河北省2024年中考數(shù)學(xué)真題試題含解析

2024年河北省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有16個(gè)小題，共42分．1～10小題各3分，11～16小題各2分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）如圖，在平面內(nèi)作已知直線(xiàn)m的垂線(xiàn)，可作垂線(xiàn)的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．多數(shù)條【分析】依據(jù)垂直、垂線(xiàn)的定義，可干脆得結(jié)論．【解答】解：在平面內(nèi)，與已知直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)有多數(shù)條，所以作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，可作多數(shù)條．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直和垂線(xiàn)的定義．駕馭垂線(xiàn)的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（3分）墨跡覆蓋了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的運(yùn)算符號(hào)，則覆蓋的是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【分析】干脆利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），∴覆蓋的是：÷．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，正確駕馭相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．（3分）對(duì)于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，從左到右的變形，表述正確的是（）A．都是因式分解 B．都是乘法運(yùn)算 C．①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D．①是乘法運(yùn)算，②是因式分解【分析】依據(jù)因式分解的定義（把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫因式分解，也叫分解因式）推斷即可．【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），從左到右的變形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，從左到右的變形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法運(yùn)算．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵是駕馭因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．4．（3分）如圖的兩個(gè)幾何體分別由7個(gè)和6個(gè)相同的小正方體搭成，比較兩個(gè)幾何體的三視圖，正確的是（）A．僅主視圖不同 B．僅俯視圖不同 C．僅左視圖不同 D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同【分析】依據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從上面看得到的圖形，左視圖是左邊看得到的圖形，可得答案．【解答】解：從正面看，兩個(gè)幾何體均為第一層和其次層都是兩個(gè)小正方形，故主視圖相同；從左面看，兩個(gè)幾何體均為第一層和其次層都是兩個(gè)小正方形，故左視圖相同；從上面看，兩個(gè)幾何體均為第一層和其次層都是兩個(gè)小正方形，故俯視圖相同．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)潔組合體的三視圖，利用三視圖的意義是解題關(guān)鍵．5．（3分）如圖是小穎前三次購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果單價(jià)的統(tǒng)計(jì)圖，第四次又買(mǎi)的蘋(píng)果單價(jià)是a元/千克，發(fā)覺(jué)這四個(gè)單價(jià)的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，則a＝（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)和題意，可以得到a的值，本題得以解決．【解答】解：由統(tǒng)計(jì)圖可知，前三次的中位數(shù)是8，∵第四次又買(mǎi)的蘋(píng)果單價(jià)是a元/千克，這四個(gè)單價(jià)的中位數(shù)恰好也是眾數(shù)，∴a＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6．（3分）如圖1，已知∠ABC，用尺規(guī)作它的角平分線(xiàn)．如圖2，步驟如下，第一步：以B為圓心，以a為半徑畫(huà)弧，分別交射線(xiàn)BA，BC于點(diǎn)D，E；其次步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P；第三步：畫(huà)射線(xiàn)BP．射線(xiàn)BP即為所求．下列正確的是（）A．a(chǎn)，b均無(wú)限制 B．a(chǎn)＞0，b＞DE的長(zhǎng) C．a(chǎn)有最小限制，b無(wú)限制 D．a(chǎn)≥0，b＜DE的長(zhǎng)【分析】依據(jù)角平分線(xiàn)的畫(huà)法推斷即可．【解答】解：以B為圓心畫(huà)弧時(shí)，半徑a必需大于0，分別以D，E為圓心，以b為半徑畫(huà)弧時(shí)，b必需大于DE，否則沒(méi)有交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．7．（3分）若a≠b，則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】依據(jù)a≠b，可以推斷各個(gè)選項(xiàng)中的式子是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵a≠b，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．?huà)故祚{馭分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR【分析】由以點(diǎn)O為位似中心，確定出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則OC＝，OM＝2，OD＝，OB＝，OA＝，OR＝，OQ＝2，OP＝2，OH＝3，ON＝2，由＝2，得點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則OC＝＝，OM＝＝2，OD＝，OB＝＝，OA＝＝，OR＝＝，OQ＝2，OP＝＝2，OH＝＝3，ON＝＝2，∵＝＝2，∴點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)P，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，∴以點(diǎn)O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭位似中心，找出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M是解題的關(guān)鍵．9．（3分）若＝8×10×12，則k＝（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】依據(jù)平方差公式和分式方程的解法，即可得到k的值．【解答】解：方程兩邊都乘以k，得（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，∴80×120＝8×10×12k，∴k＝10．經(jīng)檢驗(yàn)k＝10是原方程的解．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式和解分式方程，嫻熟駕馭平方差公式和解分式方程的方法是解本題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，將△ABC繞邊AC的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．嘉淇發(fā)覺(jué)，旋轉(zhuǎn)后的△CDA與△ABC構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：小明為保證嘉淇的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四邊形…”之間作補(bǔ)充，下列正確的是（）A．嘉淇推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充 B．應(yīng)補(bǔ)充：且AB＝CD C．應(yīng)補(bǔ)充：且AB∥CD D．應(yīng)補(bǔ)充：且OA＝OC【分析】依據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)變換等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．11．（2分）若k為正整數(shù)，則＝（）A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k【分析】依據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘解答即可．【解答】解：＝（（k?k）k＝（k2）k＝k2k，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方．解題的關(guān)鍵駕馭冪的乘方的運(yùn)算法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．12．（2分）如圖，從筆直的馬路l旁一點(diǎn)P動(dòng)身，向西走6km到達(dá)l；從P動(dòng)身向北走6km也到達(dá)l．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．從點(diǎn)P向北偏西45°走3km到達(dá)l B．馬路l的走向是南偏西45° C．馬路l的走向是北偏東45° D．從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l【分析】先作出圖形，依據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，由題意可得△PAB是腰長(zhǎng)6km的等腰直角三角形，則AB＝6km，則PC＝3km，則從點(diǎn)P向北偏西45°走3km到達(dá)l，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；則馬路l的走向是南偏西45°或北偏東45°，選項(xiàng)B，C正確；則從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l，選項(xiàng)D正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出精確的示意圖．領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．13．（2分）已知光速為300000千米/秒，光經(jīng)過(guò)t秒（1≤t≤10）傳播的距離用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n千米，則n可能為（）A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的肯定值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【解答】解：當(dāng)t＝1時(shí)，光傳播的距離為1×300000＝300000＝3×105（千米），則n＝5；當(dāng)t＝10時(shí)，光傳播的距離為10×300000＝3000000＝3×106（千米），則n＝6．因?yàn)?≤t≤10，所以n可能為5或6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．14．（2分）有一題目：“已知：點(diǎn)O為△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答為：畫(huà)△ABC以及它的外接圓O，連接OB，OC．如圖，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇說(shuō)：“嘉嘉考慮的不周全，∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”下列推斷正確的是（）A．淇淇說(shuō)的對(duì)，且∠A的另一個(gè)值是115° B．淇淇說(shuō)的不對(duì)，∠A就得65° C．嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，∠A應(yīng)得50° D．兩人都不對(duì)，∠A應(yīng)有3個(gè)不同值【分析】干脆利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【解答】解：如圖所示：∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值∠A′與∠A互補(bǔ)．故∠A′＝180°﹣65°＝115°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓，正確分類(lèi)探討是解題關(guān)鍵．15．（2分）如圖，現(xiàn)要在拋物線(xiàn)y＝x（4﹣x）上找點(diǎn)P（a，b），針對(duì)b的不同取值，所找點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，三人的說(shuō)法如下，甲：若b＝5，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為0；乙：若b＝4，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1；丙：若b＝3，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1．下列推斷正確的是（）A．乙錯(cuò)，丙對(duì) B．甲和乙都錯(cuò) C．乙對(duì)，丙錯(cuò) D．甲錯(cuò)，丙對(duì)【分析】求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），由二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)甲、乙、丙三人的說(shuō)法分別進(jìn)行推斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），∴在拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大為4，∴甲、乙的說(shuō)法正確；若b＝3，則拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為3的點(diǎn)有2個(gè)，∴丙的說(shuō)法不正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【分析】依據(jù)題意可知，三塊三角形的面積中，兩個(gè)較小的面積之和等于最大的面積，再依據(jù)三角形的面積，分別計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【解答】解：當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是＝，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時(shí)，圍成的直角三角形的面積是＝；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時(shí)，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時(shí)，圍成的直角三角形的面積是＝，∵，∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．二、填空題（本大題有3個(gè)小題，共12分．17～18小題各3分；19小題有3個(gè)空，每空2分）17．（3分）已知：﹣＝a﹣＝b，則ab＝6．【分析】干脆化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而得出a，b的值求出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝a﹣＝b，故a＝3，b＝2，則ab＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．18．（3分）正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是正n邊形一個(gè)外角的4倍，則n＝12．【分析】依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的一個(gè)內(nèi)角等于120°，再依據(jù)多邊形的外角和是360°即可解答．【解答】解：正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為：，∵正六邊形的一個(gè)內(nèi)角是正n邊形一個(gè)外角的4倍，∴正n邊形一個(gè)外角為：120°÷4＝30°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理，理解多邊形外角和中外角的個(gè)數(shù)，以及正多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，是解題關(guān)鍵．19．（6分）如圖是8個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作Tm（m為1～8的整數(shù)）．函數(shù)y＝（x＜0）的圖象為曲線(xiàn)L．（1）若L過(guò)點(diǎn)T1，則k＝﹣16；（2）若L過(guò)點(diǎn)T4，則它必定還過(guò)另一點(diǎn)Tm，則m＝5；（3）若曲線(xiàn)L使得T1～T8這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各4個(gè)點(diǎn)，則k的整數(shù)值有7個(gè)．【分析】（1）由題意可求T1～T8這些點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)T1的坐標(biāo)代入解析式可求解；（2）將點(diǎn)T4的坐標(biāo)代入解析式可求k的值，將點(diǎn)T5代入，可求解；（3）由曲線(xiàn)L使得T1～T8這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各4個(gè)點(diǎn)，可得T1，T2，T7，T8與T3，T4，T5，T6在曲線(xiàn)L的兩側(cè)，即可求解．【解答】解：（1）∵每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），∵L過(guò)點(diǎn)T1，∴k＝﹣16×1＝﹣16，故答案為：﹣16；（2）∵L過(guò)點(diǎn)T4，∴k＝﹣10×4＝﹣40，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝﹣，當(dāng)x＝﹣8時(shí)，y＝5，∴T5在反比例函數(shù)圖象上，∴m＝5，故答案為：5；（3）若曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）時(shí)，k＝﹣16，若曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）時(shí)，k＝﹣14×2＝﹣28，若曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）時(shí)，k＝﹣12×3＝﹣36，若曲線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）時(shí)，k＝﹣40，∵曲線(xiàn)L使得T1～T8這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各4個(gè)點(diǎn)，∴﹣36＜k＜﹣28，∴整數(shù)k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7個(gè)，∴答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題有7個(gè)小題，共66分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）20．（8分）已知兩個(gè)有理數(shù)：﹣9和5．（1）計(jì)算：；（2）若再添一個(gè)負(fù)整數(shù)m，且﹣9，5與m這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)仍小于m，求m的值．【分析】（1）依據(jù)有理數(shù)的加法、除法法則計(jì)算即可；（2）依據(jù)題意列不等式，解不等式，由m是負(fù)整數(shù)即可求出m的值．【解答】解：（1）＝＝﹣2；（2）依據(jù)題意得，＜m，∴﹣4+m＜3m，∴m﹣3m＜4，∴﹣2m＜4，∴m＞﹣2，∵m是負(fù)整數(shù)，∴m＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，解不等式．?huà)故祚{馭有理數(shù)的運(yùn)算法則，解不等式的方法是解本題的關(guān)鍵．21．（8分）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會(huì)自動(dòng)加上a2，同時(shí)B區(qū)就會(huì)自動(dòng)減去3a，且均顯示化簡(jiǎn)后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16，如圖．如，第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：（1）從初始狀態(tài)按2次后，分別求A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果；（2）從初始狀態(tài)按4次后，計(jì)算A，B兩區(qū)代數(shù)式的和，請(qǐng)推斷這個(gè)和能為負(fù)數(shù)嗎？說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）依據(jù)題意得到25+4a2+（﹣16﹣12a），依據(jù)整式加減的法則計(jì)算，然后配方，依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）A區(qū)顯示的結(jié)果為：25+2a2，B區(qū)顯示的結(jié)果為：﹣16﹣6a；（2）這個(gè)和不能為負(fù)數(shù)，理由：依據(jù)題意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；∵（2a﹣3）2≥0，∴這個(gè)和不能為負(fù)數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，整式的加減，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．22．（9分）如圖，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)C，OB到點(diǎn)D，使OC＝OD．以點(diǎn)O為圓心，分別以O(shè)A，OC為半徑在CD上方作兩個(gè)半圓．點(diǎn)P為小半圓上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接OP并延長(zhǎng)交大半圓于點(diǎn)E，連接AE，CP．（1）①求證：△AOE≌△POC；②寫(xiě)出∠l，∠2和∠C三者間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）若OC＝2OA＝2，當(dāng)∠C最大時(shí)，干脆指出CP與小半圓的位置關(guān)系，并求此時(shí)S扇形EOD（答案保留π）．【分析】（1）①利用公共角相等，依據(jù)SAS證明三角形全等便可；②由全等三角形得∠C＝∠E，再利用三角形外角性質(zhì)得結(jié)論；（2）當(dāng)CP與小半圓O相切時(shí)，∠C最大，求出∠DOE便可依據(jù)扇形的面積公式求得結(jié)果．【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，，∴△AOE≌△POC（SAS）；②∵△AOE≌△POC，∴∠E＝∠C，∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C＝∠2；（2）當(dāng)∠C最大時(shí)，CP與小半圓相切，如圖，∵OC＝2OA＝2，∴OC＝2OP，∵CP與小半圓相切，∴∠OPC＝90°，∴∠OCP＝30°，∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)算，關(guān)鍵在于駕馭各個(gè)定理，敏捷運(yùn)用這些性質(zhì)解題．23．（9分）用承重指數(shù)w衡量水平放置的長(zhǎng)方體木板的最大承重量．試驗(yàn)室有一些同材質(zhì)同長(zhǎng)同寬而厚度不一的木板，試驗(yàn)發(fā)覺(jué)：木板承重指數(shù)W與木板厚度x（厘米）的平方成正比，當(dāng)x＝3時(shí)，W＝3．（1）求W與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）如圖，選一塊厚度為6厘米的木板，把它分割成與原來(lái)同長(zhǎng)同寬但薄厚不同的兩塊板（不計(jì)分割損耗）．設(shè)薄板的厚度為x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．①求Q與x的函數(shù)關(guān)系式；②x為何值時(shí)，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必寫(xiě)x的取值范圍]【分析】（1）由木板承重指數(shù)W與木板厚度x（厘米）的平方成正比，可設(shè)W＝kx2（k≠0）．將x＝3時(shí)，W＝3代入，求出k＝，即可得出W與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）①設(shè)薄板的厚度為x厘米，則厚板的厚度為（6﹣x）厘米，將（1）中所求的解析式代入Q＝W厚﹣W薄，化簡(jiǎn)即可得到Q與x的函數(shù)關(guān)系式；②依據(jù)Q是W薄的3倍，列出方程﹣4x+12＝3×x2，求解即可．【解答】解：（1）設(shè)W＝kx2（k≠0）．∵當(dāng)x＝3時(shí)，W＝3，∴3＝9k，解得k＝，∴W與x的函數(shù)關(guān)系式為W＝x2；（2）①設(shè)薄板的厚度為x厘米，則厚板的厚度為（6﹣x）厘米，∴Q＝W厚﹣W?。剑?﹣x）2﹣x2＝﹣4x+12，即Q與x的函數(shù)關(guān)系式為Q＝﹣4x+12；②∵Q是W薄的3倍，∴﹣4x+12＝3×x2，整理得，x2+4x﹣12＝0，解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合題意舍去），故x為2時(shí)，Q是W薄的3倍．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求出W與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．24．（10分）表格中的兩組對(duì)應(yīng)值滿(mǎn)意一次函數(shù)y＝kx+b，現(xiàn)畫(huà)出了它的圖象為直線(xiàn)l，如圖．而某同學(xué)為視察k，b對(duì)圖象的影響，將上面函數(shù)中的k與b交換位置后得另一個(gè)一次函數(shù)，設(shè)其圖象為直線(xiàn)l'．x﹣10y﹣21（1）求直線(xiàn)l的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趫D上畫(huà)出直線(xiàn)l'（不要求列表計(jì)算），并求直線(xiàn)l'被直線(xiàn)l和y軸所截線(xiàn)段的長(zhǎng)；（3）設(shè)直線(xiàn)y＝a與直線(xiàn)l，l′及y軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且其中兩點(diǎn)關(guān)于第三點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，干脆寫(xiě)出a的值．【分析】（1）依據(jù)待定系數(shù)法求得即可；（2）畫(huà)出直線(xiàn)l，求得兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，依據(jù)勾股定理即可求得直線(xiàn)l'被直線(xiàn)l和y軸所截線(xiàn)段的長(zhǎng)；（3）求得兩條直線(xiàn)與直線(xiàn)y＝a的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，分三種狀況探討求得即可．【解答】解：（1）∵直線(xiàn)l：y＝kx+b中，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣2；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，∴，解得，∴直線(xiàn)l的解析式為y＝3x+1；∴直線(xiàn)l′的解析式為y＝x+3；（2）如圖，解得，∴兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為（1，4），∵直線(xiàn)l′：y＝x+3與y軸的交點(diǎn)為（0，3），∴直線(xiàn)l'被直線(xiàn)l和y軸所截線(xiàn)段的長(zhǎng)為：＝；（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x＝；把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；當(dāng)a﹣3+＝0時(shí)，a＝，當(dāng)（a﹣3+0）＝時(shí)，a＝7，當(dāng)（+0）＝a﹣3時(shí)，a＝，∴直線(xiàn)y＝a與直線(xiàn)l，l′及y軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且其中兩點(diǎn)關(guān)于第三點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則a的值為或7或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，兩直線(xiàn)相交問(wèn)題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，分類(lèi)探討是解題的關(guān)鍵．25．（10分）如圖，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸﹣3和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)嬉戲．每次移動(dòng)嬉戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后依據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)．①若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位；②若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位；③若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位．（1）經(jīng)過(guò)第一次移動(dòng)嬉戲，求甲的位置停留在正半軸上的概率P；（2）從如圖的位置起先，若完成了10次移動(dòng)嬉戲，發(fā)覺(jué)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對(duì)一錯(cuò)．設(shè)乙猜對(duì)n次，且他最終停留的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，試用含n的代數(shù)式表示m，并求該位置距離原點(diǎn)O最近時(shí)n的值；（3）從如圖的位置起先，若進(jìn)行了k次移動(dòng)嬉戲后，甲與乙的位置相距2個(gè)單位，干脆寫(xiě)出k的值．【分析】（1）利用概率公式計(jì)算即可．（2）利用兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可．（3）不妨設(shè)甲連續(xù)k次正確移動(dòng)后兩人相距2個(gè)單位，則有|8+2k﹣4k|＝2，解得k＝3或5．假如k次中，有1次兩人都對(duì)都錯(cuò)，則有|6+2（k﹣1）﹣4（k﹣1）|＝2，解得k＝3或5，假如k次中，有2次兩人都對(duì)都錯(cuò)，則有|4+2（k﹣2）﹣4（k﹣2）|＝2，解得k＝3或5，探究規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵經(jīng)過(guò)第一次移動(dòng)嬉戲，甲的位置停留在正半軸上，∴必需甲對(duì)乙錯(cuò)，因?yàn)橐还灿兴姆N情形，都對(duì)或都錯(cuò)，甲對(duì)乙錯(cuò)，甲錯(cuò)乙對(duì)，∴P甲對(duì)乙錯(cuò)＝．（2）由題意m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．n＝4時(shí)，離原點(diǎn)最近．（3）不妨設(shè)甲連續(xù)k次正確移動(dòng)后兩人相距2個(gè)單位，則有|8+2k﹣4k|＝2，解得k＝3或5．假如k次中，有1次兩人都對(duì)都錯(cuò)，則有|6+2（k﹣1）﹣4（k﹣1）|＝2，解得k＝3或5，假如k次中，有2次兩人都對(duì)都錯(cuò)，則有|4+2（k﹣2）﹣4（k﹣2）|＝2，解得k＝3或5，…，綜上所述，滿(mǎn)意條件的k的值為3或5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，數(shù)軸，代數(shù)式等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．26．（12分）如圖1和圖2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝．點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AM＝CN＝2．點(diǎn)P從點(diǎn)M動(dòng)身沿折線(xiàn)MB﹣BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠B．（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下