專題9.3雙曲線的定義與性質(zhì)(解析版)

9.3雙曲線的定義與性思維導(dǎo)圖知識點總結(jié)1.雙曲線定義：設(shè)F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，若平面內(nèi)的點P滿足||PF2.雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)標準方程xy焦點坐標左焦點F1?上焦點F10焦距F1F2=圖形x≤?a或x≥a，yy≤?a或y≥a，x∈R范圍對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱實軸端點(頂點)(±a，(0，±a)虛軸端點(0，±b)(±b，0)實軸長2a，其中a虛軸長2b，其中b漸近線yy離心率e3.雙曲線通徑公式：過焦點且與雙曲線實軸垂直的弦叫做通徑，通徑長為2b典型例題分析考向一雙曲線的定義 【例1】雙曲線C：x24?y2=1的左、右焦點分別為答案：2或10解析：已知PF1求由題意，PF1?PF2=4，所以【變式】雙曲線x24?y25=答案：2解析：如圖，直接分析PA+PF的最小值不易，涉及PF，可考慮用定義轉(zhuǎn)化到右焦點來分析，設(shè)雙曲線的右焦點為F13，0，則由三角形兩邊之和大于第三邊可得PA+當且僅當P與圖中P0結(jié)合(1)可得PA+PF≥[反思]可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線定義與橢圓運用思路類似，實際上大部分題目處理思路也相同，故要類比學習.考向二雙曲線的標準方程【例2】若方程x2m+y2答案：?∞，解析：雙曲線標準方程中x2和y2的系數(shù)異號，所以1m?1[反思]對于方程x2m+y2【變式】雙曲線λx2?y答案：1解析：先把雙曲線化為標準方程，找到a和b，所以a2=1λ，b2=1考向三漸近線問題【例3】已知雙曲線C：x26?y2答案：3解析：由題意，a=6，b=3，c=a2+b[反思]無論焦點在哪個坐標軸上，雙曲線的漸近線都有個統(tǒng)一的求法：把標準方程中的“1”換成“0”，反解出y即得漸近線的方程.【變式1】(2021新高考Ⅱ卷)若雙曲線x2a2答案：y解析：由離心率可找到a和c的比例關(guān)系，再利用c2=a2+b2換算成a和b的關(guān)系即可，由題意，e=c[反思]離心率和漸近線斜率由a，b，c的比值決定，故在求它們的過程中，可對a，b，c按比例賦值，不會影響結(jié)果.例如，本題也可由【變式2】雙曲線C與雙曲線x22?y2=1答案：y解析：不知道焦點在哪個坐標軸，討論當然可以，但較為繁琑，可用共漸近線的雙曲線的統(tǒng)一設(shè)法，設(shè)雙曲線C：x22?y2=λλ≠0，因為雙曲線[反思]與雙曲線x2a2

考向四離心率問題【例4】(2021-全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠FA.7B.13C.7D.13答案：A解析：涉及PF1和PF2，考慮雙曲線定義，由題意，PF1=3PF2PF1?PF2【變式】}已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>A.5B.3C.2D.5答案：C又AB=AF1，代入(1)可得AB?AF2=BF2=2a，代入(2)可得BF1?2a=2a，所以BF1=考向五焦點三角形面積問題【例5】[變式]設(shè)Fc，0是雙曲線x2a2?y2b2A.3B.5C.10D.10答案：D解析：先分析圖形，在雙曲線中給出右焦點，一定要關(guān)注左焦點，如圖，記左焦點為F1，由對稱性，AB中點為O，又FF1的中點也是O，所以四邊形AF1BF是平行四邊形，結(jié)合AF⊥BF知四邊形AF1BF是矩形，此時可將條件轉(zhuǎn)移到△AFF1中來，結(jié)合雙曲線的定義處理，設(shè)AF1=m，AF=n，則BF=m，由四邊形AF1BF為矩形知AB=F【變式】已知雙曲線C：x2a2?y24=1a>答案：4解析：涉及焦點三角形，考慮用雙曲線的定義，如圖，設(shè)PF1=m，PF2=n，則m?n=2a(1)，上面得到的是長度關(guān)系，故用勾股定理翻譯垂直，因為考向六直線與雙曲線綜合問題【例6】]已知A，B是雙曲線C：x22?y2答案：3解析：涉及弦中點，想到中點弦斜率積結(jié)論，M2，1如圖，直線AB過點M，故其方程為y?整理得：3x?[反思]在雙曲線中，涉及弦中點的問題都可以考慮用中點弦斜率積結(jié)論來建立方程，求解需要的量.[變式]已知雙曲線C：x2?y2=1，過點Pm，1m>0的直線答案：0解析：涉及弦中點，想到中點弦斜率積結(jié)論，由題意，kAB?kOP=kAB?1m=1，所以kAB=m，如圖，直線l過點P，故其方程為y?1=mx?m，整理得：y=mx由(1)可得m≠±1，由(2)可得1?m2m21?m2基礎(chǔ)題型訓練一、單選題1．與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】雙曲線與橢圓有公共焦點，先求出橢圓的焦點，然后根據(jù)離心率分別求出，即可求出雙曲線方程.【詳解】解：因為橢圓的焦點，設(shè)雙曲線的方程為，則,所以，故雙曲線的方程是故選：D2．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】先求出漸近線方程，代入點化簡求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，點在一條漸近線上即故選：D3．雙曲線的實軸長是虛軸長的兩倍，則它的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可得，即，即得漸近線方程.【詳解】由方程可得雙曲線的焦點在軸上，實軸長是虛軸長的兩倍，，則，故漸近線方程為.故選：C.4．已知，分別為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線左支上一點，為等腰三角形且其外接圓的半徑為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題目條件求出的度數(shù)，然后再求出的坐標，將點的坐標代入雙曲線方程找出的關(guān)系即可寫出漸近線方程【詳解】如圖所示設(shè)為外接圓的圓心，是等腰三角形，又,是等邊三角形過點作于點，，故

點在雙曲線上，整理得：故雙曲線的漸近線方程為：故選：B5．過原點的直線與雙曲線：（，）相交于不同的兩點，，為雙曲線的左焦點，且滿足，（為坐標原點），則雙曲線的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點為雙曲線的右焦點，根據(jù)直線過原點，由雙曲線的對稱性得到，再利用雙曲線的定義結(jié)合，得到，再根據(jù)，易得，然后由求解.【詳解】如圖所示：點為雙曲線的右焦點，因為直線過原點，由雙曲線的對稱性得：四邊形是平行四邊形，所以，由雙曲線的定義得：，所以，因為，所以，又因為，則，又因為，所以，則，即，解得，即，故選：B6．在平面直角坐標系中，雙曲線C：的左焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點，若是正三角形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A二、多選題7．已知雙曲線E：的左右焦點分別為、，點P在雙曲線E上，=10，則為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線定義直接計算可得.【詳解】由雙曲線定義可知，即，所以或.故選：AD8．已知雙曲線經(jīng)過點，則（

）A．的實軸長為 B．的焦距為C．的離心率為 D．的漸近線方程是【答案】BC【分析】根據(jù)雙曲線經(jīng)過點,可得雙曲線標準方程，根據(jù)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)即可逐一判斷.【詳解】由題意得，得即雙曲線方程為．所以，雙曲線的實軸長是，焦距是，離心率為，漸近線方程是故BC正確，AD錯誤，故選：BC三、填空題9．焦點在軸上，虛軸長為，且離心率的雙曲線的標準方程為．【答案】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的虛軸長可得的值，又由雙曲線的離心率公式可得，解可得，又由雙曲線焦點的位置分析可得答案．【詳解】解：由題，因為焦點在軸上，所以，設(shè)雙曲線的方程為．因為虛軸長為，且離心率，所以，，，所以，，解得，，所以所求雙曲線的標準方程為．故答案為：10．已知點為雙曲線的左頂點，點和點在雙曲線的右支上，是等邊三角形，則的面積為；【答案】【解析】根據(jù)題意得，再根據(jù)雙曲線和等邊三角形的對稱性，得到，由此得到直線的方程，求出點，從而可求的面積.【詳解】由題意得，，因為點和在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，根據(jù)對稱性得，，所以直線的方程是，代入雙曲線方程，得，解得或（舍去），所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和三角形面積的計算，還考查了分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．過點與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程是.【答案】【解析】利用待定系數(shù)法設(shè)出所求雙曲線標準方程，再將點代入可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)與雙曲線有公共漸近線的雙曲線標準方程是，因為雙曲線過，所以，即，所以所求雙曲線的標準方程為.故答案為：.12．從雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，且交雙曲線的右支于點，若點滿足，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】設(shè)點是線段的中點，由切線的性質(zhì)可求，，根據(jù)雙曲線的定義可得，再由，，的關(guān)系求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，點是線段的中點，點為坐標原點，由切線的性質(zhì)可得，所以，因為，所以，，所以，由雙曲線的定義，，即，所以，所以，所以．故答案為：.四、解答題13．已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線過點和，求雙曲線的標準方程.【答案】【解析】直接設(shè)雙曲線的方程為()，代入點的坐標解得，即得．【詳解】設(shè)()，則，解得，∴方程為.14．已知雙曲線C：．（1）求以C的焦點為頂點、以C的頂點為焦點的橢圓的標準方程；（2）求與C有公共的焦點，且過點的雙曲線的標準方程，并且求出這條雙曲線的實軸長、焦距、離心率以及漸近線方程．【答案】（1）；（2）；實軸長為、焦距為、離心率為，漸近線方程為．【解析】（1）求得雙曲線的焦點和頂點坐標，可得橢圓的a，c，求得b，可得橢圓方程；（2）設(shè)所求雙曲線的方程為（m，），由題意可得，，解方程可得m，n，進而得到所求雙曲線的其他性質(zhì)．【詳解】解：（1）雙曲線C：的焦點為，頂點為，設(shè)橢圓的標準方程為，可得，，，則橢圓的方程為；（2）設(shè)所求雙曲線的方程為（m，），由題意可得，，解得，，即所求雙曲線的方程為，則這條雙曲線的實軸長為、焦距為、離心率為以及漸近線方程為．15．在平面直角坐標系中，已知點，，點的軌跡為.求的方程；【答案】；【分析】利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，從而得的值，即可得出軌跡的方程；【詳解】因為，由雙曲線的定義可知，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，即，所以，所以軌跡的方程為.16．已知為坐標原點，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且的最小值為6，(1)求雙曲線方程(2)求面積的最小值【答案】(1)(2)12【分析】（1）結(jié)合題意，得到的最小值為，從而利用雙曲線的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）先由條件得到，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理得到關(guān)于的解析式，利用換元法與的單調(diào)性即可求得的最小值.【詳解】（1）依題意得，當軸時，取得最小值，不妨設(shè)，則，故，則，所以，則，又，則，聯(lián)立，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，，直線，因為雙曲線的漸近線為，又由直線與雙曲線的右支交于兩點，所以，則，從而，聯(lián)立，得，則，，，所以，設(shè)，則，，令，易得在上單調(diào)遞減，則，所以，即面積的最小值為.提升題型訓練一、單選題1．雙曲線的實軸長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)雙曲線的實軸長為求解即可.【詳解】解：由題知，所以雙曲線的實軸長為.故選：B2．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是過坐標原點O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個交點，且則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由得到，，結(jié)合，求出，，利用雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】不妨設(shè)點M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因為O為的中點，所以，因為，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.3．已知雙曲線的左焦點為，離心率為，若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的離心率為，得到雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為，根據(jù)直線的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得雙曲線方程．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點，離心率，即，因為，所以，雙曲線的漸近線方程為，由題意得：經(jīng)過和兩點的直線與平行，故，則，解得：，則，故雙曲線的標準方程：.故選：D．4．已知雙曲線的上、下焦點分別為，若存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實軸長和漸近線方程，結(jié)合雙曲線定義和點所在直線可確定雙曲線與有交點，由此可得漸近線與直線斜率之間的關(guān)系，進而解不等式求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：實軸長，漸近線方程為；由雙曲線定義知：在雙曲線上半支任取一點，則；在直線上，若存在點，使得，則雙曲線與有交點，，解得：（舍）或，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5．已知雙曲線與直線相交于兩個不同的點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，即可得到的范圍，再由雙曲線的離心率的公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，，則，即，解得，故，則，故.故選：D6．已知，分別為雙曲線的左、右焦點，若點到該雙曲線漸近線的距離為1，點P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離結(jié)合條件求出，然后由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得出，由條件求出,，結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，因為點到該雙曲線漸近線的距離為1，所以．由題意，則

（1）由余弦定理可得（2）將（1）代入（2）可得．因為，所以，，所以，故的面積為．故：D二、多選題7．設(shè)分別是雙曲線的左?右焦點，且焦距為2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．當時，的離心率是C．的取值范圍是D．到漸近線的距離隨著的增大而增大【答案】BC【分析】對A，由a、b、c關(guān)系列式求解即可；對B，由離心率公式直接求即可；對C，雙曲線存在左右焦點，故有；對D，到漸近線的距離為.【詳解】對A，，∴，A錯；對B，，，∴，B對；對C，雙曲線存在左右焦點，故，解得，C對；對D，到漸近線的距離為，隨著的增大而減小，D錯.故選：BC.8．已知橢圓過雙曲線的焦點，的焦點恰為的頂點，與的交點按逆時針方向分別為，，，，為坐標原點，則（

）A．的離心率為B．的右焦點到的一條漸近線的距離為C．點到的兩頂點的距離之和等于D．四邊形的面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)條件先求解出雙曲線方程中的值，由此可求雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點到直線的距離公式即可判斷選項A和選項B；根據(jù)橢圓的定義判斷選項C；計算出橢圓和雙曲線的交點坐標，由此可求四邊形的面積.【詳解】如下圖所示，設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可知：，，所以的離心率為，故A正確；的右焦點，方程中，所以的漸近線方程為，不妨取漸近線，所以到的距離為，故B錯誤；根據(jù)橢圓定義可知：，故C正確；聯(lián)立，所以，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題9．以為漸近線且經(jīng)過點的雙曲線方程為．【答案】【詳解】以為漸近線的雙曲線為等軸雙曲線，方程可設(shè)為，代入點得.10．已知定點，且，動點滿足，則的最小值是.【答案】6【分析】根據(jù)動點滿足，得到點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的一支，不妨設(shè)焦點在x軸上，寫出雙曲線方程，設(shè)，利用兩點間距離公式求解.【詳解】因為動點滿足，所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的一支，則，即，不妨設(shè)焦點在x軸上，則雙曲線方程為，左焦點為，右焦點為，設(shè)，則，所以，所以的最小值是6，故答案為：611．P是非等軸雙曲線上的一點，分別是雙曲線C左?右焦點，若，則雙曲線C的漸近線方程是.【答案】【解析】由雙曲線定義可得，根據(jù)、已知可解得，再由漸近線方程是可得答案.【詳解】因為，所以，又因為，，所以，即，解得或（舍去），所以雙曲線C的漸近線方程是.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線的定義、焦點三角形的問題，關(guān)鍵點是焦點三角形中，考查了分析問題、解決問題的能力.12．已知雙曲線方程是，過的直線與雙曲線右支交于，兩點（其中點在第一象限），設(shè)點、分別為、的內(nèi)心，則的范圍是.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得點、與雙曲線右頂點三點共線，且，線段，可分別用直線傾斜角表示出，根據(jù)傾斜角范圍可求出的范圍.【詳解】

因，故，，，如圖，過點分別作，，，垂足分別為，因為的內(nèi)心，所以，故點也在雙曲線上，即為雙曲線的右頂點，同理，所以三點共線，設(shè)直線的傾斜角為，因雙曲線的漸近線方程為，傾斜角為，根雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，因，所以，,所以，因，所以，所以，故答案為：四、解答題13．求滿足下列條件的曲線標準方程：(1)兩焦點分別為，，且經(jīng)過點的橢圓標準方程；(2)與雙曲線有相同漸近線，且焦距為的雙曲線標準方程.【答案】(1)(2)或【分析】(1)利用橢圓的定義以及點在橢圓上求解；(2)根據(jù)雙曲線及漸近線方程的定義求解.【詳解】（1）設(shè)所求橢圓的標準方程為兩焦點分別為，，又橢圓過點，，又，，所以橢圓的標準方程為.（2）方法一：(i),若焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，因為與雙曲線有相同漸近線，所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，又因為焦距所以，所以，聯(lián)立解得則雙曲線方程為，(ii),若焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，因為與雙曲線有相同漸近線，所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，又因為焦距所以，所以，聯(lián)立解得則雙曲線方程為，雙曲線的標準方程為：或方法二：設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為：（）焦距為，，雙曲線的標準方程為：或14．已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點；且的一條漸近線與直線平行.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，為坐標原點，試判斷的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是，2【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程由可得，根據(jù)題意求的坐標，即可求的面積，化簡整理即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可得：，則，則雙曲線的方程為.（2）由于直線與雙曲線右支相