專題02 整式和因式分解（講義）（原卷版）

專題02整式和因式分解核心知識(shí)點(diǎn)精講1．理解代數(shù)式的意義，能夠進(jìn)行代數(shù)式的求值．2．理解整式的相關(guān)概念，包括單項(xiàng)式、多項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)、同類項(xiàng)的概念．3．理解同類項(xiàng)的合并方法．4．能夠進(jìn)行整式的加減法、乘除法的運(yùn)算，混合運(yùn)算以及化簡(jiǎn)求值.5．理解同底數(shù)冪的運(yùn)算．6．掌握因式分解的概念、常用方法，如提公因式法、公式法、分組分解法等．7．能夠理解運(yùn)用因式分解的一般步驟．考點(diǎn)1代數(shù)式及求值1.代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。2.代數(shù)式求值：用數(shù)值代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果?？键c(diǎn)2整式的相關(guān)概念1.單項(xiàng)式：表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。2.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。注意：?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成。3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。4.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為0。5.整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。注意：分母上含有字母的不是整式。6.同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)?？键c(diǎn)3整式的運(yùn)算法則1.合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。2.整式的加減法：（1）去括號(hào)；（2）合并同類項(xiàng)。3.整式的乘法：4.整式的除法：考點(diǎn)4冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法（1）同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．a(chǎn)m?an＝am+n（m，n是正整數(shù)）（2）推廣：am?an?ap＝am+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25，（a2b2）3與（a2b2）4，（x﹣y）2與（x﹣y）3等；②a可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；③按照運(yùn)算性質(zhì)，只有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)相加．（3）概括整合：同底數(shù)冪的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運(yùn)算的關(guān)鍵．在運(yùn)用時(shí)要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時(shí)可以適當(dāng)變形為同底數(shù)冪．2．冪的乘方與積的乘方（1）冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）注意：①冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是冪的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別．（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果．3．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）①底數(shù)a≠0，因?yàn)?不能做除數(shù)；②單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應(yīng)用同底數(shù)冪除法的法則時(shí)，底數(shù)a可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．考點(diǎn)5整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值先按運(yùn)算順序把整式化簡(jiǎn)，再把對(duì)應(yīng)字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．考點(diǎn)6因式分解1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2.因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）運(yùn)用公式法：（3）分組分解法：（4）十字相乘法：3.因式分解的一般步驟：（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下，再看是否能用公式法，最后觀察多項(xiàng)式的能否繼續(xù)分解。【題型1：代數(shù)式及求值】【典例1】（2023秋?溫州）下列各式中，符合代數(shù)式書(shū)寫(xiě)規(guī)則的是（）A．216b B．a(chǎn)×14 C．2y【典例2】（2023秋?東莞市）若x﹣5y＝7，則代數(shù)式2x﹣10y﹣3的值為（）A．17 B．11 C．﹣11 D．101．（2023秋?廣州期中）如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入x的值為4，則第2022次輸出的結(jié)果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣62．（2023秋?天河區(qū)）如果式子3a﹣2b的值為10，則6a﹣4b+2的值為（）A．20 B．22 C．26 D．363．（2023秋?深圳）已知a＝﹣1，則a2﹣4的值為﹣3．4．（2023秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）已知x﹣2y＝3，則代數(shù)式x﹣2y+4的值為7．5．（2023秋?深圳校級(jí)期中）如圖，長(zhǎng)為y（cm），寬為x（cm）的大長(zhǎng)方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形，其較短的邊長(zhǎng)為5cm．（1）從圖可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)是（y﹣15）cm（用含y的代數(shù)式表示）．（2）求陰影A和陰影B的周長(zhǎng)和（用含x的代數(shù)式表示）．（3）當(dāng)y＝30時(shí)，用含x的代數(shù)式分別表示陰影A，B的面積，并比較A，B面積的大?。?．（2023秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）某商場(chǎng)銷售的外套每件原價(jià)200元，圍巾每條原價(jià)30元．“雙十一”購(gòu)物節(jié)到了，該商場(chǎng)決定舉行促銷活動(dòng)，向客戶提供了兩種優(yōu)惠方案：方案①買(mǎi)一件外套送一條圍巾；方案②外套和圍巾都按定價(jià)的80%付款．現(xiàn)甲客戶要到商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)外套40件，圍巾x條（x＞40）．若該客戶按方案①購(gòu)買(mǎi)，共需付款（30x+6800）元（用含x的式子表示）；若該客戶按方案②購(gòu)買(mǎi)，共需付款（24x+6400）元（用含x的式子表示）；【題型2：整式的相關(guān)概念】【典例3】（2023秋?香洲區(qū)校級(jí)）下列說(shuō)法中，不正確的是（）A．﹣ab2c的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是4 B．2xy﹣1是整式 C．2r+πr2是三次二項(xiàng)式 D．6x2﹣3x+1的項(xiàng)是6x2，﹣3x，1【典例4】（2023秋?中山市期中）在代數(shù)式①x+yx；②?x5+y32；③0.25m2n4；④A．1 B．2 C．3 D．41.（2023秋?茂名）下列說(shuō)法正確的是（）A．12πB．﹣4x2y的系數(shù)為4 C．8是單項(xiàng)式 D．3是單項(xiàng)式3（x+y）的系數(shù)2．（2023秋?東莞市校級(jí)）單項(xiàng)式?27x2y3A．?27，5 B．27，5 C．?273．（2023秋?東莞市）單項(xiàng)式﹣πr2的系數(shù)和次數(shù)分別是（）A．﹣1和2 B．﹣1和3 C．﹣π和2 D．﹣π和3s4．（2023秋?東莞市校級(jí)期中）單項(xiàng)式?5ab4c2【題型3：整式的運(yùn)算法則】【典例5】（2022秋?花都區(qū)期末）計(jì)算13a2?（﹣6ab）的結(jié)果是1．（2023秋?惠州期中）若單項(xiàng)式am﹣1b2與12abn+5A．3 B．6 C．﹣9 D．9A．16x3y B．18x3.（2023秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）添括號(hào)：a﹣b+c＝a﹣．【題型4：冪的運(yùn)算】【典例6】（2023春?高州市期中）已知3m＝4，3n＝10，求3m+n的值．【典例7】（2023?南山區(qū)三模）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．a(chǎn)+2a＝3a2 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a61.（2023秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．2m2+m2＝3m4 B．m2?m4＝m8 C．（m2）4＝m6 D．（mn）2＝m2n22．（2023秋?廣州期中）下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)3?a5＝a15 B．（a3）5＝a8 C．（a?+1）3＝a3n+1 D．a(chǎn)3+a3＝2a33．（2023秋?黃埔區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算(23)4．（2023春?順德區(qū)期末）計(jì)算：（﹣3b）2＝9b2．5.（2023秋?中山區(qū)校級(jí)期中）3m＝8，9n＝4，則32m﹣6n的值為（）A．0 B．1 C．2 D．46．（2023春?茂名期中）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2 B．（﹣3a）2＝6a2 C．（a2）2＝a5 D．a(chǎn)2?a3＝a6【題型4：冪的運(yùn)算】【典例8】（2023春?寶安區(qū)校級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+1）2﹣（x+3）（x﹣3），其中x＝2．1．先化簡(jiǎn)，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=12．（2023春?禪城區(qū)校級(jí)月考）先化簡(jiǎn)，再求值：[（x﹣2y）2+（x+2y）（x﹣2y）]÷2x，其中123．（2023春?南山區(qū)期末）先化簡(jiǎn)，再求值；x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中x=1【題型5：因式分解】【典例9】（2023秋?中山區(qū)校級(jí)期中）下列因式分解變形正確的是（）A．2a2﹣a＝2（a2﹣a） B．﹣a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） C．﹣a2﹣2a﹣1＝﹣（a+1）2 D．a(chǎn)2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）【典例10】（2023秋?荔灣區(qū)期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1+2x） D．x2﹣4＝（x+2）（1．（2023秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）若多項(xiàng)式x2+mx﹣35分解因式為（x﹣7）（x+5），則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣122．（2023秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）下列因式分解，正確的是（）A．a(chǎn)2﹣9b2＝（a+9b）（a﹣9b） B．x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2） C．x2﹣y2＝（x﹣y）2 D．﹣a2+a＝﹣a（a+1）3．（2022秋?廉江市期末）下列各式由左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．a(chǎn)（m+n）＝am+an C．（a+b）2＝a2+b2 D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x4．（2023春?寶安區(qū)期中）下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．x2B．（x﹣y）2＝x2﹣y2 C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x D．a(chǎn)2﹣9＝（a﹣3）（a+3）一．選擇題（共6小題）1．下列式子中，單項(xiàng)式有（）①3x②x+y2③1x④x3﹣2xy2+3；⑤24；⑥a．A．①③⑤ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥2．已知a2﹣5＝2a，則代數(shù)式（a﹣2）（a+3）﹣3（a﹣1）的值是（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣83．下列各式中，計(jì)算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．a(chǎn)5﹣a4＝a C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)2×a4＝a64．若單項(xiàng)式am﹣1b2與12abn+5A．3 B．6 C．﹣9 D．95．下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x+2＝x（1+2x） D．x2﹣4＝（x+2）（6．若a﹣b＝5，ab＝3，則代數(shù)式ab2﹣a2b的值是（）A．15 B．﹣15 C．75 D．﹣75二．填空題（共5小題）7．單項(xiàng)式﹣9x3y2的系數(shù)是﹣9．8．單項(xiàng)式﹣3abc2的次數(shù)是4．9．x2?x3＝x5；(?13a)2=19a2；（﹣2b10．當(dāng)a+b＝2，ab＝﹣3時(shí)，則a2b+ab2＝﹣6．11．分解因式：m2﹣5m＝m（m﹣5）．三．解答題（共4小題）12．先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+1）2+（x+2）（x﹣2）﹣x（5x﹣4），其中x＝2．13．先化簡(jiǎn)，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2﹣3x2y），其中x，y滿足（x﹣1）2+|2+y|＝0．14．分解因式：（1）t2﹣6t+9．（2）4a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．15．把下列多項(xiàng)式分解因式．（1）6x2y+12xy；（2）2a3﹣8ab2；（3）（x﹣1）（x﹣3）+1．一．選擇題（共7小題）1．關(guān)于多項(xiàng)式x2y2﹣2x2y﹣xy+4，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．該多項(xiàng)式是四次四項(xiàng)式 B．二次項(xiàng)的系數(shù)為﹣1 C．該多項(xiàng)式不含一次項(xiàng) D．三次項(xiàng)為2x2y2．已知x2＝2y+7，y2＝2x+7，且x≠y，則xy的值為（）A．7 B．3 C．﹣3 D．﹣73．若a＝2022×2023﹣1，b＝20222﹣2022×2023+20232，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＞b D．無(wú)法判斷4．使（x2+p）（x2﹣qx+4）乘積中不含x2與x3項(xiàng)，則p+q的值為（）A．﹣4 B．﹣8 C．﹣2 D．85．若k+1012﹣1＝1022，則k的值為（）A．100 B．101 C．200 D．2046．若x2+x﹣2＝0，則x3+2x2﹣x+2021等于（）A．2023 B．2022 C．2021 D．20207．若多項(xiàng)式2x2+ax﹣6能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5二．填空題（共4小題）8．4個(gè)數(shù)a，b，c，d排列成abcd，我們稱之為二階行列式．規(guī)定它的運(yùn)算法則為：abcd=ad﹣bc．若x?29．一個(gè)自然數(shù)除了1和它本身以外的因數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的真因數(shù)．在自然數(shù)a的真因數(shù)前面加上負(fù)號(hào)，定義其為a的假因數(shù)．若a的所有假因數(shù)的乘積大于a本身，則稱a為“飛躍數(shù)”．如12的所有假因數(shù)乘積是（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣6）＝144，大于12本身，故12是一個(gè)“飛躍數(shù)”．規(guī)定沒(méi)有假因數(shù)的自然數(shù)不是“飛躍數(shù)”．則從2到100的自然數(shù)中，“飛躍數(shù)”的個(gè)數(shù)是33．10．因式分解：2a2?2a+111．如果x2﹣y2＝8，x﹣y＝2，那么代數(shù)式x2+y2的值是10．三．解答題（共2小題）12．在日歷中，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．（1）圖①是2023年11月份的月歷，我們用如圖所示的“Z”字型框架任意框住月歷中的5個(gè)數(shù)（如圖①中的陰影部分），先將位置b，d上的數(shù)相乘，再將位置a，e上的數(shù)相乘，最后把他們的積相減．例如：6×20﹣5×21＝15，3×17﹣2×18＝15，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都等于15．（2）設(shè)“Z”字型框架中位置c上的數(shù)為x，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示b?d＝（x﹣7）（x+7），利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．13．觀察下列算式特征，并完成相應(yīng)任務(wù)．（x+4）（x+3）＝x2+7x+12；（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10；（x﹣2）（x﹣1）＝x2﹣3x+2．（1）任務(wù)一：發(fā)現(xiàn)與表達(dá)請(qǐng)用含字母的算式表示以上算式的一般特征：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．（2）任務(wù)二：?jiǎn)栴}與解決如果x2+mx+8＝（x+a）（x+b