廣東省深圳市羅湖區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題文含解析

PAGE廣東省深圳市羅湖區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題文（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將答案涂在答題卡上.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將整理為的形式,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模,考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用2.設(shè)全集，集合，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合先得到，再依據(jù)集合交集運(yùn)算，得到的值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋怨蔬x：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算，屬于簡潔題.3.中國古代的五音，一般指五聲音階，依次為：宮、商、角、徵、羽；假如把這五個音階全用上，排成一個5個音階的音序.在全部的這些音序中隨機(jī)抽出一個音序，則這個音序中宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)得到總的可能性，再依據(jù)宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)，通過除序法，得到符合要求的可能性，依據(jù)古典概型的概率公式，得到答案.【詳解】依據(jù)題意，總的可能性有種，因?yàn)橐沟脤m、羽兩音階在角音階的同側(cè)，先考慮宮、羽兩音階在角音階的左側(cè)，且宮、羽兩音階之間也有依次，則通過除序法得到，所以滿意宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)的狀況有，依據(jù)古典概型的概率公式，得到概率，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列問題，求古典概型的概率，屬于簡潔題.4.已知平面對量，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對平方處理,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的模,屬于基礎(chǔ)題5.為了探討不同性別在處理多任務(wù)時的表現(xiàn)差異，召集了男女志愿者各200名，要求他們同時完成多個任務(wù)，包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務(wù)所需的時間分布.以下結(jié)論，對志愿者完成任務(wù)所需的時間分布圖表理解正確的是（）①總體看女性處理多任務(wù)平均用時更短；②全部女性處理多任務(wù)的實(shí)力都要優(yōu)于男性；③男性的時間分布更接近正態(tài)分布；④女性處理多任務(wù)的用時為正數(shù)，男性處理多任務(wù)的用時為負(fù)數(shù).A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】C【解析】【分析】圖像為對志愿者完成任務(wù)所需時間分布圖表,利用圖像依次分析即可【詳解】由圖,女性處理多任務(wù)用時主要集中在2到3分鐘,男性處理多任務(wù)用時主要集中在3到4分鐘,故總體來看女性處理多任務(wù)用時更短,故①正確；女性中也有處理多任務(wù)用時在5分鐘的,并不是全部女性處理多任務(wù)實(shí)力都要優(yōu)于男性,故②錯誤；從圖像上來看男性的時間分布更接近正態(tài)分布,故③正確；男性、女性處理多任務(wù)的用時均為正數(shù),故④錯誤；綜上,①③正確,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計數(shù)據(jù)反饋的信息,考查閱讀理解實(shí)力6.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.6 B.15 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列可得,可解得,,進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,解得,所以,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的項(xiàng),考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各面中，面積最大的面的面積為()A.6 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三視圖還原出幾何體，然后證明、、、都是直角三角形，結(jié)合三視圖中的線段長度，得到各棱長的長度，求出各面的面積，得到答案.【詳解】依據(jù)三視圖還原出幾何體如圖所示，為三棱錐，其中平面，所以可得，，，而平面，，所以平面，而平面，所以，所以、、、都是直角三角形，依據(jù)三視圖可知，，所以，，，所以，，，，所以三棱錐面積最大的面為，為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)三視圖還原幾何體，線面垂直的判定和性質(zhì)，求三棱錐的側(cè)面積，屬于中檔題.8.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時，.函數(shù)，若存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將有3個零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與有3個交點(diǎn)問題,畫出的圖像,進(jìn)而由圖像得到的范圍【詳解】由題,因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,若存在3個零點(diǎn),則與有三個交點(diǎn),的圖像如圖所示,當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,,所以,由圖,當(dāng)時與有三個交點(diǎn),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,考查由函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍,考查數(shù)形結(jié)合思想9.記不等式表示的平面區(qū)域?yàn)?命題：，；命題：，.下面給出了四個命題：①；②；③；④.這四個命題中，全部真命題的編號是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【答案】B【解析】【分析】畫出平面區(qū)域，直線和直線，依據(jù)圖像推斷出命題和命題的真假，從而得到答案.【詳解】平面區(qū)域?yàn)闈M意不等式，畫出其圖像如圖所示，再畫出直線和直線，依據(jù)圖像可得存在，在直線的上方，所以命題：，，是假命題，不存在，在直線的下方所以命題：，，是假命題.所以①為假命題；②為真命題；③為假命題；④為真命題.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查推斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，依據(jù)不等式畫可行域，推斷點(diǎn)是否在可行域內(nèi)，屬于中檔題.10.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有2個微小值點(diǎn)，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，得到，從而得到周期的范圍，再依據(jù)，得到的范圍.【詳解】函數(shù)，在有且僅有2個微小值點(diǎn)，所以，可得，而，得到，所以即取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)余弦型函數(shù)的周期求參數(shù)的范圍，屬于簡潔題.11.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知且，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)結(jié)合余弦定理，得到，依據(jù)結(jié)合正弦定理，得到的大小，從而得到的大小.【詳解】因?yàn)樵谥?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗杂烧叶ɡ?，得，而，所以，所以，因?yàn)?，且為?nèi)角，所以，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于簡潔題.12.已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與的一條漸近線交于點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】以為直徑的圓與的一條漸近線交于點(diǎn),則,可得,又有,則,則可得一條漸近線方程為,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,以為直徑的圓與的一條漸近線交于點(diǎn),則,因?yàn)?所以,,設(shè)原點(diǎn)為,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以在中,,所以,所以一條漸近線方程為,即,所以,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,考查數(shù)形結(jié)合思想二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式，得到，再依據(jù)利用兩角差的余弦公式和特別角的三角函數(shù)值，得到答案.【詳解】，而，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式化簡，兩角差的余弦公式，特別角的三角函數(shù)值，屬于簡潔題.14.已知，則曲線在點(diǎn)處切線方程是______.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo),將代入得到,即為曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率,再求得,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以,,則在點(diǎn)處的切線方程為,即,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查曲線在一點(diǎn)處的切線方程,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用15.已知直線：經(jīng)過拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于、兩點(diǎn)，與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則______，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】將代入直線的方程中即可求得焦點(diǎn),進(jìn)而求得；由可知點(diǎn)為線段的中點(diǎn),進(jìn)而求解即可【詳解】因?yàn)橹本€為,所以當(dāng)時,,所以焦點(diǎn),所以,即拋物線為,則準(zhǔn)線為,設(shè)點(diǎn),,因?yàn)?所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以,解得,因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,解得或,因?yàn)?所以點(diǎn)在第一象限,所以為,所以,故答案為:；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查斜率公式的應(yīng)用16.已知三棱錐中，，當(dāng)三棱錐體積最大值時，三棱錐的外接球的體積為______.【答案】【解析】【分析】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，得到三棱錐在兩兩垂直時體積最大，此時三棱錐的外接球可以看作是以為棱長的正方體的外接球，從而求出其半徑，得到球的體積.【詳解】三棱錐，以為底，到平面的距離為高，則可知平面時，到平面的距離最大為，底面為等腰三角形，，所以，當(dāng)時，的面積最大，即，所以，當(dāng)兩兩垂直時，三棱錐體積最大，此時三棱錐的外接球可以看作是以為棱長的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以所求球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求三棱錐的體積，求三棱錐外接球的體積，屬于中檔題.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題，共60分.17.如表是我國2012年至2024年國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億美元）的數(shù)據(jù)：年份2012201320242024202420242024年份代號1234567國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億美元）8.59.610.41111.112.113.6(1)從表中數(shù)據(jù)可知和線性相關(guān)性較強(qiáng)，求出以為說明變量為預(yù)報變量的線性回來方程；(2)已知美國2024年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為20.5萬億美元，用(1)的結(jié)論，求出我國最早在那個年份才能趕上美國2024年的國內(nèi)生產(chǎn)總值？參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回來方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:，.【答案】(1)；(2)2028年.【解析】【分析】（1）依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)計算出和，再計算出和，從而得到回來方程；（2）依據(jù)（1）中所得的回來方程，令，得到的范圍，從而得到答案.【詳解】(1)，，，.所以回來方程為.(2)由(1)可知，令，得，解得，即要在第17個年份才能超過20.5萬億.所以用線性回來分析我國最早也要在2028年才能趕上美國2024年的國內(nèi)生產(chǎn)總值.【點(diǎn)睛】本題考查最小二乘法求線性歸回方程，依據(jù)線性回來方程進(jìn)行估算，屬于簡潔題.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)恒成立，求的最小值；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)3；(2).【解析】【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)公式，得到，從而得到的值，求出公比，依據(jù)等比數(shù)列求和公式，得到，從而得到的范圍；（2）依據(jù)（1）得到的通項(xiàng)，從而得到的通項(xiàng)，利用錯位相減求和，得到.【詳解】(1)因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，，所以，又，所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即的最小值?.(2)由(1)可知，所以，故①②①-②得：，整理得，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列下標(biāo)公式，等比數(shù)列求和公式，錯位相減法求和，屬于簡潔題.19.如圖，在矩形中，，為邊的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且使平面平面.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，得到，即，由平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合得到平面；（2）過點(diǎn)在平面中向引垂線，垂足，連接和，得到和的長，由平面平面，得到，從而得到，的長，設(shè)為的中點(diǎn)，在等腰三角形中，求出的長，利用，求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)樵诰匦沃校?，為邊的中點(diǎn)，所以，又，所以所以，又平面平面，且平面平面，平面所以平面，而平面，故，又，且，平面，所以平面.（2）過點(diǎn)在平面中向引垂線，垂足，連接和，由得為中點(diǎn)，所以，，由平面平面，，面，平面平面所以平面，而平面，所以，，故，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，在等腰三角形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)和判定，等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.20.已知函數(shù)，為常數(shù).(1)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，然后分和進(jìn)行分類探討，依據(jù)的正負(fù)，得到的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得到，且在處取最小值，從而得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到的最大值為，從而得到滿意要求的的值.【詳解】(1)由題意，，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)上，單調(diào)遞減，當(dāng)上，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由(1)可知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，與題設(shè)沖突，當(dāng)時，在區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞減，區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)即可，設(shè)，，，所以當(dāng)上，單調(diào)遞增，當(dāng)上，單調(diào)遞減，所以時，取極大值，也是最大值，所以，所以滿意不等式的的值只有，所以時，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，屬于中檔題.21.已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上隨意點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，摸索求，，的關(guān)系，并給出證明.【答案】(1)；(2)，，成等差數(shù)列，證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)兩圓的位置關(guān)系，得到，從而得到橢圓的長軸和焦距，求出橢圓的方程；（2）當(dāng)斜率為時，得到，當(dāng)斜率不為，設(shè)的方程設(shè)為，與橢圓聯(lián)立，得到，，再表示出并進(jìn)行化簡，得到，從而得到結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)動圓的半徑為，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切.則，.兩式相加得，由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，焦距為，長軸長為即，，所以的橢圓其方程為.(2)設(shè)，，，若斜率為，則，，得，，，所以，故猜想，，成等差數(shù)列，設(shè)直線的方程設(shè)為，由，消去得，則有，，，，，，又，，所以，，所以，，所以可以得到，，所以，綜上所述，，，成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，求動點(diǎn)的軌