m﹣m＝m，∴tan∠OEC＝＝＝；②設(shè)DG＝n，AB＝kn，∵AB∥CD，∴＝＝，由（1）知，，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴BE＝kAD＝k2n，∴CE＝BE﹣BC＝k2n﹣kn＝k（k﹣1）n，同①的方法得，OM＝BM＝kn，∴EM＝BE﹣BM＝k2n﹣kn＝kn（2k﹣1），∵OM∥CD，∴，∴，∴CH＝，∴HG＝CD﹣DG﹣CH＝kn﹣n﹣＝，∵FH∥AC，∴，∴＝，∴k＝2，∴＝＝k＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．題型二：“A”字模型一．解答題（共4小題）1．（2022秋?廬陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝4，求BC的長．【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，列出比例式代入數(shù)值，即可求出DE的長．【解答】解：如圖，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝10，∴BC的長為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，明確相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?瑤海區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝12，BC＝15．求AD長及四邊形BDEF的周長．【分析】證△ADE∽△ABC，根據(jù)線段比例關(guān)系求AD，DE，然后根據(jù)四邊形BDEF是平行四邊形求周長即可．【解答】解：∵AE＝2CE，∴AC＝AE+CE＝2CE+CE＝3CE，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴AD＝AB，DE＝BC，∵AB＝12，BC＝15，∴AD＝8，DE＝10，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4，∵EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴四邊形BDEF的周長是：2（DE+BD）＝2×（10+4）＝28，即AD的長為8，四邊形BDEF的周長是28．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和平行兩個(gè)條件可得中點(diǎn)，從而可得DE是△ABC的中位線，進(jìn)而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進(jìn)而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個(gè)式子相加進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DE∥CA，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DF∥AB，∴點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，分式的化簡求值，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及A字模型相似三角形的關(guān)鍵．4．（2022?定遠(yuǎn)縣模擬）已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，∠ABC的平分線BE分別交CD，AC于點(diǎn)F，E．（1）求證：△CBF∽△ABE；（2）若AB＝10，BC＝6，求△CBF的面積；（3）若BC＝AD，求的值．【分析】（1）根據(jù)∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，可得∠A＝∠BCD，再結(jié)合角平分線的定義可得∠ABE＝∠CBE，即可得證．（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)可得CE＝ME，利用△AME∽△ACB，求出ME的值，進(jìn)而可得×10×3＝15，由（1）知，△CBF∽△ABE，而相似三角形的面積比等于相似比的平方，進(jìn)而可得出答案．（3）易知CE＝ME，△AME∽△ACB，△BCD∽△BAC，可得，，結(jié)合BC＝AD，可得＝，可求出的值，即可得出答案．【解答】解：（1）證明：∵CD為AB邊上的高，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴△CBF∽△ABE．（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BE是∠ABC的平分線，∠ACB＝∠BME＝90°，∴CE＝ME，∵∠A＝∠A，∠AME＝∠ACB，∴△AME∽△ACB，∴，設(shè)CE＝ME＝x，則AE＝8﹣x，∴，解得x＝3，∴×10×3＝15，由（1）知，△CBF∽△ABE，∴，∴．（3）由（2）知，CE＝ME，△AME∽△ACB，∴，∵∠CBD＝∠ABC，∠A＝∠BCD，∴△BCD∽△BAC，∴，∵BC＝AD，∴＝，∴，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．題型三：“一線三等角”模型一．解答題（共4小題）1．（2021秋?大觀區(qū)校級(jí)期中）已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．【分析】（1）利用“一線三直角”證明△OCP∽△PDA，繼而得出＝；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出PC的長，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得AB的長度．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP與PA的比為1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊是一種軸對(duì)稱，折疊前后的圖形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?安徽三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長．【分析】（1）連接OE，利用切線的性質(zhì)可得∠OEA＝90°，從而可得OE∥CD，然后利用平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得CE平分∠BCD，即可解答；（2）連接BE，根據(jù)已知可得AB∥CD∥OE，再利用平行線分線段成比例定理可得AE＝DE，然后設(shè)DE＝AE＝x，則AD＝AB＝2x，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠BEC＝90°，再利用同角的余角相等可得∠ABE＝∠DEC，從而證明△ABE∽△DEC，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：連接OE，∵半⊙O與邊AD相切于點(diǎn)E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：連接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，設(shè)DE＝AE＝x，則AD＝AB＝2x，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的長為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，平行線分線段成比例，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期中）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的長．【分析】（1）△ABC是等邊三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）證得△ABD∽△DCE，∴＝，設(shè)CD＝x，則BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝1或x＝2，∴DC＝1或DC＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．4．（2022?碭山縣模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，AC是對(duì)角線，且AB＝AC．F是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AF，DF，DF交AC于點(diǎn)E，其中∠DAF＝90°，∠AFD＝∠B．（1）求證：AC?EC＝BF?CF；（2）若AB＝AC＝10，BC＝16．①如圖2，若DF∥AB，求的值；②如圖3，若DF＝DC，求△DCF的面積．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABF＝∠FCE，再根據(jù)∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠ABF+∠FAB得出∠EFC＝∠FAB，證△ABF∽△FCE，根據(jù)線段比例關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①證△ABF∽△CBA，得，再根據(jù)，最后利用平行線分線段成比例得出得出結(jié)論即可；②過點(diǎn)A，D分別作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分別為M，N，過點(diǎn)A作AG⊥DN于點(diǎn)G，根據(jù)三角函數(shù)得出，證△AMF∽△AGD，根據(jù)線段比例關(guān)系分別求出CF和DN的值即可求出△DCF的面積．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABF＝∠FCE，∵∠AFD＝∠B，∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝∠B+∠FAB，∴∠EFC＝∠FAB，∴△FAB∽△EFC，∴，即AB?EC＝BF?CF；（2）解：①∵DF∥AB，∴∠BAF＝∠AFE，∴∠BAF＝∠ACB，又∵∠ABF＝∠CBA，∴△FAB∽△ACB，∴，∴，∴，∵DF∥AB，∴；②如圖，過點(diǎn)A，D分別作AM⊥BC，DN⊥FC，垂足分別為M，N，過點(diǎn)A作AG⊥DN于點(diǎn)G，在△ABC中，AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝8，則，∴，∵∠AFD＝∠B，∠DAF＝90°，∴，∵∠AMN＝∠GNM＝∠AGN＝90°，∴四邊形MNGA是矩形，∴GN＝AM＝6，∠MAG＝90°，又∵∠FAD＝90°，則∠FAM+∠FAG＝∠DAG+∠FAG＝90°，∴∠FAM＝∠DAG．又∵∠AMF＝∠AGD＝90°，∴△FAM∽△DAG，∴，則，∴，則，∵DF＝CD，∴CF＝2CN＝7，∴FM＝CM﹣CF＝1，由△FAM∽△DAG，得＝＝，∴DG＝，∴DN＝DG+GN＝+6＝，∴S△DCF＝CF?DN＝×＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似形綜合題，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及平行線分線段成比例等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型四：“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型一．解答題（共4小題）1．（2021?瑤海區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性質(zhì)得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查了相似三角形的性質(zhì)．2．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．【分析】（1）①根據(jù)兩個(gè)角相等可得△ABD∽△ACE，得，再根據(jù)∠BAC＝∠DAE，可證明結(jié)論；②由①知，當(dāng)AB＝AC時(shí)，AD＝AE，則△ADE是等腰三角形；（2）同理證明△BAD∽△CAE，得∠B＝∠ACE，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可證明結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?當(dāng)涂縣校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：AC＝PC．【分析】（1）先由三角形的內(nèi)角和定理及等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PCB，再利用相似三角形的判定定理得結(jié)論；（2）由（1）△PAB∽△PBC，利用相似三角形的性質(zhì)得到PA與PC的關(guān)系，再說明△PAC是直角三角形，最后由勾股定理得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝BC．∵∠APB＝135°，∠ABC＝45°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝45°，∠PBA+∠PBC＝45°，∴∠PAB＝∠PCB．又∵∠APB＝∠BPC，∴△PAB∽△PBC．（2）∵△PAB∽△PBC，∴＝＝＝．∴PB＝PC，PA＝PB．∴PA＝2PC．∵∠APB+∠BPC+∠APC＝360°，∠APB＝∠BPC＝135°，∴∠APC＝90°．∴AC＝＝＝PC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．4．（2020?蕪湖三模）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，請(qǐng)判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）（解決問題）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE＝3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，CE的長是多少？（直接寫出答案）【分析】（1）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等邊三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，據(jù)此判斷出∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，進(jìn)而判斷出∠BEC的度數(shù)為60°即可；（2）首先根據(jù)△ACB和△ADE均為等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①∵△ACB和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵點(diǎn)B，D，E在同一直線上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，綜上，可得∠AEB的度數(shù)為60°；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故答案為：BD＝CE；60；（2），∠BEC＝45°．理由如下：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，∴，∴，又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵，∴，∴，∴；（3）如圖3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，如圖4中，當(dāng)D，E，B在同一直線上時(shí)，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，綜上所述，CE的長為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．【安徽實(shí)戰(zhàn)真題練】一．選擇題（共2小題）1．（2016?安徽）如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為（）A．4 B．4 C．6 D．4【分析】根據(jù)AD是中線，得出CD＝4，再根據(jù)AA證出△CBA∽△CAD，得出＝，求出AC即可．【解答】解：∵BC＝8，∴CD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴＝，∴AC2＝CD?BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)AA證出△CBA∽△CAD，是一道基礎(chǔ)題．2．（2019?安徽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G．若EF＝EG，則CD的長為（）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【分析】根據(jù)題意和三角形相似的判定和性質(zhì)，可以求得CD的長，本題得以解決．【解答】解：作DH∥EG交AB于點(diǎn)H，則△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，設(shè)DH＝x，則CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二．填空題（共3小題）3．（2016?安徽）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，有下列結(jié)論：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正確的是①③④．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）【分析】由折疊性質(zhì)得∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，則在Rt△ABF中利用勾股定理可計(jì)算出AF＝8，所以DF＝AD﹣AF＝2，設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，即ED＝；再利用折疊性質(zhì)得∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，易得∠2+∠3＝45°，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；設(shè)AG＝y(tǒng)，則GH＝y(tǒng)，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y(tǒng)2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，則AG＝GH＝3，GF＝5，由于∠A＝∠D和≠，可判斷△ABG與△DEF不相似，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形面積公式可對(duì)③進(jìn)行判斷；利用AG＝3，GF＝5，DF＝2可對(duì)④進(jìn)行判斷．【解答】解：∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處，∴∠1＝∠2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝＝8，∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝CD﹣CE＝6﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴ED＝，∵△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠2+∠3＝∠ABC＝45°，所以①正確；HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，設(shè)AG＝y(tǒng)，則GH＝y(tǒng)，GF＝8﹣y，在Rt△HGF中，∵GH2+HF2＝GF2，∴y2+42＝（8﹣y）2，解得y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠D，＝＝，＝，∴≠，∴△ABG與△DEF不相似，所以②錯(cuò)誤；∵S△ABG＝?6?3＝9，S△FGH＝?GH?HF＝×3×4＝6，∴S△ABG＝S△FGH，所以③正確；∵AG+DF＝3+2＝5，而GF＝5，∴AG+DF＝GF，所以④正確．故答案為①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似形綜合題：熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定方法；會(huì)運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長．4．（2018?安徽）矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為或3．【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，分PD＝DA、P′D＝P′A兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝10，當(dāng)PD＝DA＝8時(shí)，BP＝BD﹣PD＝2，∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得，PE＝，當(dāng)P′D＝P′A時(shí)，點(diǎn)P′為BD的中點(diǎn)，∴P′E′＝CD＝3，故答案為：或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)、勾股定理和矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．5．（2022?安徽）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G．連接DF，請(qǐng)完成下列問題：（1）∠FDG＝45°；（2）若DE＝1，DF＝2，則MN＝．【分析】（1）根據(jù)AAS證△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，推出DG＝GF即可得出∠FDG的度數(shù)；（2）由（1）的結(jié)論得出CD的長度，GF的長度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出DM，NC的值即可得出MN的值．【解答】解：由題知，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°，故答案為：45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延長GF交BC延長線于點(diǎn)H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD＝，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC＝，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣﹣＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）6．（2018?安徽）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中，已知點(diǎn)O，A，B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn)．（1）在給定的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，得到線段A1B1（點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1），畫出線段A1B1；（2）將線段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B1，畫出線段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是20個(gè)平方單位．【分析】（1）以點(diǎn)O為位似中心，將線段AB放大為原來的2倍，即可畫出線段A1B1；（2）將線段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A2B1，即可畫出線段A2B1；（3）連接AA2，即可得到四邊形AA1B1A2為正方形，進(jìn)而得出其面積．【解答】解：（1）如圖所示，線段A1B1即為所求；（2）如圖所示，線段A2B1即為所求；（3）由圖可得，四邊形AA1B1A2為正方形，∴四邊形AA1B1A2的面積是（）2＝（）2＝20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)的運(yùn)用，利用相似變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．7．（2014?安徽）如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．（1）將△ABC向上平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）請(qǐng)畫一個(gè)格點(diǎn)△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不為1．【分析】（1）利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；（2）利用相似圖形的性質(zhì)，將各邊擴(kuò)大2倍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示：△A2B2C2即為所求．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似變換和平移變換，得出變換后圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．8．（2015?安徽）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求證：AD＝BC；（2）求證：△AGD∽△EGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得出GA＝GB，GD＝GC，由SAS證明△AGD≌△BGC，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；（2）先證出∠AGB＝∠DGC，由，證出△AGB∽△DGC，得出比例式，再證出∠AGD＝∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；（3）延長AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長線于點(diǎn)H，則AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD＝∠GBC，再求出∠AGB＝∠AHB＝90°，得出∠AGE＝∠AGB＝45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值．【解答】（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，∴GA＝GB，同理：GD＝GC，在△AGD和△BGC中，，∴△AGD≌△BGC（SAS），∴AD＝BC；（2）證明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，在△AGB和△DGC中，，∴△AGB∽△DGC，∴，又∵∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF；（3）解：延長AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長線于點(diǎn)H，如圖所示：則AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90°，∴∠AGE＝∠AGB＝45°，∴，又∵△AGD∽△EGF，∴＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題目，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過作輔助線綜合運(yùn)用（1）（2）的結(jié)論和三角函數(shù)才能得出結(jié)果．9．（2019?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：PA＝2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出∠PBC＝∠PAB，即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）先作出兩個(gè)直角三角形，再判斷出Rt△AEP∽R(shí)t△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判斷出，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC又∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°∴∠PBC＝∠PAB又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC（2）∵△PAB∽△PBC∴在Rt△ABC中，AC＝BC，∴∴∴PA＝2PC（3）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于點(diǎn)F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°∴∠APC＝90°，∴∠EAP+∠ACP＝90°，又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽R(shí)t△CDP，∴，即，∴h3＝2h2∵△PAB∽△PBC，∴，∴∴．即：h12＝h2?h3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出∠EAP＝∠PCD是解本題的關(guān)鍵．10．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AE＝AD．EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．（1）求證：BD⊥EC；（2）若AB＝1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．【分析】（1）證明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，證得∠EGB＝90°，則結(jié)論得出；（2）證明△AEF∽△DCF，得出，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；（3）在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，證明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，證得△PAG為等腰直角三角形，可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，∴∠EAF＝∠DAB＝90°，又∵AE＝AD，AF＝AB，∴△AEF≌△ADB（SAS），∴∠AEF＝∠ADB，∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，即∠EGB＝90°，故BD⊥EC，（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥CD，∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡得a2﹣a﹣1＝0，解得或（舍去），∴AE＝．（3）證明：如圖，在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△PAG為等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2017?安徽）已知正方形ABCD，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且∠AGB＝90°，延長AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F．①求證：BE＝CF；②求證：BE2＝BC?CE．（2）如圖2，在邊BC上取一點(diǎn)E，滿足BE2＝BC?CE，連接AE交CM于點(diǎn)G，連接BG并延長交CD于點(diǎn)F，求tan∠CBF的值．【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)知AB＝BC、∠ABC＝∠BCF＝90°、∠ABG+∠CBF＝90°，結(jié)合∠ABG+∠BAG＝90°可得∠BAG＝∠CBF，證△ABE≌△BCF可得；②由RtABG斜邊AB中線知MG＝MA＝MB，即∠GAM＝∠AGM，結(jié)合∠CGE＝∠AGM、∠GAM＝∠CBG知∠CGE＝∠CBG，從而證△CGE∽△CBG得CG2＝BC?CE，由BE＝CF＝CG可得答案；（2）延長AE、DC交于點(diǎn)N，證△CEN∽△BEA得BE?CN＝AB?CE，由AB＝BC、BE2＝BC?CE知CN＝BE，再由＝＝且AM＝MB得FC＝CN＝BE，設(shè)正方形的邊長為1、BE＝x，根據(jù)BE2＝BC?CE求得BE的長，最后由tan∠CBF＝＝可得答案．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABG+∠CBF＝90°，∵∠AGB＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF，∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF，②∵∠AGB＝90°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM，又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG，又∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG，∴＝，即CG2＝BC?CE，由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG，由①知BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC?CE；（2）延長AE、DC交于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠N＝∠EAB，又∵∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA，∴