專題10.2 排列組合問題(解析版)

10.2排列組合問題思維導圖知識點總結1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作Ceq\o\al(m,n).3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(1)Aeq\o\al(n,n)＝n??；(2)0！＝1；(3)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)解決排列與組合問題的“四項基本原則”(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當直接求解困難時，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行分配．典型例題分析考向一排列與排列數(shù)問題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排乙前面；(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端．解(1)Aeq\o\al(5,7)＝2520種方法．(2)Aeq\o\al(7,7)＝5040種方法．(3)解法一：先排甲，有5種方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)種方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600種方法．解法二：先排排頭和排尾有Aeq\o\al(2,6)種方法，其余位置有Aeq\o\al(5,5)種排法，故共有Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(5,5)＝3600種方法．(4)將女生看成一個整體，用捆綁法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝576種方法．(5)先排女生有Aeq\o\al(4,4)種，再將男生插空有Aeq\o\al(3,5)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440種方法．(6)將甲、乙及中間三人看作一個整體，先排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方法，再排中間三人有Aeq\o\al(3,5)種方法，最后將他們看作一個整體與剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝720種方法．(7)eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520種方法．(8)Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720種方法．求解有限制條件排列問題的主要方法直接法分類法選定一個適當?shù)姆诸悩藴?，將要完成的事件分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)分步法選定一個適當?shù)臉藴?，將事件分成幾個步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中定序法對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以已定元素的全排列間接法對于分類過多的問題，一般利用正難則反、等價轉化的方法【變式】1.用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，(1)能組成多少個無重復數(shù)字的四位偶數(shù)？(2)能組成多少個奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復數(shù)字)?解(1)符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：第一類，0在個位時，有Aeq\o\al(3,5)個；第二類，2在個位時，千位從1,3,4,5中選定1個，有Aeq\o\al(1,4)種，十位和百位從余下的數(shù)字中選，有Aeq\o\al(2,4)種，于是有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個；第三類，4在個位時，與第二類同理，也有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)個．由分類加法計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al(3,5)＋2Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝156個．(2)先排0,2,4，再讓1,3,5插空，總的排法共Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種，其中0在排頭，將1,3,5插在后3個空的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12種，此時構不成六位數(shù)，故符合要求的六位數(shù)的個數(shù)為144－12＝132.考向二組合與組合數(shù)問題【例2】某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名隊長．現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當選；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)男生甲和女生乙當選；(5)最多有兩名女生當選．解(1)只有一名女生當選即有一名女生和四名男生當選，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＝350種．(2)兩隊長當選，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝165種．(3)至少有一名隊長當選含有兩類：只有一名隊長當選和有兩名隊長當選．故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,11)＝825種(或采用間接法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825種)．(4)男生甲和女生乙當選，則需從剩余11人中選3人，有Ceq\o\al(3,11)＝165種．(5)最多有兩名女生當選含有三類：有兩名女生當選、只有一名女生當選和沒有女生當選．故共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種．組合問題的常見類型及求解策略(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．【例3】圓周上有10個等分點，以這10個等分點的4個點為頂點構成四邊形，其中梯形的個數(shù)為()A．10 B．20C．40 D．60答案D解析如圖所示，10點連線中有5條為圓的直徑，其每條直徑分別有4條弦與之平行，可構成5×(Ceq\o\al(2,5)－2)＝40個梯形；10點連線中有5組與構成的5條直徑不平行的4條平行弦，如A3A5∥A2A6∥A1A7∥A10A8，可構成5×(Ceq\o\al(2,4)－2)＝20個梯形．由分類加法計數(shù)原理可知，共構成40＋20＝60個梯形．故選D.【變式】(多選)在某地實施的新高考改革方案中，選擇性考試科目有物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門．學生根據(jù)高校的要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1答案BD解析若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)，A錯誤；若化學必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1)，C錯誤；若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1，D正確．故選BD.考向三排列組合綜合問題【例4】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本．解(1)無序不均勻分組問題．先選1本有Ceq\o\al(1,6)種選法；再從余下的5本中選2本有Ceq\o\al(2,5)種選法；最后余下3本全選有Ceq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種．(2)有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎上，還應考慮再分配，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種．(3)無序均勻分組問題．共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種．(4)在(3)的基礎上，還應考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，這是部分均勻分組問題，求出組合總數(shù)除以Aeq\o\al(2,2)即可，共有eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15種．(6)在(5)的基礎上，還應考慮再分配，共有15Aeq\o\al(3,3)＝90種．解決分組、分配問題的策略(1)對于整體均分，分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù)．(2)對于部分均分，若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！.【變式】(多選)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，每人安排一項工作，則以下說法錯誤的是()A．若每項工作不必都有人參加，則不同的方法數(shù)為54B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)D．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)答案ABD解析對于A，安排5人參加4項工作，每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A錯誤；對于B，根據(jù)題意，分2步進行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種安排方法，故B錯誤；對于C，根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙、丁、戊中選出1人開車，②從丙、丁、戊中選出2人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種安排方法，C正確；對于D，分2步分析：需要先將5人分為3組，有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))種分組方法，將分好的3組安排翻譯、導游、禮儀三項工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＋\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種安排方法，D錯誤．故選ABD.基礎題型訓練一、單選題1．可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用排列數(shù)的公式求解.【詳解】解：由題意..故選：B.2．（

）A．40 B．56 C．168 D．336【答案】B【分析】運用組合數(shù)的公式進行求解即可.【詳解】，故選：B3．四名志愿者到3個小區(qū)開展防詐騙宣傳活動，向社區(qū)居民普及防詐騙、反詐騙的知識.每名志愿者只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．18種 B．30種 C．36種 D．72種【答案】C【分析】將四名志愿者分成三個組，其中一組為2人，再由排列組合知識求解.【詳解】不同的安排方法共有種.故選：C4．某中學招聘5位老師，其中安排2位老師去高一，安排2位老師去高二，安排1位老師去高三，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種【答案】A【分析】從5位老師中任取2位去高一，再從余下的3位老師中任取2位去高二即可得解.【詳解】完成安排方法數(shù)的這件事需要3步：第一步，從5位老師中任取2位去高一有種，第二步，從余下的3位老師中任取2位去高二有種，第三步，剩下1個人去高三有1種，由分步計數(shù)乘法原理知：不同的安排方法數(shù)有.故選：A5．一名同學有2本不同的數(shù)學書，3本不同的物理書，現(xiàn)要將這些書放在一個單層的書架上．如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，則不同放法的種數(shù)為（

）A．24 B．12 C．120 D．60【答案】A【分析】根據(jù)題意，分3步分析：先將2本不同的數(shù)學書看成一個整體，再將3本不同的物理書看成一個整體，最后將兩個整體全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，要求不使同類的書分開，即同類的書相鄰，先將2本不同的數(shù)學書看成一個整體，再將3本不同的物理書看成一個整體，最后將兩個整體全排列，有種不同放法，故選：A．6．在重慶召開的“市長峰會”期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先從人中選出人平均分為組，根據(jù)先分組再排序的原則結合分步乘法計數(shù)原理可得出結果.【詳解】首先從人中選出人共種，然后將人平均分為組共種，然后這兩步相乘，得，將三組分配下去共種.故選：B.【點睛】本題考查分組分配問題，涉及平均分組問題，考查計算能力，屬于中等題.二、多選題7．在10件產品中，有7件合格品，3件不合格品，從這10件產品中任意抽出3件，則下列結論正確的有（

）A．抽出的3件產品中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種【答案】ACD【分析】抽出的3件產品中恰好有1件是不合格品的抽法為不合格品1件、合格品2件，根據(jù)分步計數(shù)原理可知A正確，B錯誤；抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法分兩種做法：（?。?件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分類計數(shù)法求解.（ⅱ）總的取法數(shù)減去抽取的三件都為合格品的取法即為所求.由此判斷CD正確【詳解】解：由題意得：對于A、B選項：抽出的3件產品中恰好有1件是不合格品的抽法為3件不合格品中抽取1件有種取法，7件合格品種抽取2件有種取法，故共有中取法，故A正確；對于選項C：抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法分三種情況：①抽取的3件產品中有1件不合格、有2件合格，共有種取法；②抽取的3件產品中有2件不合格、有1件合格，共有種取法；③抽取的3件產品都不合格，種取法.故抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故B錯誤，C正確；對于選項D：10件產品種抽取三件的取法有，抽出的3件產品中全部合格的取法有種，抽出的3件產品中至少有1件是不合格品的抽法有種，故D正確.故選：ACD8．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)組合數(shù)的概念和性質可得.【詳解】因，得，或，得，或，故選：AB三、填空題9．名學生報名參加籃球、足球、排球、計算機課外興趣小組，每人選報一門，則不同的報名方案有種.【答案】【解析】由題意判斷出每個同學都有種選擇，則可得名同學有種.【詳解】由題意參加籃球、足球、排球、計算機課外興趣小組，每個學生有種選擇，則名同學共有種報名方案.故答案為：.10．從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為.【答案】96【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論選出參加競賽的4人，①選出的4人沒有甲；②選出的4人有甲；分別求出每一種情況下分選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案【詳解】根據(jù)題意，從5名學生中選出4人分別參加競賽，分2種情況討論：①選出的4人沒有甲，即選出其他4人即可，有種情況；②選出的4人有甲，由于甲不能參加生物競賽，則甲有3種選法，在剩余4人中任選3人，參加剩下的三科競賽，有，則此時共有種選法；綜上，總共有種不同的參賽方案；答案選D【點睛】本題考查分類計數(shù)原理，屬于基礎題11．某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的5個學生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來5個節(jié)目的出場順序不變，則增加的2個教師節(jié)目有種不同排法（用數(shù)字作答）【答案】42【分析】用相對順序已定的排列模型求解.【詳解】5個學生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，共有7個節(jié)目，把7個節(jié)目看成有順序的7個位置，將這7個位置挑出2個位置安排給2個教師節(jié)目，共有種安排方法，再將剩下的5個位置安排給5個學生節(jié)目，因原來5個學生節(jié)目的出場順序不變，故只有1種安排方法，故共有種不同排法.故答案為：4212．用個，個，個組成一個十位數(shù)，則個連在一起的不同的十位數(shù)共有個．【答案】245【分析】對首位數(shù)字排或進行分類討論，并將個捆綁在一起，再考慮剩余數(shù)位的安排，結合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結果．【詳解】由于最前面不能排，∴要從和中選一個放在最前面，分以下兩種情況討論：①若最前面排，將個捆綁在一起，不考慮首位，可形成個元素，選擇個位置安排個，再從剩余的個位置中選擇個位置排，則有個；②若最前面排，將個捆綁在一起，不考慮首位，可形成個元素，選擇個位置安排個，再從剩余的個位置中選擇個位置排，則有個．故個連在一起的不同的十位數(shù)共有個．四、解答題13．判斷下列問題是否為排列問題（1）會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？（2）從集合M＝{1，2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程?（3）平面上有5個點，其中任意三個點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？可確定多少條射線？【答案】（1）不是，是；（2）不是，是；（2）不是，是.【分析】利用排列的定義判斷即可，即判斷與順序是否有關【詳解】(1)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊”問題，與順序有關，故選3個座位安排三位客人是排列問題.(2)第一問不是排列問題，第二問是排列問題.若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則必有a>b，a，b的大小關系一定；在雙曲線中，不管a>b還是a<b，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故是排列問題.(3)確定直線不是排列問題，確定射線是排列問題.14．現(xiàn)有7本不同的書準備分給甲、乙、丙三人.(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，則不同的分配方法有多少種？(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外兩人每人得2本，則不同的分配方法有多少種？【答案】(1)(2)【分析】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本（不平均分組），再將三組作全排即可得結果；（2）首先將7本書分成3本、2本、2本（部分平均分組），再將三組作全排即可得結果；【詳解】（1）首先將7本書分成1本、2本、4本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.（2）首先將7本書分成3本、2本、2本，共三組有種，再將三組分給甲、乙、丙三人有種，所以共有種.15．甲、乙、丙、丁4個公司承包6項工程，甲、乙公司均承包2項，丙、丁公司各承包1項，則共有多少種承包方式？【答案】180【分析】根據(jù)給定條件利用分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.【詳解】依題意，計算承包方式的種數(shù)需要3步：先從6項工程中任取2項給甲，有種方法，再從余下4項工程中任取2項給乙，有種方法，再從余下的2項工程任取1項給丙，有種方法，然后將最后1項工程給丁，有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理得：，所以共有180種承包方式.16．某校舉辦元旦晩會，現(xiàn)有4首歌曲和3個舞蹈需要安排出場順序.（結果用數(shù)字作答）(1)如果4首歌曲相鄰，那么有多少種不同的出場順序？(2)如果3個舞蹈不相鄰，那么有多少種不同的出場順序？【答案】(1)576種(2)1440種【分析】（1）因為是相鄰問題，故利用捆綁法即可求得答案；（2）由于3個舞蹈節(jié)目不相鄰，故利用插空法即可求得答案.【詳解】（1）先將4首歌曲捆綁，四首歌曲內部全排列，有種情況，再將捆綁好的4首歌曲看做一個整體與3個舞蹈排序，有種情況，所以有（種）不同的出場順序.（2）先將4首歌曲排好，有種情況，再將3個舞蹈排入4首歌曲隔開的5個空中，有種情況，所以有1440（種）不同的出場順序.提升題型訓練一、單選題1．以下四個問題中，屬于組合問題的是（

）A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B．老師在排座次時將甲?乙兩位同學安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13位司機中任選出兩位分別去往甲?乙兩地【答案】C【解析】根據(jù)組合的概念即可判斷.【詳解】只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星，與順序無關，是組合問題.故選：C.2．在抗擊新冠肺炎疫情過程中，中醫(yī)藥發(fā)揮了重要作用，特別是通過臨床篩選出的“三藥三方”有顯著的防治效果．“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宣肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出2種，則恰好選出“一藥一方”的方法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)計算原理計算組合數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，某醫(yī)生從“三藥三方”中選出“一藥”的選法有3種，選出“一方”的選法也有3種，根據(jù)乘法原理則恰好選出“一藥一方”的方法種數(shù)為，故選：D．3．在2022年北京冬奧會和冬殘奧會城市志愿者的招募項目中有一個“國際服務項目”，截止到2022年1月25日還有8個名額空缺，需要分配給3個單位，則每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的方法種數(shù)是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】首先確定各單位名額互不相同的分配方式種數(shù)，再應用全排列求每種方式的分配方法數(shù)，即可得結果.【詳解】各單位名額互不相同，則8個名額的分配方式有、兩種，對于其中任一種名額分配方式，將其分配給3個單位的方法有種，所以每個單位至少一個名額且各單位名額互不相同的分配方法種數(shù)為種.故選：B4．1765年數(shù)學家歐拉在柏林皇家科學院的《學報》上發(fā)表了一個抽彩問題：設張彩票編號從1至，隨機抽取三張，那么抽到三張彩票沒有連續(xù)號碼的概率為多少？該問題的結果用組合數(shù)可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接法：相當于把三個相同的物品，插入到個相同物品之間和兩端共個位置中，結合組合數(shù)公式與古典概型公式求解；間接法：求出抽到三張連續(xù)號碼及抽到僅有兩張連續(xù)號碼的概率，從而可得抽到沒有連續(xù)號碼的概率.【詳解】直接法：相當于把三個相同的物品，插入到個相同物品之間和兩端共個位置中，一種插法對應一種抽取彩票的抽法，其概率為.間接法：抽到三張連續(xù)號碼的概率為，抽到僅有兩張連續(xù)號碼的概率為，則抽到沒有連續(xù)號碼的概率為，故選：A.5．馬路上有編號為1，2，3，…，9九盞路燈，現(xiàn)要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，用插空法計算.【詳解】先將亮的6盞燈排成一列，根據(jù)題意，因為關掉3盞路燈不能是兩端2盞，也不能相鄰，則有5個符合條件的空位，在5個空位中，任選3個，安排熄滅的燈，有種情況，即有10種關燈方法.故選：A.6．長郡中學體育節(jié)中，羽毛球單打12強中有3個種子選手，將這12人任意分成3個組（每組4個人），則3個種子選手恰好被分在同一組的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用均勻分組的原理，再結合古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由已知條件得將12人任意分成3組，不同的分組方法有種，3個種子選手分在同一組的方法有種，故3個種子選手恰好被分在同一組的概率為，故選：.二、多選題7．從7名男生和5名女生中選4人參加夏令營，規(guī)定男、女生至少各有1人參加，則不同的選法種數(shù)應為(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】可以用兩種方法求解：①分三類：3男1女，2男2女，1男3女；②用任選4人的方法數(shù)減去全部為男生或全部為女生的方法種數(shù).據(jù)此幾何判斷求解.【詳解】(1)分三類：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人參加的選法種數(shù)為．(2)任選4人的方法種數(shù)為，其中全部為男生或全部為女生的方法種數(shù)為，所以男、女生至少各有1人參加的選法種數(shù)為．故選：BC．8．現(xiàn)有12張不同編碼的抽獎券，其中只有2張有獎，若將抽獎券隨機地平均分給甲、乙、丙、丁4人，則（

）A．2張有獎券分給同一個人的概率是B．2張有獎券分給不同的人的概率是C．2張有獎券都沒有分給甲和乙的概率為D．2張有獎券分給甲和乙各一張的概率為【答案】BD【分析】先分組，再分配，結合分類加法計數(shù)原理以及古典概型的概率公式，即可得出答案.【詳解】對于A項，將10張沒有獎的獎券按照1，3，3，3分成三組，不同的分法種數(shù)為，然后分配給4個人的分法為，所以，2張有獎券分給同一個人的概率是，故A項錯誤；對于B項，由A可得，2張有獎券分給不同的人的概率是，故B項正確；對于C項，由A可知，2張有獎券都分給丙的概率是；2張有獎券都分給丁的概率是；若2張有獎券，1張分給丙、1張分給丁將10張沒有獎的獎券按照2，2，3，3分成四組，不同的分法種數(shù)為，然后分配給4個人的分法為，所以，2張有獎券，1張分給丙、1張分給丁的概率是，所以，2張有獎券都沒有分給甲和乙的概率為，故C項錯誤；對于D項，因為2張有獎券，1張分給丙、1張分給丁的概率是，同理可得，2張有獎券分給甲和乙各一張的概率為，故D項正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：根據(jù)已知，先將抽獎券分組，然后再分配.三、填空題9．6個人排成一排，其中甲與乙必須相鄰，而丙與丁不能相鄰，則不同的排法種數(shù)有種.【答案】144【分析】根據(jù)題意先分成3步：①將甲和乙看成一個整體，考慮甲和乙之間的順序；②將甲和乙與除丙、丁之外的2人看成兩個元素做一個全排列；③將丙、丁兩人利用插空法進行排列，然后利用乘法公式求解即可.【詳解】解：由題意得：第一步：將甲與乙綁定，兩者的站法有2種；第二步：將甲與乙兩人看成一個整體，與除丙、丁之外的2人看成兩個元素做一個全排列有種站法，此時隔開了4個空；第三步：將丙、丁兩人插入4個空，排法種數(shù)為則利用乘法公式可知不同的排法種數(shù)為.10．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有個．（用數(shù)字作答）【答案】12【分析】由分步乘法計數(shù)原理結合排列組合直接求解即可．【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有2種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為．故答案為：12．11．為慶祝中國共產黨成立100周年，某志愿者協(xié)會開展“黨史下鄉(xiāng)”宣講活動，準備派遣10名志愿者去三個鄉(xiāng)村開展宣講，每名志愿者只去一個鄉(xiāng)村，每個鄉(xiāng)村至少安排3個志愿者，則不同的安排方法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】12600【分析】先將10名志愿者分成（3,3,4）一組，再分配到三個鄉(xiāng)村即可求出結果.【詳解】依題意，先將10名志愿者分成（3,3,4）一組，再分配到三個鄉(xiāng)村，則有種安排方法.故答案為：12600.【點睛】關鍵點點睛：解排列組合的綜合應用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對于分配問題，解題的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復或遺漏．12．有7人站成一排照相，要求，兩人相鄰，，，三人互不相鄰，則不同