中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練（北京專用）專題16 平行線與相交線 專題練習(xí)（含答案）

專題16平行線與相交線2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練（北京專用）一、單選題1．（2022·朝陽模擬）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶按圖折疊，則∠1的度數(shù)等于（）A．65° B．70° C．75° D．80°2．（2022·朝陽模擬）如圖，∠1=∠2，∠D=50°，則∠B的度數(shù)為（）A．50° B．40° C．100° D．130°3．（2021七上·石景山期末）如圖，測量運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)成績選取的應(yīng)是圖中（）A．線段PA的長度 B．線段PB的長度C．線段PM的長度 D．線段PH的長度4．（2021八上·東城期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．若∠A=30°，∠BDC=50°，則∠BDE的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．50°5．（2021八上·朝陽期末）點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（不與點(diǎn)O重合），PC⊥OA于點(diǎn)C，D是OB邊上任意一點(diǎn)，連接PD．若PC=3，則下列關(guān)于線段PD的說法一定正確的是（）A．PD=PO B．PD＜3C．存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D使得PD=PC D．PD≥36．（2022·門頭溝模擬）如圖，AB∥CD．點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，過點(diǎn)E作GE⊥EF于E，如果∠GEB=120°，那么∠EFD的大小為（）A．60° B．50° C．40° D．30°7．（2022·平谷模擬）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，∠EFG＝90°，EF交AB于M，若∠CFG＝35°，則∠AME的大小為（）A．35° B．55° C．125° D．130°8．（2022·順義模擬）如圖，直線a∥b，點(diǎn)B在直線a上，AB⊥BC，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．140°9．（2022七下·海淀期末）如圖，直線AB∥CD，CB平分∠ACD，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°10．（2022·昌平模擬）如圖，⊙O的直徑AB⊥CD，垂足為E，∠A=30°，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接FD，則∠CFD的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空題11．（2021七上·延慶期末）如圖所示，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上．在線段PA，PB，PC，PD中，最短的線段是，理由是．12．（2021七上·通州期末）如圖，從人行橫道線上的點(diǎn)P處過馬路，下列線路中最短的是線路，理由是．13．（2021八上·懷柔期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(2，t-2)與點(diǎn)N關(guān)于過點(diǎn)(0，t)且垂直于y軸的直線對稱．（1）當(dāng)t=-3時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為；（2）以MN為底邊作等腰三角形MNP．①當(dāng)t=1且直線MP經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為；②若△MNP上所有點(diǎn)到x軸的距離都不小于a(a是正實(shí)數(shù))，則t的取值范圍是(用含a的代數(shù)式表示)14．（2021七上·昌平期末）如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，從點(diǎn)P向直線l引PA，PB，PC，PD幾條線段，其中只有線段PC與直線l垂直．這幾條線段中，的長度最短．15．（2021七上·密云期末）∠AOB的大小可由量角器測得（如圖所示），則∠AOB的補(bǔ)角的大小為度．16．（2021七上·房山期末）如圖，在公園綠化時(shí)，需要把管道l中的水引到A，B兩處．工人師傅設(shè)計(jì)了一種又快又節(jié)省材料的方案如下：畫法：如圖，⑴連接AB；⑵過點(diǎn)A畫線段AC⊥直線l于點(diǎn)C，所以線段AB和線段AC即為所求．請回答：工人師傅的畫圖依據(jù)是．17．（2021八上·石景山期末）如圖，點(diǎn)D是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥OB交射線OA于點(diǎn)E，則線段DE與OE的數(shù)量關(guān)系為：DEOE（填“＞”或“＝”或“＜”）．18．（2021九上·燕山期末）下面給出了用三角尺畫一個(gè)圓的切線的步驟示意圖，但順序需要進(jìn)行調(diào)整，正確的畫圖步驟是．①②③④19．（2021九上·豐臺期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為直徑AB延長線上一點(diǎn)，且AB∥DC，若∠A=70°，則∠CBE的度數(shù)為．20．（2022七下·通州期末）如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，請你寫出一個(gè)能使AB∥CD成立的條件：．（只寫一個(gè)即可，不添加任何字母或數(shù)字）三、綜合題21．（2022·朝陽模擬）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A為頂點(diǎn)作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．（1）如圖1，點(diǎn)E在BA的延長線上，連接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；（2）將等腰直角△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，連接BE，CE，過點(diǎn)D作DF⊥CE交CE的延長線于F，交BE于M，求證：BM＝12BE（3）如圖3，等腰直角△ADE的邊長和位置發(fā)生變化的過程中，DE邊始終經(jīng)過BC的中點(diǎn)G，連接BE，N為BE中點(diǎn)，連接AN，當(dāng)AB＝6且AN最長時(shí)，連接NG并延長交AC于點(diǎn)K，請直接寫出△ANK的面積．22．（2021八上·門頭溝期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE的長．23．（2021八上·延慶期末）尺規(guī)作圖：已知：如圖1，直線MN和直線MN外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使直線PQ∥MN．小智的作圖思路如下：①如何得到兩條直線平行？小智想到，自己學(xué)習(xí)線與角的時(shí)候，有4個(gè)定理可以證明兩條直線平行，其中有“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行”．②如何得到兩個(gè)角相等？小智先回顧了線與角的內(nèi)容，找到了幾個(gè)定理和1個(gè)概念，可以得到兩個(gè)角相等．小智又回顧了三角形的知識，也發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)可以證明兩個(gè)角相等的定理．最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”．③畫出示意圖：④根據(jù)示意圖，確定作圖順序．（1）使用直尺和圓規(guī)，按照小智的作圖思路補(bǔ)全圖形1（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：∵AB平分∠PAN，∴∠PAB＝∠NAB．∵PA＝PQ，∴∠PAB＝∠PQA（①）．∴∠NAB＝∠PQA．∴PQ∥MN（②）．（3）參考小智的作圖思路和流程，另外設(shè)計(jì)一種作法，利用直尺和圓規(guī)在圖2中完成．（溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明）24．（2022·朝陽模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB=60°，BC<AB<AC．（1）求作∠PBC，使得∠PBC=30°且點(diǎn)P在AC上：要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB=42，∠A=45°，求AC25．（2021九上·朝陽期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P給出如下定義：Q為圖形M上任意一點(diǎn)，若P，Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，則稱點(diǎn)P為圖形M的“二分點(diǎn)”．已知點(diǎn)N（3，0），A（1，0），B(0，3)（1）①在點(diǎn)A，B，C中，線段ON的“二分點(diǎn)”是；②點(diǎn)D（a，0），若點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，求a的取值范圍；（2）以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圓，若線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”，直接寫出r的取值范圍．26．（2022·海淀模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，⊙O的切線DE交OC延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DE；（2）連接BD交AC于點(diǎn)P，若AC=8，cosA=45，求DE27．（2021七上·燕山期末）如圖，已知∠MON＝60°，點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)B在射線ON下方．請選擇合適的畫圖工具按要求畫圖并回答問題．（要求：不寫畫法，保留畫圖痕跡）（1）過點(diǎn)A作直線l，使直線l只與∠MON的一邊相交；（2）在射線ON上取一點(diǎn)C，使得OC＝OA，連接AC，度量∠OAC的大小為°；（精確到度）（3）在射線ON上作一點(diǎn)P，使得AP＋BP最小，作圖的依據(jù)是．28．（2021八上·豐臺期末）下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．求作：點(diǎn)D，使得點(diǎn)D在BC邊上，且到AB和AC的距離相等．作法：①如圖，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)③畫射線AP，交BC于點(diǎn)D．所以點(diǎn)D即為所求．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接MP，在△AMP和△ANP中，∵AM=AN，MP=NP，AP=AP，∴△AMP≌△ANP（SSS）．∴∠▲=∠▲.∵∠ABC=90°，∴DB⊥AB.∵DE⊥AC，∴DB=DE（▲）．29．（2022七下·豐臺期末）閱讀下列材料：如圖1，AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接PE，PF．用等式表示∠AEP，∠EPF與∠CFP的數(shù)量關(guān)系．小剛通過觀察，實(shí)驗(yàn)，提出猜想：∠EPF=∠AEP+∠CFP．接著他對猜想的結(jié)論進(jìn)行了證明，證明思路是：過點(diǎn)P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠1=∠AEP，∠2=∠CFP，從而證得∠EPF=∠AEP+∠CFP．請你利用小剛得到的結(jié)論或解題思路，完成下列問題．已知AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接PE，PF．（1）如圖2，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，則∠PFD的度數(shù)為；（2）如圖3，∠AEP與∠CFP的平分線交于點(diǎn)Q，用等式表示∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖4，∠AEP與∠CFP的平分線交于點(diǎn)Q，直接用等式表示∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系．30．（2021九上·平谷期末）如圖，∠MAN=45°，B是射線AN上一點(diǎn)，過B作BC⊥AM于點(diǎn)C，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，作射線AD，過B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠CAE=∠DBE；（3）用等式表示線段CE、BE、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵∠ACD＝40°，∴∠BAC＝140°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝12∠BAC＝70°故答案為：B．

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解決問題即可。2．【答案】D【解析】【解答】∵∠2=∠DFA，∠1=∠2，∴∠1=∠DFA，∴AB∥CD，∴∠B+∠D=180°，∵∠D=50°，∴∠B=130°，故答案為：D

【分析】先證明AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B。3．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，PH的長就是該運(yùn)動(dòng)員的跳遠(yuǎn)成績，故答案為：D．【分析】根據(jù)所給的圖片，求出運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)成績即可。4．【答案】B【解析】【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC?∠A＝50°?30°＝20°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠DBC＝∠ABD＝20°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC＝20°，故答案為：B．

【分析】先利用三角形的外角的性質(zhì)求出∠ABD＝∠BDC?∠A，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC＝∠ABD＝20°，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠DBC＝20°。5．【答案】D【解析】【解答】解：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點(diǎn)C，PC=3，∴點(diǎn)P到OB的距離為3，∵點(diǎn)D是OB邊上的任意一點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短，∴PD≥3．故答案為：D．

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，再利用垂線段最短的性質(zhì)可得答案為3.6．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠GEB=120°，∴∠GEA=180°-∠GEB=60°，∵GE⊥EF，∴∠GEF=90°，∴∠AEF=30°，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠AEF=30°故答案為：D【分析】先利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠AEG=60°，再求出∠AEF=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFD=∠AEF=30°。7．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠EFG=90°，∠CFG=35°，∴∠CFE=∠EFG-∠CFG=55°，∵AB∥CD，∴∠AME=∠CFE=55°，故答案為：B．【分析】先求出∠CFE的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得∠AME=∠CFE=55°。8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖可得：∠1+∠3+90°=180°，∴∠3=50°，∵a∥b，∴∠2=∠3=50°（兩直線平行同位角相等）．故答案為：B．

【分析】因?yàn)閮删€平行，同位角相等，可知∠2=∠3，而∠1與∠3互余，即可得到答案9．【答案】A【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1=50°，∵CB平分∠ACD，∴∠2=∠BCD=50°，故答案為：A．

【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠BCD=∠1=50°，再利用角平分線的定義可得∠2=∠BCD=50°。10．【答案】C【解析】【解答】解：∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠BOC=∠OCA+∠A=60°，∵CF是⊙O的直徑，∴∠CDF=90°，即FD⊥CD，又∵AB⊥CD，∴AB∥DF，∴∠CFD=∠BOC=60°．故答案為：C．

【分析】先求出∠BOC=∠OCA+∠A=60°，再利用平行線的性質(zhì)可得∠CFD=∠BOC=60°。11．【答案】PC；垂線段最短【解析】【解答】解：∵PC⊥AD，PA，PB，PD都不垂直于AD，∴由垂線段最短可得，最短的線段是PC，理由是：垂線段最短．故答案為：PC；垂線段最短．

【分析】根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)求解即可。12．【答案】PC；垂線段最短【解析】【解答】解：∵點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，∴從人行橫道線上的點(diǎn)P處過馬路，線路最短的是PC，故答案為：PC．【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，求解即可。13．【答案】（1）(2，-1)（2）(-2，1)；t≥a+2或t≤-a-2【解析】【解答】（1）過點(diǎn)(0，t)且垂直于y軸的直線解析式為y=t∵點(diǎn)M(2，t-2)與點(diǎn)N關(guān)于過點(diǎn)(0，t)且垂直于y軸的直線對稱∴可以設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），且MN中點(diǎn)在y=t上∴n+t-22=t∴點(diǎn)N坐標(biāo)為(∴當(dāng)t=-3時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(（2）①∵以MN為底邊作等腰三角形MNP，且點(diǎn)M(2，t-2)與點(diǎn)N直線y=t對稱．∴點(diǎn)P在直線y=t上，且P是直線OM與y=1的交點(diǎn)當(dāng)t=1時(shí)M(2，-1)，N(2，3)∴OM直線解析式為y=-∴當(dāng)y=1時(shí)1=-12∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，1)②由題意得，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2，t-2)，點(diǎn)N坐標(biāo)為(2，t+2)∵t-2<t<t+2，△MNP上所有點(diǎn)到x軸的距離都不小于a∴只需要|t-2|≥a或者|t+2|≥a當(dāng)M、N、P都在x軸上方時(shí)，0<t-2<t<t+2，此時(shí)t-2≥a，解得t≥a+2當(dāng)△MNP上與x軸有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)△MNP上所有點(diǎn)到x軸的距離可以為0，不符合要求；當(dāng)M、N、P都在x軸下方時(shí)，t-2<t<t+2<0，此時(shí)|t+2|≥a，解得t≤-a-2綜上t≥a+2或t≤-a-2【分析】（1）先求出n+t-22=t，再求出點(diǎn)N坐標(biāo)為(2，t+2)，最后求解即可；

（2）①先求出OM直線解析式為y=-1214．【答案】PC【解析】【解答】解：直線外一點(diǎn)P與直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，最短的是PC，依據(jù)是垂線段最短，故答案為：PC．【分析】根據(jù)垂線段最短，作答即可。15．【答案】140【解析】【解答】解：由題意，可得∠AOB＝40°，則∠AOB的補(bǔ)角的大小為：180°?∠AOB＝140°．故答案為：140．

【分析】根據(jù)量角器可得∠AOB＝40°，再利用補(bǔ)角的定義可得180°?∠AOB＝140°。16．【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短【解析】【解答】解：由于兩點(diǎn)之間距離最短，故連接AB，由于垂線段最短可知，過點(diǎn)A作AC⊥直線l于點(diǎn)C，此時(shí)AC最短，故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短．【分析】根據(jù)題意作圖，再根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短和垂線段最短求解即可。17．【答案】＝【解析】【解答】解：∵ED∥OB，∴∠EDO=∠DOB，∵D是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，∴∠EOD=∠DOB，∴∠EOD=∠EDO，∴DE=OE，故答案為：=．【分析】先求出∠EDO=∠DOB，再求出∠EOD=∠EDO，最后求解即可。18．【答案】②③④①【解析】【解答】解：第一步：先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，確定圓的一條直徑與圓的交點(diǎn)，即圖②，第二步：畫出圓的一條直徑，即畫圖③；第三邊：根據(jù)切線的判定可知，圓的一條切線與切點(diǎn)所在的直徑垂直，確定切點(diǎn)的位置從而畫出切線，即先圖④再圖①，故答案為：②③④①．

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，再利用尺規(guī)作圖即可得出答案。19．【答案】110°【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=70°，∴∠C=110°，∵AB∥DC，∴∠CBE=∠C=110°；故答案為：110°．

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)求得∠C=110°，在利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得答案即可。20．【答案】∠1=∠B或∠2+∠B=180°或∠A+∠D=180°【解析】【解答】解：當(dāng)∠1=∠B或∠2+∠B=180°或∠A+∠D=180°時(shí)，AB∥CD，故答案為：∠1=∠B或∠2+∠B=180°或∠A+∠D=180°．【分析】根據(jù)平行線的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。21．【答案】（1）解：如圖1，過點(diǎn)B作BT⊥DA交DA延長線于T，∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠ABC=45°，∴DT∥BC，∴∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30°，∵∠T=90°，AB=6，∴BT=AT=32∴BD=2BT=62（2）證明：如圖2，延長ED到R，使DR=DE，連接AR、BR，延長RB交CF的延長線于J，∵∠ADE=90°，∴AD⊥ER，∵DR=DE，∴AD垂直平分RE，∴AR=AE，∵AD=DR=DE，∴∠RAE=∠BAC=90°，∴∠RAB=∠EAC，∵AR=AE，AB=AC，∴△RAB≌△EAC（SAS），∴∠ABR=∠ACE，∵∠ABR+∠ABJ=180°，∴∠ACJ+∠ABJ=180°，∴∠J+∠BAC=180°，∵∠BAC=90°，∴∠J=90°，∵DF⊥CF，∴∠DFC=∠J=90°，∴DF∥RJ，∴DERD∵DE=DR，∴EM=BM，∴BM=12BE（3）解：SΔANK【解析】【解答】解：（3）取AB的中點(diǎn)Q，連接QN、QG，取QG的中點(diǎn)P，連接PA、PN、CE，∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，∴∠AGC=∠AGB=90°，∠AEG=∠ACG=45°，AG=BG=CG，∴A、G、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠AEC=∠AGC=90°，∵BN=NE，BG=GC，BQ=AQ，∴NG∥CE，QN∥AE，∴∠QNG=∠AEC=90°，∵GA=GB，AQ=QB，∠AGB=90°，∴GQ=QA=QB=3，∠AQG=90°，∴PQ=PG=32∴NP=12QG=32，AP=∵AN≤PA+PN，∴當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大，最大值為32+352，過點(diǎn)G作GM∵PN=PG，∴∠PNG=∠PGN，∵BG=GC，BQ=AQ，∴GQ∥AC，∴∠PGN=∠AKN，∴∠PNC=∠AKN，即∠ANK=∠AKN，∴AK=AN=32∵∠AGC=90°，AG=GC，GM⊥AC，∴GM=12AC=3∴SΔAGK∵PQ=PG，∴S△APG=S△AQP=12·AQ·PQ=12×3×∵SΔANG∴SΔANG∴SΔANK

【分析】（1）過點(diǎn)B作BT⊥DA交DA延長線于T，證明∠BAT=∠ABC=45°，∠ADB=∠DBC=30°，求出BT，可得BD=2BT；

（2）延長ED到R，使DR=DE，連接AR、BR，延長RB交CF的延長線于J，證明△RAB≌△EAC（SAS），再證明DF∥RJ，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得DERD=EMMB，可證BM=12BE；

（3）取AB的中點(diǎn)Q，連接QN、QG，取QG的中點(diǎn)P，連接PA、PN、CE，先證明A、G、E、C四點(diǎn)共圓，再證明當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大，最大值為32+352，過點(diǎn)G作GM⊥22．【答案】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE．（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，AD=23∴在Rt△ACD中，由勾股定理得AC∴DC=3∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC＝3．又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF．∴AF＝AC＝3．∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF設(shè)AE＝x，則DE＝x，EF=3-x，∴(3-x)2∴x＝2．∴AE＝2．【解析】【分析】（1）先求出∠CAD＝∠ADE，再求出∠CAD＝∠EAD，最后證明即可；

（2）利用勾股定理求出DC=3，再求出Rt△DAC≌Rt△DAF23．【答案】（1）解：如圖1，PQ即為所求；（2）解：證明：∵AB平分∠PAN，∴∠PAB＝∠NAB．∵PA＝PQ，∴∠PAB＝∠PQA（等邊對等角）．∴∠NAB＝∠PQA．∴PQ∥MN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：等邊對等角；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（3）解：如圖2，PQ為所求．【解析】【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用角平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可；

（3）根據(jù)要求作圖即可。24．【答案】（1）解：如圖，∠PBC即為所求（過點(diǎn)B作BP⊥AC）（2）解：如圖，由（1）得∠APB=∠BPC=90°，∵∠A=45°，∴∠ABP=45°，在Rt△ABP中，AP=BP=AB?sin在Rt△BPC中，∠PBC=30°，PC=BP?tan∴AC=AP+PC=4+4【解析】【分析】（1）過點(diǎn)B作BP⊥AC于P即可；

（2）解直角三角形求出AP、PC即可。25．【答案】（1）解：①B和C

②若0<a≤3時(shí)，如圖所示：

點(diǎn)C到OD的最小值為CD=(3-a)2+12，最大值為OC=2，

∵點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，

∴2(3-a)2+1=2，

解得：a=3；

若3<a≤23，如圖所示：

點(diǎn)C到OD的最小值為1，最大值為OC=2，滿足題意；

若a>23時(shí)，如圖所示：

點(diǎn)C到OD的最小值為1，最大值為CD=(a-3)2+12，

∵點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，

∴2=(a-3)2+1，

解得：a=23（舍）；

若a<0時(shí)，如圖所示：

點(diǎn)C到OD的最小值為OC=2，最大值為CD=（2）13≤r<1【解析】【解答】解：（1）①∵點(diǎn)A在ON上，故最小值為0，不符合題意，點(diǎn)B到ON的最小值為OB=3，最大值為BN=∴點(diǎn)B是線段ON的“二分點(diǎn)”，點(diǎn)C到ON的最小值為1，最大值為OC=(∴點(diǎn)C是線段ON的“二分點(diǎn)”，故答案為：B和C；（2）如圖所示，設(shè)線段AN上存在⊙O的“二分點(diǎn)”為M(當(dāng)0<r<1時(shí)，最小值為：m-r，最大值為：m+r，∴2(m-r)∵1≤m≤3，∴1∴13當(dāng)1<r<3，m<r時(shí)，最小值為：r-m，最大值為：r+m，∴∴2(r-m)∵1≤m≤3，∴3≤r≤9，∵1<r<3，∴r不存在；當(dāng)1<r<3，m>r時(shí)，最小值為：m-r，最大值為：m+r，∴2(m-r)∴13∵1<r<3，∴r不存在；當(dāng)r>3時(shí)，最小值為：r-m，最大值為：m+r，∴2(r-m)∴3≤r≤9，∵r>3，∴3<r≤9，綜上所述，r的取值范圍為13≤r<1或

【分析】（1）①根據(jù)圖示即可得出答案；②若0<a≤3時(shí)，若a>23時(shí)，若a<0時(shí)，分三種情況討論即可；

（2）當(dāng)0<r<1時(shí)，當(dāng)1<r<3，m<r時(shí)，當(dāng)1<r<3，m>r時(shí)，當(dāng)r>3時(shí)，由此即可得出26．【答案】（1）證明：連接OD，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切線，∴DE⊥OD，∴DE∥AC（2）解：設(shè)OD與AC交點(diǎn)為F，連接AD，則∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，∴ODBC∵cos∠BAC=ACAB∴AB=10，∴BC=AB2∴5∴DE=20∵OF=1∴DF=OD-OF=5-3=2，∵AF=1∴AD=A∴cos∠CAD=∴cos∠CBD=∴BP=3【解析】【分析】（1）連接OD，因?yàn)镺D和AC、DE均垂直，根據(jù)平行的判定可證明

（2）連接AD，構(gòu)造直角三角形。證明三角形相似△ABC∽△EOD，根據(jù)cosA和勾股定理可知AF=CF=4，OA=5，OF=3，BC=6，利用相似線段比例關(guān)系式求出DE，在直角三角形△ADF中，用勾股定理求AD和cos∠CAD，因?yàn)椤螩AD=∠CBD，利用余弦值就可以求出BP27．【答案】（1）解：過點(diǎn)A作直線l如圖所示：（2）60（3）兩點(diǎn)之間，線段最短【解析】【解答】（2）解：利用直尺先測量出OA長度，然后以點(diǎn)O為左端點(diǎn)，在射線ON上找出點(diǎn)C，連接AC，如圖所示；經(jīng)過測量：∠OAC=60°，故答案為：60；（3）解：連接AB，與射線ON交于點(diǎn)P，即為所求，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定，故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．

【分析】（1）過點(diǎn)A作直線l//ON即可；

（2）根據(jù)要求做出圖形即可；

（3）