自動控制原理第五版課后答案

第一章

1-1圖1-2是液位自動控制系統(tǒng)原理示意圖。在任意情況下，希望液面高度。維持不變,

試說明系統(tǒng)工作原理并畫出系統(tǒng)方塊圖。

圖1-2液位自動控制系統(tǒng)

解：被控對象：水箱；被控量：水箱的實(shí)際水位；給定量電位器設(shè)定水位”，(表征液

位的希望值6);對比元件：電位器；執(zhí)行元件：電動機(jī)；控制任務(wù)：保持水箱液位高度

不變。

工作原理：當(dāng)電位電刷位于中點(diǎn)(對應(yīng)〃,)時，電動機(jī)靜止不動，控制閥門有一定的

開度，流入水量與流出水量相等，從而使液面保持給定高度一旦流入水量或流出水量

發(fā)生變化時，液面高度就會偏離給定高度卻。

當(dāng)液面升高時，浮子也相應(yīng)升高，通過杠桿作用，使電位器電刷由中點(diǎn)位置.下移，從而

給電動機(jī)提供一定的控制電壓，驅(qū)動電動機(jī)，通過減速器帶動進(jìn)水閥門向減小開度的方向轉(zhuǎn)

動，從而減少流入的水量，使液面逐漸降低，浮子位置也相應(yīng)下降，直到電位器電刷回到中

點(diǎn)位置，電動機(jī)的控制電壓為零，系統(tǒng)重新處于平衡狀態(tài)，液面恢復(fù)給定高度加。

反之，假設(shè)液面降低，則通過自動控制作用，增大進(jìn)水閥門開度，加大流入水量，使液

面升高到給定高度

系統(tǒng)方塊圖如以以下圖：

1-10以下各式是描述系統(tǒng)的微分方程，其中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，試判斷哪些

是線性定?；驎r變系統(tǒng)，哪些是非線性系統(tǒng)？

c(t)=5+r2(t)+t—^

(1)dr.

d3c(t).d2c(t)dc(t)0,、/、

———+3——3+6——+8c(l)=r(/)

(2)力3drdt

dc(t)/、/、cdr(t)

(3)dtdt.

(4)c(t)=r(f)cosw+5.

?)=3{)+6包出+5「r(r)dv

(5)dtJ*.

2

(6)c(0=r(0,

0,r<6

c(t)=<

r(r),t>6.

(7)

解：(1)因?yàn)閏(t)的表達(dá)式中包含變量的二次項(xiàng)，(,)，所以該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

(2)因?yàn)樵撐⒎址匠滩缓兞考捌鋵?dǎo)數(shù)的高次幕或乘積項(xiàng)，且各項(xiàng)系數(shù)均為常數(shù)，所以該

系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。

(3)該微分方程不含變量及其導(dǎo)數(shù)的高次第或乘積項(xiàng)，所以該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，但第一項(xiàng)

tdc(t)

小的系數(shù)為t,是隨時間變化的變量，因此該系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。

(4)因?yàn)閏(t)的表達(dá)式中r(t)的系數(shù)為非線性函數(shù)COS〃，所以該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

(5)因?yàn)樵撐⒎址匠滩缓兞考捌鋵?dǎo)數(shù)的高次幕或乘積項(xiàng)，且各項(xiàng)系數(shù)均為常數(shù)，所以該

系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)。

(6)因?yàn)閏(t)的表達(dá)式中包含變量的二次項(xiàng)表示二次曲線關(guān)系，所以該系統(tǒng)為非

線性系統(tǒng)。

0(f<6)

a=■

(7)因?yàn)閏(t)的表達(dá)式可寫為其中[1"26),所以該系統(tǒng)可看作是

線性時變系統(tǒng)。

第二章

2-3試證明圖2-5(a)的電網(wǎng)絡(luò)與(b)的機(jī)械系統(tǒng)有一樣的數(shù)學(xué)模型。

分析首先需要對兩個不同的系統(tǒng)分別求解各自的微分表達(dá)式，然后兩者進(jìn)展比照，找出兩者之

間系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。對于電網(wǎng)絡(luò)，在求微分方程時，關(guān)鍵就是將元件利用復(fù)阻抗表示，然后利用

電壓、電阻和電流之間的關(guān)系推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，然后變換成微分方程的形式，對于機(jī)械系統(tǒng),

關(guān)鍵就是系統(tǒng)的力學(xué)分析，然后利用牛頓定律列出系統(tǒng)的方程，最后聯(lián)立求微分方程。

證明：(a)根據(jù)復(fù)阻抗概念可得：

即

NRCG粵+(KG+RC+火。2)幺■+〃“=舄/?2°￡粵+(KG+&。2)色■+%

drdt“drdt

取A、B兩點(diǎn)進(jìn)展受力分析，可得：

整理可得：

經(jīng)對比可以看出，電網(wǎng)絡(luò)(a)和機(jī)械系統(tǒng)(b〕兩者參數(shù)的相似關(guān)系為

2-5設(shè)初始條件均為零，試用拉氏變換法求解以下微分方程式，并概略繪制x(t)曲線，指

出各方程式的模態(tài)。

(1)2土(，)+%?)=，；

(2)無a)+2￡(f)+%0)=bQ)o

2-7由運(yùn)算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路如圖2-6所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uc(s)/U

r(s)o

圖2-6控制系統(tǒng)模擬電路

解：由圖可得

聯(lián)立上式消去中間變量U1和U2,可得：

2-8某位置隨動系統(tǒng)原理方塊圖如圖2-7所示。電位器最大工作角度處-=330”,功率放

大級放大系數(shù)為K3,要求：

(1)分別求出電位器傳遞系數(shù)K0、第一級和第二級放大器的比例系數(shù)K1和K2；

(2)畫出系統(tǒng)構(gòu)造圖：

(3)簡化構(gòu)造圖，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)綜($)/名")。

圖2-7位置隨動系統(tǒng)原理圖

分析：利用機(jī)械原理和放大器原理求解放大系數(shù)，然后求解電動機(jī)的傳遞函數(shù)，從而畫出系統(tǒng)構(gòu)

造圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

E30180r」

=—=--------------=-----V1/rad

/330°xf1U

解：(1)180

(2)假設(shè)電動機(jī)時間常數(shù)為Tm,忽略電樞電感的影響，可得直流電動機(jī)的傳遞函數(shù)為

式中Km為電動機(jī)的傳遞系數(shù)，單位為(憶。

又設(shè)測速發(fā)電機(jī)的斜率為((V/sdr"),則其傳遞函數(shù)為

由此可畫出系統(tǒng)的構(gòu)造圖如下：

(3)簡化后可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2-9假設(shè)某系統(tǒng)在階躍輸入r(t)=l(t)時，零初始條件下的輸出響應(yīng)c(')=l-

試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。

分析:利用拉普拉斯變換將輸入和輸出的時間域表示變成頻域表示，進(jìn)而求解出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),

然后對傳遞函數(shù)進(jìn)展反變換求出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

氏⑸」

解：(1)S,則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

(2)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

2-10試簡化圖2-9中的系統(tǒng)構(gòu)造圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)和以$)小($)。

圖2-9題2T0系統(tǒng)構(gòu)造圖

分析：分別假定R(s)=0和N(s)=0,畫出各自的構(gòu)造圖，然后對系統(tǒng)構(gòu)造圖進(jìn)展等效變換，

將其化成最簡單的形式，從而求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：(a)令N(s)=0,簡化構(gòu)造圖如以以下圖：

C(s)Gfi2

可求出：而T1+(1+"I)GG

令R(s)=0,簡化構(gòu)造圖如以以下圖：

N(s)

C⑸GGTl+GG”)

所以：麗=1+GG+GGM

(b)令N(s)=0,簡化構(gòu)造圖如以以以下圖所示:

W+GJGg+G3G4

所以：R")I+G2G4+G3G4

令R(s)=0,簡化構(gòu)造圖如以以以下圖所示:

一段

i、

G)+Gy

2-12試用梅遜增益公式求圖2-8中各系統(tǒng)信號流圖的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖2-11題2-12系統(tǒng)信號流圖

解：

(a)存在三個回路：△=1+G3H1+G2G3%+G3G4H3

存在兩條前向通路：

C(s)=c+_______G]GGG4G5_______

所以：R(s)~6I+G3H1+G0H3+G2G3H2

(b)9個單獨(dú)回路：

6對兩兩互不接觸回路：

二個互不接觸問路1組：LIL2L3

4條前向通路及其余子式：

C(s)劃金

R⑸1-邙〃+邙山

所以,0=1I

第三章

3-4二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：

h(t)=10-12.5/zsin(l6+53.1°)

試求系統(tǒng)的超調(diào)量。％、峰值時間tp和調(diào)節(jié)時間ts。

解：依題意

"。時"(。)=°,并且'。是使%)第一次為零的時刻(A°)

可見，當(dāng)“⑺第一次為。時，1&〃="=>凸=1,96,所以

根據(jù)調(diào)節(jié)時間4的定義：0,95"(8)〈W)<1.057/(8),即

9.5v10-12.5?心v0.5,得

o-%=9.5%f=1.96st=2.68.v

所以：p5

3-5設(shè)圖3-3是簡化的飛行控制系統(tǒng)構(gòu)造圖，試選擇參數(shù)K1和Kt,使系統(tǒng)3n=6、

C=1°

圖3-3飛行控制系統(tǒng)

分析：求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，如果可化為典型二階環(huán)節(jié)形式，則可與標(biāo)準(zhǔn)二階環(huán)節(jié)相對照,

從而確定相應(yīng)參數(shù)。

解對?構(gòu)造圖進(jìn)展化簡如以以下圖。

25Kl

①(s)=——s(s+0.8)——_---------251^----------

2

j+25K](K,s+l)5+(0.8+25KlKt)s+25Kl

故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為s(s+0.8)

和標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對照后可以求出：

3-7系統(tǒng)特征方程如下，試求系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根值。

分析系統(tǒng)在右半平面的根數(shù)即為勞思表第一列符號改變的次數(shù)，虛根值可通過構(gòu)造輔助函

數(shù)求得。

解由系統(tǒng)特征方程，列勞思表如下：

(出現(xiàn)了全零行，要構(gòu)造輔助方程)

由全零行的上一行構(gòu)造輔助方程-5$4-5/+10=0,對其求導(dǎo)，得

故原全零行替代為

表中第一列元素變號兩次，故右半s平面有兩個閉環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

對輔助方程-5/-5s2+10=0化簡得

(?-1)(?+2)=0①

由O(s)/輔助方程，得余因式為

(sT)(s+5)=0②

求解①、②，得系統(tǒng)的根為

所以，系統(tǒng)有一對純虛根。

3-9單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

~、100

G(5)=-------------

⑴(0.1s+lXs+5)

3SJ=--------------

(2)5(0.15+1)(54-5)

10(25+1)

G(5)=—;----------

(3)/(1+6s+ioo)

試求輸入分別為=21和"/)=2+2,+產(chǎn)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

分析：

用靜態(tài)誤差系數(shù)法求穩(wěn)態(tài)誤差比用誤差傳遞函數(shù)求解更方便。對復(fù)雜的輸入表達(dá)式，可分解

為典型輸入函數(shù)的線性組合，再利用靜態(tài)誤差系數(shù)法分別求各典型輸入引起的誤差，最后疊

加起來即為總的誤差。

解(1)

判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可見，勞思表中首列系數(shù)全部大于零，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

求穩(wěn)態(tài)誤差

K=100/5=20,系統(tǒng)的型別=0,

22八八

1=-----=-----=0.095

當(dāng)/(。=2時,川\+K1+20

22

e、=—=-->oo

當(dāng)G⑺=2,時，”2儲0

）t2_2_2

當(dāng)2時，跖°

所以，68,

r-2i=i

2—+8+8->00

「)生1腳￡“出血21

勞斯表中首列系數(shù)全部大于零，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

求穩(wěn)態(tài)誤差

K=10/100=0.1,系統(tǒng)的型別卜=2,

當(dāng)4"):2時，，"=正可=啟=

_2_

=-=0

當(dāng)『f)=2f時，K、00

222

4a)=『二2二q^—=—=20

$$3

當(dāng)2時，g0.1

:Pl1設(shè)隨動系統(tǒng)的微分方程為“>

其中，Ti、T2和K2為正常數(shù)。假設(shè)要求r(t)=l+t時，c(t)對r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差不大于正

常數(shù)￡0,試問K1應(yīng)滿足什么條件？

分析：先求出系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)，再利用穩(wěn)態(tài)誤差計算公式，根據(jù)題目要求確定參數(shù)。

解：對方程組進(jìn)展拉普拉斯變換，可得

按照上面三個公式畫出系統(tǒng)的構(gòu)造圖如下：

定義誤差函數(shù)￡(s)=R(s)—c(s)

K\K?

6⑸二幽==1-①⑸=1-s（Z$+1）

所以s（7；s+l）（qs+l）

\-K.K.T,,11

e=------~~<sk>>-------------k>-------------

令ss、之Q二可得&x

KK?因此，當(dāng)右(J+()時，滿足條件。

第四章

4-4設(shè)單位反響控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下,試概略繪出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖(要求確

定別離點(diǎn)坐標(biāo)d)：

G(s)=

(1)5(0.25+1)(0.55+1)⑵s(2s+1)

解：(Ds(0.2s+l)(0.5s+1)s(s+2)(s+5),K"=10K

①n=3,根軌跡有3條分支；

②起點(diǎn)：pl=0,p2=-2,p3=-5；沒有零點(diǎn)，終點(diǎn)：3條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。

③實(shí)軸上的根軌跡：-2,0],(一泡一5〕；

0-2-57(2K+\)TT

0=----------=―(p,=-------------=±-，乃

④漸進(jìn)線：a33,e33.

111

—+-----H------=0

⑤別離點(diǎn)：dd+2d+5

求解得：4=一3.79(舍去)，&=-().88；

作出根軌跡如以以下圖：

、K(s+1)K*(s+1)

G(s)=--------=---------

⑵5(25+1)5(5+0.5),K=0.5K

①n=2,根軌跡有2條分支；

②起點(diǎn)：Pl=0,p2=-0.5,；終點(diǎn)：4=T,〃一根=1條根軌跡趨向于無窮遠(yuǎn)處。

③實(shí)軸上的根軌跡：[-0.5,0],「81];

_1_11

④別離點(diǎn)：7

求解得：4=-0.29,4=7.707；

作出根軌跡如以以下圖：

4-6設(shè)單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求：

G(s)=-———

確定5(5+10)(5+20)產(chǎn)生純虛根為土j1的z值和K.值。

解.。($)=s2(s+10)(5+20)+K*(s+z)=/+30/+200/+K*s+K*Z=0

令$=/代入°(s)二°,并令其實(shí)部、虛局部別為零，即：

Re[O(/l)]=1—200+K*z=0,ImfD(jl)]=-30+AT*=0

解得：K?=30,Z=6.63

畫出根軌跡如以以下圖：

4-10設(shè)單位反響控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

K

G(s)=

5(0.0154-1)(0.025+1)

要求:

(1)畫出準(zhǔn)確根軌跡(至少校驗(yàn)三點(diǎn))；

(2)確定系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定開環(huán)增益Kc；

(3)確定與系統(tǒng)臨界阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益Kc

分析：利用解析法，采用逐個描點(diǎn)的方法畫出系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。然后將s=代入特

征方程中，求解純虛根的開環(huán)增益，或是利用勞斯判據(jù)求解臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。對于臨界

阻尼比相應(yīng)的開環(huán)增益即為實(shí)軸上的別離點(diǎn)對應(yīng)的開環(huán)增益。

~、5000K

G(s)=---------------

解:⑴s(s+50)($+100)

①n=3,根軌跡有3條分支，且均趨于無窮遠(yuǎn)處;

②實(shí)軸上的根軌跡：[-50,0],(一8,一I。。];

-50-100“(24+1)%=±g,乃

③漸進(jìn)線：“35,-3

D9?

1_1_

④別離點(diǎn)：dd+50d+100

求解得：4=—21.3,4=一78.8(舍去);

作出根軌跡如以以下圖：

(2)臨界開環(huán)增益(為根軌跡與虛軸交點(diǎn)對應(yīng)的開環(huán)增益。

令S=/3,代入。")二°,并令其實(shí)部、虛局部別為零，即

Re[D(j6>)]=-150ty2+5000K=0,Im[D(/^)]=-ty3+50006y=0

解得：^1.2=i>/5000=±70.71,6^=0(舍去)K,.=150

13)系統(tǒng)處于臨界阻尼比7=1,相應(yīng)閉環(huán)根位于別離點(diǎn)處，即要求別離點(diǎn)d對應(yīng)的K值。

將s=d=-21.3代入幅值條件：

4-14設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出b從零變到無窮時的根軌跡圖。

20

G(s)=——-——

(1)($+4心+〃)

(2)s(s+10)

解.D(s)=s2+4s+bs+4b+20=s2+45+20+Z?(5+4)=0

做等效開環(huán)傳遞函數(shù)

①n=2,有2條根軌跡分支，n-m=l條趨于無窮遠(yuǎn)處；

②實(shí)軸上的根軌跡：(一8，-4]；

111

-------------------T=----

③別離點(diǎn)"2+4/d+2-4jd+4

屋+84—4=0

4=-8.47

整理得&=。.47(舍去)

中陰岳/=180°+arctan2-90°=135(,

出射角：八

根軌跡如以以下圖：

(2)p(5)=5(5+10)+30(s+/>)=?+40s+30b=0

做等效開環(huán)傳遞函數(shù)

①n=2,有2條根軌跡分支，且均趨于無窮遠(yuǎn)處;

②實(shí)軸上的根軌跡：［TQ。］;

③別離點(diǎn)dd+40

整理得d=-20

根軌跡如以以下圖：

第五章

5-2假設(shè)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為

試確定系統(tǒng)的頻率特性。

分析先求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)，用2y替換s即可得到頻率特性。

解:從力⑺中可求得:4(0)=0,“(0)=0

在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換"G)與系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換R")之間

的關(guān)系為

即

其中①G)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，又

H(s)36

①(s)

則R(s)(s+4)(s+9)

令s=則系統(tǒng)的頻率特性為

5-7系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=K(fs+l)

s(T|S+l)；(K、Tl、T2>0)

當(dāng)取3=1時，/G(jco)=-180°jG(j(o)］=0.5。當(dāng)輸入為心位速度信號時，系統(tǒng)

的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1,試寫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性表達(dá)式G(j3)。

分析：根據(jù)系統(tǒng)幅頻和相頻特性的表達(dá)式，代入條件，即可確定相應(yīng)參數(shù)。

解：由題意知：

因?yàn)樵撓到y(tǒng)為I型系統(tǒng)，且輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1,即

所以：K=10

如*浮=。5

當(dāng)6y=1時，

由上兩式可求得工=20/=0.05,因此

5-14以下系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)(參數(shù)K、T、Ti>0,i=1,2,6)

G(s)=

(1)(T[S+1)(T2s+1)(T3s+1)

K

G(s)=

(2)s(T]S+l)(T2s+1)

K

GG)

"S2(TS+1)

⑶

G(s)=-

⑸

K(T[S+1)(T2S+1)

G(s)=

3

(6)

K(TS+1)(TS+1)

G(s)56

s(T)s+1)(TS+1)(TS+1)(TS+1)

(7)234

K

G(s)=

(8)Ts-1

-K

G(s)=

(9)-Ts+1

K

G(s)=

(10)s(Ts-1)

其系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線分別如圖5-6(1)?(10)所示，試根據(jù)奈氏判據(jù)判定各系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定

性，假設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定，確定其s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。

圖5-6題5-8系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線

分析：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)在右半平面開環(huán)極點(diǎn)個數(shù)P,由幅相曲線圖可知包圍點(diǎn)

(一1，/°)的圈數(shù)。

解：⑴P=0，N=-l

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

⑵P=0,N=0

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

⑶p=0,N=-l

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(4)P=O，N=0

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根,系統(tǒng)穩(wěn)定。

(5)P=6N=T

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有2個根,系統(tǒng)小穩(wěn)定。

⑹P=0,N=0

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根,系統(tǒng)穩(wěn)定。

⑺P=0,N=。

所以系統(tǒng)在虛軸右邊有0個根,系統(tǒng)穩(wěn)定。

p=1N=