第27講直線和圓的方程章末復習與測試（四大題型歸納測試卷）

第27講直線和圓的方程章末復習與測試目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01兩直線的平行與垂直 2題型02兩直線的交點與距離問題 4題型03直線與圓的位置關(guān)系 7題型04圓與圓的位置關(guān)系 10單元測試 13一、兩直線的平行與垂直1．判斷兩直線平行、垂直的方法(1)若不重合的直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1＝k2?l1∥l2.(2)若直線l1與l2的斜率都存在，且分別為k1，k2，則k1·k2＝－1?l1⊥l2.(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)討論兩直線的平行、垂直關(guān)系，可以提升學生的邏輯推理素養(yǎng)．二、兩直線的交點與距離問題1．兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點為基礎，通過交點與距離涵蓋直線的所有問題．2．兩直線的交點與距離問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算的核心素養(yǎng)三、直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑長為r.若d<r，則直線和圓相交；若d＝r，則直線和圓相切；若d>r，則直線和圓相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，其判別式為Δ.Δ＝0?直線與圓相切；Δ>0?直線與圓相交；Δ<0?直線與圓相離．2．研究直線與圓的位置關(guān)系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)四、圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系：一般利用圓心距與兩半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系．2．圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)．題型01兩直線的平行與垂直【解題策略】一般式方程下兩直線的平行與垂直：已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0【典例分析】【例1】(1)已知直線l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實數(shù)a的值為________．答案－3解析由l1⊥l2知，eq\f(a,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2,a＋1)))＝－1，解得a＝－3.(2)已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，則m＝________.答案－1解析1×3－m(m－2)＝0，得m＝3或－1.又當m＝3時，l1與l2重合；當m＝－1時，l1∥l2，所以m＝－1.【變式演練】【變式1】（2223高二上·湖北·期中）設、、分別是的對邊長，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交【答案】C【分析】利用正弦定理化簡即可直接判斷.【詳解】由正弦定理可知，化為：，即.所以直線與重合.故選：C【變式2】（2324高二上·青海西寧·期中）已知直線和互相垂直，則．【答案】【分析】利用兩直線垂直充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】直線和互相垂直，則，解之得.故答案為：【變式3】（2324高二上·重慶黔江·階段練習）（1）若直線與直線平行，求的值；（2）若直線與直線垂直，求的值.【答案】（1）或；（2）或【分析】（1）由兩直線平行的性質(zhì)計算即可得，并排除重合的情況；（2）由兩直線垂直的性質(zhì)計算即可得.【詳解】（1）兩直線平行，則，即，故或，當時，兩直線分別為與，符合要求，當時，兩直線分別為與，符合要求，故或；（2）兩直線垂直，則，即，故或題型02兩直線的交點與距離問題【解題策略】【典例分析】【例2】(1)若點(1，a)到直線y＝x＋1的距離是eq\f(3\r(2),2)，則實數(shù)a的值為()A．－1 B．5C．－1或5 D．－3或3答案C解析∵點(1，a)到直線y＝x＋1的距離是eq\f(3\r(2),2)，∴eq\f(|1－a＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，即|a－2|＝3，解得a＝－1或a＝5，∴實數(shù)a的值為－1或5.(2)過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，求直線l的方程．解設l1與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.【變式演練】【變式1】（2324高二上·天津河西·期中）若是直線上的兩點，那么間的距離為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由兩點間距離公式計算后結(jié)合點在直線進行化簡．【詳解】由題意，，故選：A【變式2】（2324高二上·山東濟寧·期中）已知點和直線，則點到直線的距離的最大值是．【答案】5【分析】求出直線過定點，可知為距離的最大值.【詳解】由可得，所以故定點，所以點到直線的距離的最大值為，故答案為：5【變式3】（2324高二上·上海·期末）已知直線經(jīng)過點，且被兩平行線所截得的線段長為5.(1)求，之間的距離；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)平行求出值，再根據(jù)兩平行線距離公式即可.（2）設出直線與直線的交點坐標，根據(jù)給定條件列式探求兩個交點坐標間的關(guān)系，求出直線方程作答.【詳解】（1）當平行時，則，解得，此時，則，之間的距離.（2）設直線與直線分別交于點，則，兩式相減得：，而，即，解得或，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗證符合題意，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗證符合題意，所以直線l的方程為或.故答案為：或題型03直線與圓的位置關(guān)系【解題策略】涉及直線與圓的有關(guān)題型(1)求切線方程：可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得．(2)弦長問題：常用幾何法(垂徑定理)，也可用代數(shù)法結(jié)合弦長公式求解【典例分析】【例3】已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)當m∈R時，證明l與圓C總相交；(2)m取何值時，l被圓C截得的弦長最短？并求此弦長．(1)證明直線的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，由點斜式可知，直線恒過點P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交．(2)解圓的方程可化為(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如圖，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，線段AB的長度最短．此時PC⊥l，又kPC＝eq\f(－3－－6,4－3)＝3，所以直線l的斜率為－eq\f(1,3)，則2m＝－eq\f(1,3)，所以m＝－eq\f(1,6).在Rt△APC中，|PC|＝eq\r(10)，|AC|＝r＝5.所以|AB|＝2eq\r(|AC|2－|PC|2)＝2eq\r(15).故當m＝－eq\f(1,6)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為2eq\r(15).【變式演練】【變式1】（2324高二下·上海·階段練習）已知實數(shù)滿足，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心【答案】C【分析】根據(jù)條件，即可圓心到直線的距離，再結(jié)合直線與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可判斷.【詳解】圓心到直線的距離為，即故直線與圓相交，圓心代入直線方程得到，不符合題意.故選：C【變式2】已知圓C關(guān)于直線x＋y＋2＝0對稱，且過點P(－2,2)和原點O.(1)求圓C的方程；(2)相互垂直的兩條直線l1，l2都過點A(－1,0)，若l1，l2被圓C所截得的弦長相等，求直線l1的方程．解(1)由題意知，直線x＋y＋2＝0過圓C的圓心，設圓心C(a，－a－2)．由題意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.因為圓心C(－2,0)，半徑r＝2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋y2＝4.(2)由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設l1的斜率為k，則l2的斜率為－eq\f(1,k)，所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，l2：y＝－eq\f(1,k)(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，所以eq\f(|－2k＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－2＋1|,\r(k2＋1))，解得k＝±1，所以直線l1的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.【變式3】（2324高二上·北京海淀·期中）已知圓O：，直線l：．(1)若直線l與圓O相切，求k的值；(2)若直線l與圓O交于不同的兩點A、B，當∠AOB為直角時，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可求待定系數(shù)的值.（2）借助“幾何法”，把問題轉(zhuǎn)化成為圓心到直線的距離問題求解.【詳解】（1）∵圓O：，直線l：．直線l與圓O相切，∴圓心O到直線l的距離等于半徑，即，解得．（2）根據(jù)題意，圓O的方程為，其半徑，直線l與圓O交于不同的兩點A，B，∠AOB＝，則點O到l的距離d＝r＝1，則有＝1，解可得k＝±題型04圓與圓的位置關(guān)系【解題策略】過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圓系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)，特別地，當λ＝－1時，上述方程為一次方程．兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程【典例分析】【例4】已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過切點的兩圓公切線的方程；(2)求過點(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程．解(1)把圓C1與圓C2都化為標準方程，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圓心與半徑長分別為C1(－2,2)，r1＝eq\r(13)；C2(4，－2)，r2＝eq\r(13).因為|C1C2|＝eq\r(－2－42＋2＋22)＝2eq\r(13)＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2相切．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－5＝0，,x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，))兩式相減得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，就是過切點的兩圓公切線的方程．(2)方法一過C1，C2的直線方程為eq\f(y＋2,2＋2)＝eq\f(x－4,－2－4)，即2x＋3y－2＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－2＝0，,3x－2y－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))則切點坐標為(1,0)．設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋3b－2＝0，,2－a2＋3－b2＝r2，,1－a2＋0－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝\f(10,3)，,r2＝\f(325,9).))所以所求圓的方程為(x＋4)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(10,3)))2＝eq\f(325,9)，即x2＋y2＋8x－eq\f(20,3)y－9＝0.方法二由圓系方程，可設所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.因為點(2,3)在此圓上，將點的坐標代入方程解得λ＝eq\f(4,3).所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋eq\f(4,3)(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－eq\f(20,3)y－9＝0.【變式演練】【變式1】（2324高二上·天津濱海新·階段練習）已知圓：，圓：，圓與圓的位置關(guān)系是.【答案】外切【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距等于兩半徑之和得到答案.【詳解】圓：的圓心為，半徑為2，圓：變形為，圓心為，半徑為3，故，故圓與圓相外切.故答案為：外切【變式2】已知圓C1：x2＋y2－4x＋2y＝0與圓C2：x2＋y2－2y－4＝0.(1)求證：兩圓相交；(2)求兩圓公共弦所在直線的方程．(1)證明圓C1的方程可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圓C2的方程可化為x2＋(y－1)2＝5，∴C1(2，－1)，C2(0,1)，兩圓的半徑均為eq\r(5)，∵|C1C2|＝eq\r(2－02＋－1－12)＝2eq\r(2)<2eq\r(5)，∴兩圓相交．(2)解將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0.【變式3】（2324高二上·浙江紹興·期末）已知圓M：，圓N經(jīng)過點，，．(1)求圓N的標準方程，并判斷兩圓位置關(guān)系；(2)若由動點P向圓M和圓N所引的切線長相等，求動點P的軌跡方程．【答案】(1)，兩圓外離(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知圓N是以為直徑的圓，進而可得圓N、圓M的圓心和半徑，進而判斷兩圓位置關(guān)系；（2）設，根據(jù)切線長性質(zhì)結(jié)合兩點間距離公式分析求解.【詳解】（1）由題意可知：，則圓N是以為直徑的圓，則圓N的圓心，半徑，所以：，又因為圓M的圓心，半徑，可得，即，所以兩圓外離（相離）.（2）設圓M上的切點為A，圓N上的切點為B，由題意可得：，設，則，整理得，所以點P的軌跡方程為：【單元測試】一、單選題1．（2324高二上·北京·期中）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】B【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷.【詳解】由題意，圓，則圓心，半徑，圓，則圓心,半徑，所以兩圓圓心距，所以兩圓外切.故選：B.2．（2024高二上·全國·專題練習）過點且與平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，可設所求直線方程為，將點的坐標代入，求得c，即可求得答案.【詳解】由題意可設所求直線方程為，因為在該直線上，所以，得，故該直線方程為，故選：C3．（2324高二上·廣西南寧·階段練習）過點且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)即可得解.【詳解】設垂直于直線的直線方程為，又直線過點，所以，解得，故所求直線的方程為.故選：D.4．（2324高二上·北京海淀·期中）點到直線的距離最大時，直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由直線方程確定定點，根據(jù)時點線距離最大，求出直線的斜率，進而可得直線的斜率，進而寫出直線的方程.【詳解】由直線的方程整理可得：，可得直線恒過定點，所以，當時，到直線的距離最大，可得直線的斜率為，即，所以直線的方程為，即．故選：．5．（2324高二上·河北石家莊·階段練習）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程組求出兩條直線的交點坐標，再求出直線上的點關(guān)于直線的對稱點即可求解.【詳解】由，解得，則直線與直線交于點，在直線上取點，設點關(guān)于直線的對稱點，依題意，，整理得，解得，即點，直線的方程為，即，所以直線關(guān)于直線對稱的直線方程為.故選：D6．（2324高二上·山東濟寧·期中）已知，，，為四個實數(shù)，且，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】設，換元后所求式子為，轉(zhuǎn)化為求動點與兩定點距離和的最小值即可得解.【詳解】設，則，所以，而可看做軸上動點與兩定點的距離和，如圖，

由圖可知當運動到時，最小，最小值為，所以的最小值為.故選：D7．（2324高二上·安徽宿州·階段練習）若的圖象與直線有兩個不同的交點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分與討論，結(jié)合條件，列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】當時，由可得，，當時，解得；當時，由可得，，由可知，方程的解是，又的圖象與直線有兩個不同的交點，所以，其中，解得；綜上所述，.故選：B8．（2324高二上·湖北荊州·期末）已知點和，點在軸上，且為直角，則點坐標為（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】為直角，故在以為直徑的圓上，確定圓方程，取計算得到答案.【詳解】為直角，故在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，圓方程為，取得到或，即點坐標為或.故選：B.二、多選題9．（2324高二上·海南·期中）已知直線過點，則下列說法中正確的是（

）A．若直線的斜率為2，則的方程為B．若直線在軸上的截距為2，則的方程為C．若直線的一個方向向量為，則的方程為D．若直線與直線平行，則的方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)各項描述，應用斜率兩點式、點斜式及直線平行求直線方程.【詳解】A：由題設，的方程為，即，錯；B：由題設，直線斜率，則，即，對；C：由題設，直線斜率，則，即，對；D：由題設，令直線為，將代入得，所以的方程為，對.故選：BCD10．（2324高二上·福建福州·期中）已知直線，，下列說法正確的是（

）A．當時，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過定點D．當時，直線l在兩坐標軸上的截距相等【答案】AC【分析】A.由兩直線的位置關(guān)系判斷；B.由兩直線的位置關(guān)系判斷；C.令判斷；D.由直線的方程判斷.【詳解】A.當時，，則直線l與直線垂直，故正確；B.若直線l與直線平行，則，無解，故錯誤；C.令，則，所以直線l過定點，故正確；D.當時，，直線l在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)，故錯誤；故選：AC11．（2324高二下·湖南常德·期中）已知直線，圓的方程為，下列表述正確的是（

）A．當實數(shù)變化時，直線恒過定點B．當直線與直線平行時，則兩條直線的距離為C．當時，圓關(guān)于直線對稱D．當時，直線與圓沒有公共點【答案】AD【分析】A選項，變形后得到直線恒過；B選項，先根據(jù)直線平行得到，進而利用兩直線距離公式求出答案；C選項，求出圓心，代入檢驗得到圓心不在直線上，從而C錯誤；D選項，求出圓心到直線的距離，與圓的半徑比較后得到D正確.【詳解】A選項，變形為，，解得，故當實數(shù)變化時，直線恒過定點，A正確；B選項，當直線與直線平行時，，故直線，故兩條直線的距離為，B錯誤；C選項，當時，直線，，故圓心為，其中，故圓心不在上，故圓不關(guān)于直線對稱，C錯誤；D選項，當時，，圓心到直線的距離，的半徑為，由于，故直線與圓沒有公共點，D正確.故選：AD三、填空題12．（2324高二上·河北邢臺·期中）已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，圓C與圓外切，寫出一個圓C的標準方程：．【答案】（答案不唯一，只要方程滿足即可）【分析】求出圓的圓心和半徑，利用兩圓外切即可求出一個圓C的標準方程.【詳解】由題意，在中，圓心，半徑，因為圓C的圓心在x軸的正半軸上，且圓C與圓M：外切，設半徑為，則圓心所以圓C的方程為．∴一個圓C的標準方程：故答案為：.13．（2324高二上·新疆喀什·期末）已知點與點之間的距離為5，則實數(shù)a的值為．【答案】或【分析】代入兩點間距離公式，即可求解.【詳解】，化簡為，解得：或.故答案為：或14．（2023高二上·江蘇·專題練習）直線與圓的位置關(guān)系是．【答案】相離【分析】聯(lián)立直線與圓的方程，得到一元二次方程，根據(jù)判別式即可判斷.【詳解】聯(lián)立直線l與圓C的方程，可得方程組，消去y，得．∵，∴方程無實數(shù)解，即方程組無實數(shù)解，故直線l與圓C相離．故答案為：相離.四、解答題15．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）分別判斷下列兩條直線的位置關(guān)系.如果相交，求出它們的交點坐標.(1)，；(2)，.【答案】(1)與相交，交點坐標為(2)與平行【分析】聯(lián)立兩直線方程，通過其解可判斷兩者關(guān)系，且其解為交點，從而得解.【詳解】（1）因為，，聯(lián)立，解得，所以與相交，交點坐標為.（2）因為，可化為，聯(lián)立，兩式相減得，顯然不成立，故方程組無解，所以與平行.16．（2324高二上·北京·期中）已知的頂點坐標分別是，，，為邊的中點.(1)求中線的方程；(2)求經(jīng)過點且與直線平行的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先確定，然后通過兩點的坐標確定方程；（2）先確定直線的斜率，然后通過點的坐標和斜率確定方程.【詳解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即.（2）由于直線的斜率是，且不在直線上.所以經(jīng)過點且與直線平行的直線方程為，即.17．（2024高二·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知圓和直線（其中和均為常數(shù)，且），為l上一動點，為圓與軸的兩個交點，直線與圓的另一個交點分別為.(1)若，M點的坐標為,求直線方程；(2)求證：直線過定點，并求定點的坐標．【答案】(1)．(2)證明見解析，過定點．【分析】（1）解法一：通過，，求出．然后推出坐標，即可求直線方程；解法二：通過，，求出．直線與的方程，由在曲線，求出直線的方程．（2）證明法一：設，設，求出直線的方程，直線的方程，通過直線與圓的方程聯(lián)立，求出直線的方程，然后說明經(jīng)過定點，求定點的坐標；法二：設得，設，求出直線的方程，與圓的交點,設為，求出直線的方程，與圓的交點設為．點，在曲線上，有，在圓上，求出公共弦方程，說明經(jīng)過定點，求定點的坐標．【詳解】（1）解法一：當，，則，則直線的方程：，即，解得．同理可得直線的方程：，解得．由兩點式得直線方程為：，即．解法二：通過，，求出，則直線的方程：，即，解得．同理可得直線的方程：，解得．由在曲線，則當時，求出直線方程為．（2）證法一：由題設得．設，直線的方程是：，直線的方程是：．解得．解得．于是直線PQ的斜率，直線PQ的方程為．上式中令，得是一個與無關(guān)的常數(shù)．故直線PQ過定點．證法二：由題設得，．設M(a，t)，直線MA1的方程是：，與圓的交點,設為，直線MA2的方程是：,與圓的交點設為,則點，