專題04函數(shù)奇偶性單調性周期性對稱性歸類

專題04函數(shù)奇偶性、單調性、周期性、對稱性歸類目錄TOC\o"11"\h\u題型一：奇偶性基礎 1題型二：單調性基礎 5題型三：周期性基礎 7題型四：中心與軸對稱應用：左右平移 9題型五：中心與軸對稱應用：伸縮變換型 11題型六：中心與軸對稱應用：軸對稱型 14題型七：中心與軸對稱應用：斜直線對稱 17題型八：中心與軸對稱應用：中心對稱 19題型九：中心與軸應用：類比“正余弦”求和 22題型十：中心與軸應用：“隱對稱點” 24題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞” 26題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型 30題型十三：類周期型函數(shù) 32題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質 36題型一：奇偶性基礎判定函數(shù)的奇偶性的常見方法：判定函數(shù)的奇偶性的常見方法：（1）定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關于原點對稱，再化簡解析式驗證貨等價形式是否成立；（2）圖象法：若函數(shù)的圖象關于原點對稱，可得函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關于軸對稱，可得函數(shù)為偶函數(shù)；（3）性質法：設的定義域分別為，那么它們的公共定義域上.常見的函數(shù)奇偶性經驗結論（在定義域內）：1.加減型：奇+奇→奇偶+偶→偶奇奇→奇偶偶→偶奇+偶→非奇偶→非2.乘除型（乘除經驗結論一致）奇X奇→偶偶X偶→偶奇X偶→奇奇X偶X奇→=偶簡單記為：乘除偶函數(shù)不改變奇偶性，奇函數(shù)改變3.上下平移型：奇+c→非偶+c→偶4.復合函數(shù)：若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則f[g(x)]為奇函數(shù)若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則f[g(x)]為偶函數(shù)1.（2023·全國·高三專題練習）若，，分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，再由奇偶函數(shù)的定義逐項判斷即可.【詳解】若，則，則是偶函數(shù)，故A錯誤；若，則,則是偶函數(shù)，故B錯誤；若，則，則是奇函數(shù)，故C正確；若，則，則是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C2.（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，再利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意可得，解得，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.3.（2023春·湖北武漢·高三武漢市開發(fā)區(qū)一中?？茧A段練習）已知是定義域為的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調遞增，分類討論即可求解.【詳解】由題可得，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立解得，又因為對任意的，都有成立，所以，所以成立，構造，所以由上述過程可得在單調遞增，(i)若，則對稱軸，解得；(ii)若，在單調遞增，滿足題意；(iii)若，則對稱軸恒成立；綜上，，故選：B.4.（2023·吉林延邊·高三延邊二中?？奸_學考試）函數(shù)是的奇函數(shù)，是常數(shù)．不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)奇偶性求出，然后判斷函數(shù)的單調性，結合性質把轉化為，求解的最小值可得.【詳解】因為是的奇函數(shù)，所以，所以；因為，所以可得，此時，易知為增函數(shù).因為所以，即，因為，所以.故選A.5.（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質可知，由此可以求出的值，進而可以求出.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，即或，顯然函數(shù)的定義域為關于原點對稱，且當時，有，從而有，當時，有，但，所以，即，所以.故選：D.6.（2024年高考天津卷）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳解】對A，設，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設，函數(shù)定義域為，不關于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設，函數(shù)定義域為，因為，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.題型二：單調性基礎單調性的運算關系：單調性的運算關系：①一般認為，－f(x)和eq\f(1,fx)均與函數(shù)f(x)的單調性相反； ②同區(qū)間，↑+↑=↑，↓+↓=↓，↑－↓=↑，↓－↑=↓；單調性的定義的等價形式：設x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?f(x)是[a,b]上的增函數(shù)； ②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?f(x)是[a,b]上的__減函數(shù)__；(3)復合函數(shù)單調性結論：同增異減．1.（2122高三·全國·課后作業(yè)）如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)單調性的定義，對每個選項進行逐一分析即可.【詳解】因為f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相同，故A，B，D都正確，而C中應為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正確的是：.故選：.2.（2324高三·福建廈門·模擬）已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題目條件得到在上單調遞增，且為偶函數(shù)，，其中，根據(jù)函數(shù)單調性和奇偶性得到不等式，求出解集.【詳解】不妨設，，故在上單調遞增，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，故定義域為，且，故為偶函數(shù)，因為，所以，，所以，解得或.故選：A3.（2223高一上·重慶沙坪壩·期末）已知為偶函數(shù)，若對任意，，總有成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意確定函數(shù)的單調性和對稱軸即可求解.【詳解】由可得，即，也即，當時，，當時，，所以函數(shù)在單調遞增，又因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于對稱，所以在單調遞減，且，所以由得解得,故選:A.4.（2223高三·浙江·模擬）設，都是上的單調函數(shù)，有如下四個命題，正確的是（

）①若單調遞增，單調遞增，則單調遞增；②若單調遞增，單調遞減，則單調遞增；③若單調遞減，單調遞增，則單調遞減；④若單調遞減，單調遞減，則單調遞減.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】利用函數(shù)單調性定義證明②③正確，舉反例說明①④錯誤.【詳解】對于命題①，令，均為增函數(shù)，而為減函數(shù)，①錯誤；對于命題②，設，則，，∴，∴，故單調遞增，命題②正確；對于命題③，設，則，，∴，∴，故單調遞減，命題③正確.對于命題④，令，均為減函數(shù)，而為增函數(shù)，故④錯誤.故選：C5.（2324高三·河北邢臺·階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，對任意的，且，恒成立，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，令，推得在上單調遞減，把不等式轉化為，結合，得到，即可求解.【詳解】由題意知：，可得，且，即，令，不妨設，可得，則，即，所以在上單調遞減，則不等式，且，轉化為，因為，所以，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.題型三：周期性基礎周期性周期性①若f(x＋a)＝f(x－b)?f(x)周期為T＝a＋b.②常見的周期函數(shù)有：f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)或f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期均為T＝2a.1.（2223高三·重慶沙坪壩·模擬）函數(shù)的定義域為，且，.若對任意實數(shù)，都有，則（

）A． B．1C．0 D．1【答案】D【解析】將用替換，用替換，可得，從而可得，進而可得，可求出函數(shù)的周期，再令，可求出，由即可求解.【詳解】將用替換，用替換，由對任意實數(shù)，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函數(shù)的周期，令，則，因為，所以，所以，故選：D2.（2023高三·全國·專題練習）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且，則一定是()A．是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)B．是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)D．是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)對稱性可判斷周期，結合周期可得奇偶性.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，又故，因此可得，所以是以10為周期的周期函數(shù)，結合周期可得。是一個偶函數(shù)．故選：A.3.（2324高三·湖南衡陽·階段練習）已知函數(shù)滿足，對任意實數(shù)x，y都有成立，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】令，得，然后做恒等變形，得出函數(shù)的周期，然后求出一個周期內的各個值即可.【詳解】因為且，令，得，則，所以，即，所以，所以，故函數(shù)是周期為6的周期函數(shù).令，，得，則，令，，得，則，由，得，，，，所以，又，故由函數(shù)的周期性知，，故選：D.4.（2223高三安徽·階段練習）已知是定義在上的函數(shù)，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知關系式可推導得到，可知周期為，結合的值可求得，由可得結果.【詳解】，，是周期為的周期函數(shù)，，，.故選：B.5.（2122高三·貴州六盤水·）函數(shù)的定義域為，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)題意計算出、、、的值，然后根據(jù)計算出的值得出規(guī)律，并根據(jù)得出的規(guī)律求出的值.【詳解】因為，，所以，則，，，由上述函數(shù)值可知：當、、、、、時，函數(shù)的值按照、、、循環(huán)，故，故選：D.題型四：中心與軸對稱應用：左右平移圖形變換圖形變換時，對稱軸和堆成中心也跟著平移(1)平移變換：上加下減，左加右減(2)對稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關于y＝x對稱))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關于y軸對稱的圖象))y＝f(|x|)．1.（2023·四川南充·閬中中學?？寄M預測）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期，且為偶函數(shù)，根據(jù)時，，求的值得此時解析式，即可求得的值.【詳解】為奇函數(shù)，，所以關于對稱，所以①，且，又為偶函數(shù)，，則關于對稱，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數(shù)則，所以，所以所以，解得，所以當時，所以.故選：B.2.．（2023·全國·高三專題練習）已知為R上的奇函數(shù)，為R上的偶函數(shù)，且當時，，若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)定義探求出函數(shù)的周期性，及在上的單調性即可判斷作答.【詳解】由為奇函數(shù)，得，即，又由為偶函數(shù)，得，即，于是，即，因此的周期為8，又當時，，則在上單調遞增，由，得的圖象關于點成中心對稱，則函數(shù)在上單調遞增，因此函數(shù)在上單調遞增，由，得的圖象關于直線對稱，，，，，顯然，即有，即，所以a，b，c的大小關系為.故選：D3.（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，探求函數(shù)的性質，再逐項分析判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，則，即，又為奇函數(shù)，則，即有，亦即，因此，即，由，得，則有，即函數(shù)是上的偶函數(shù)，又，從而是周期為6的周期函數(shù)，顯然，而沒有條件能求出，即CD錯誤；，沒有條件能求出，A錯誤；由，得，即，所以，B正確.故選：B4.（2023·陜西·統(tǒng)考二模）已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性得出函數(shù)的周期，從而求值.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以有，由為偶函數(shù)可得：，故有即，，故，所以周期，故故選：A5.（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的定義域為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．設，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇偶性可確定圖象關于直線和點對稱，由此可推導得到結果.【詳解】為偶函數(shù)，，圖象關于直線對稱，；為奇函數(shù)，，圖象關于點對稱；.故選：A.題型五：中心與軸對稱應用：伸縮變換型帶系數(shù)：系數(shù)不為帶系數(shù)：系數(shù)不為1，類比正弦余弦的帶系數(shù)形式，提系數(shù)平移平移變換：左右或者上下左加右減1.（2023·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預測）已知是定義域為的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則有①為奇函數(shù)，②關于對稱，③關于點對稱，④，則上述推斷正確的是（

）A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】解：（法一）根據(jù)為奇函數(shù)，得到關于對稱，再由是上的奇函數(shù)，得到過，然后由為偶函數(shù)，得到關于對稱，再結合推出的周期為4即可.（法二）舉例判斷；【詳解】解：（法一）因為為奇函數(shù)，所以關于對稱，又是上的奇函數(shù)，過，點，所以過，所以有；又為偶函數(shù)，所以，所以關于對稱；所以有，又，所以，所以周期為4，所以由，得，所以為奇函數(shù)，所以①②④正確.（法二）舉例：符合題意，再驗證得到①②④正確.故選：D.2.（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習）設函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)所給條件結合函數(shù)的奇偶性賦值求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，令可得，又因為是偶函數(shù)，所以，令則有，中令可得，所以，故選:A.3.（2023春·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學?？茧A段練習）已知定義域為R的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論錯誤的是（

）A．的圖象關于直線對稱 B．的圖象關于點對稱C． D．的一個周期為8【答案】C【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可得，判斷B;根據(jù)是偶函數(shù)，推出，判斷A;繼而可得，可判斷D；利用賦值法求得，根據(jù)對稱性可判斷C.【詳解】由題意知是奇函數(shù)，即，即，即，故的圖象關于點對稱，B結論正確；又是偶函數(shù)，故，即，故的圖象關于直線對稱，A結論正確；由以上可知，即，所以，則，故的一個周期為8，D結論正確；由于，令，可得，而的圖象關于直線對稱，故，C結論錯誤，故選：C【點睛】方法點睛：此類抽象函數(shù)的性質的判斷問題，解答時一般要注意根據(jù)函數(shù)的相關性質的定義去解答，比如奇偶性，采用整體代換的方法，往往還要結合賦值法求得特殊值，進行解決.4.（2023秋·湖北恩施·高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性對稱性可得函數(shù)的周期性以及，再利用復合函數(shù)的導數(shù)推出的周期以及，進而可求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即，即函數(shù)圖象關于對稱，則，因為為奇函數(shù)，所以，即函數(shù)圖象關于點對稱，則，所以，則，所以函數(shù)以4為周期，，因為，所以，即，即，也即，令，則有，所以，由得，所以以4為周期，所以，所以，C正確，對于其余選項，根據(jù)題意可假設滿足周期為4，且關于點對稱，，故A錯誤；，B錯誤；，D錯誤，故選:C.5.（2022秋·湖北襄陽·高三襄陽五中?？茧A段練習）已知及其導函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．設，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，得到，兩邊同時求導得到的圖象關于直線對稱，同理由為偶函數(shù)，得到函數(shù)的圖象關于點對稱，兩者聯(lián)立得到為周期函數(shù)，且周期為求解.【詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以，即，兩邊同時求導，則有，所以的圖象關于直線對稱．因為為偶函數(shù)，所以，即，兩邊同時求導，則有，所以函數(shù)的圖象關于點對稱．所以，，，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，則有，，所以．故選：B.題型六：中心與軸對稱應用：軸對稱型1.（2023上·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)關于直線對稱，則．【答案】【分析】先通過定義域關于直線對稱求出，再通過求出，證明函數(shù)關于直線對稱后，代入值求即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，又函數(shù)關于直線對稱，即定義域也關于直線對稱，，，解得，證明：關于直線對稱，，故關于直線對稱，.故答案為：.2.（2023上·福建龍巖·高三上杭一中校考階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，若方程有且僅有三個根，且為其一個根，則其它兩根為.【答案】、【分析】利用函數(shù)的對稱性可得出方程另外兩根.【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，因為方程有且僅有三個根，且為其一個根，則為該方程的一根，在等式中，令，可得，因此，方程的另外兩根為、.故答案為：、.3.（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學校考期中）已知函數(shù)滿足，且當時，，設，則的大小關系是．【答案】【分析】根據(jù)條件判斷出在上是增函數(shù)，進而利用單調性即可求出結果.【詳解】因為，所以，當時，，所以在上是增函數(shù).因為，所以，即，所以.故答案為：.4.（廣東省七校聯(lián)合體20202021學年高二下學期2月聯(lián)考數(shù)學試題）若函數(shù)有且只有一個零點，又點在動直線上的投影為點若點，那么的最小值為__________.【答案】【分析】易知：為偶函數(shù)，若要若函數(shù)有且只有一個零點，則，解得：，根據(jù)題意，直線過定點：，則點在以線段為直徑的圓上，再根據(jù)圓外一點到圓上最短距離即可得解.【詳解】由可得為偶函數(shù)，若要若函數(shù)有且只有一個零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質有，解得：，故點直線過定點，定點：，由點在動直線上的投影為點則點在以線段為直徑的圓上，圓心為，半徑，所以.故答案為：.5（四川省成都外國語學校、成都實驗外國語學校聯(lián)合考試2021屆高三第一學期11月月考）.已知，，，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定義可知在為R上的偶函數(shù)，再利用導數(shù)可知在區(qū)間單調遞增，于是，，即為，由函數(shù)的性質可得，，從而等價轉化為，恒成立，不等號兩側分別構造函數(shù)，求得構造的左側函數(shù)的最大值及右側函數(shù)的最小值，即可求得實數(shù)m的取值范圍．解：函數(shù)的定義域為，為R上的偶函數(shù)，又，，在R上單調遞增，又，∴當時，，在區(qū)間單調遞增．不等式，由偶函數(shù)性質可得：，即，由函數(shù)的單調性可得：，，，恒成立，令，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，；令，，，，故在區(qū)間單調遞減，，，故選：B題型七：中心與軸對稱應用：斜直線對稱軸變換，又叫直線鏡面變換：軸變換，又叫直線鏡面變換：1.（2023上·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.【答案】【分析】求出的解析式，然后利用復合函數(shù)的單調性求解.【詳解】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，則，定義域為，且在上單調遞減，令，由，得，當時，單調遞增；當時，單調遞減，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.故答案為：（也正確）.2.（2023·高三單元測試）函數(shù)與的圖象關于直線對稱,,則．【答案】【分析】根據(jù)兩個圖象關于直線對稱,即與互為反函數(shù),即是將解出的的值,解出即可.【詳解】解:由題意知與的圖象關于直線對稱,故與互為反函數(shù),的值即是縱坐標為5時的的值,令,解得或(舍),即.故答案為:3.（2022下·遼寧·高二瓦房店市高級中學校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，則．【答案】2【分析】由奇函數(shù)性質可得，進而得到關于對稱，結合已知與的對稱關系，確定的對稱中心，即可得結果.【詳解】由題設，若，則，所以關于對稱，又與關于直線對稱，則關于對稱，所以.故答案為：24.（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）設曲線與函數(shù)的圖像關于直線對稱，設曲線仍然是某函數(shù)的圖像，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設是在點處的切線，進而根據(jù)題意得直線關于對稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，進而得的方程為，再聯(lián)立方程即可得，進而得答案.【詳解】設是在點處的切線，因為曲線與函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以直線關于對稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，如圖所示直線與的角為，所以的傾斜角為，所以的方程為故聯(lián)立方程得，即，則，即所以，解得所以的取值范圍為.故答案為：5.（2022·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知直線:，函數(shù)，若存在切線與關于直線對稱，則．【答案】【分析】先求與關于直線對稱的直線，再利用切點是切線與曲線的公共點以及導數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】在直線：上取兩點，點，關于對稱的點分別為，點關于直線對稱的點為）設直線關于直線對稱的直線為，則過點，則，直線的方程為，即由得,因為函數(shù)存在切線與關于直線對稱，即存在切線方程為設切點為，則解得故答案為：題型八：中心與軸對稱應用：中心對稱中心對稱：中心對稱：（1）若函數(shù)滿足，則的一個對稱中心為（2）若函數(shù)滿足，則的一個對稱中心為（3）若函數(shù)滿足，則的一個對稱中心為.函數(shù)變換，又叫原點變換：1.（湖北省武漢二中20222023學年高三下學期4月第三次測試數(shù)學試題）已知函數(shù)，不等式對恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調遞減，不等式轉化為，利用雙勾函數(shù)單調性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調遞減，不等式，即，結合函數(shù)的單調性可得，即，設，，故單調遞減，故，當，即時取最大值，所以.故選：.2.（四川省達州市大竹縣大竹中學20202021學年高一下學期5月月考數(shù)學試題）已知函數(shù)，，若使關于的不等式成立，則實數(shù)的范圍為___________.【答案】【分析】證明函數(shù)圖象關于點對稱，再判斷函數(shù)的單調性，從而把不等式變形后應用單調性化簡，然后分離參數(shù)，轉化為三角函數(shù)的最值，利用換元法可得結果．【詳解】顯然函數(shù)定義域是，，∴的圖象關于點對稱，原不等式可化為，即，(*)設，則，∵，∴，∴，∴，即，，由得，∴，∴是增函數(shù)，不等式(*)化為，(**)令，∵，∴，不等式(**)化為，，問題轉化為存在，使不等式成立，當時，的最小值為2．∴．故答案為：．3.函數(shù)，若最大值為，最小值為，，則的取值范圍是______.【答案】【分析】先化簡，然后分析的奇偶性，將的最大值和小值之和轉化為和有關的式子，結合對勾函數(shù)的單調性求解出的取值范圍.【詳解】，令，定義域為關于原點對稱，∴，∴為奇函數(shù)，∴，∴，，由對勾函數(shù)的單調性可知在上單調遞減，在上單調遞增，∴，，，∴，∴，故答案為：.4.（廣東省深圳市人大附中學深圳學校20222023學年高三數(shù)學試題）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則____________.【答案】10【分析】由已知得到函數(shù)是關于點對稱，函數(shù)經過化簡也關于對稱，由此可知兩個函數(shù)的交點就關于對稱，根據(jù)點的對稱性，就可以得到的值.【詳解】因為函數(shù)滿足，即滿足，所以是關于點對稱，函數(shù)關于點對稱，所以函數(shù)與圖像的交點也關于點對稱，故交點成對出現(xiàn)，且每一對點都關于對稱，故.故答案為：10.5.（江蘇省南京師范大學附屬中學20222023學年高三模擬檢測2數(shù)學試題）已知函數(shù)．若存在使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】令，判斷函數(shù)的奇偶性與單調性，從而將不等式轉化為，分離參數(shù)可得，令，，利用對勾函數(shù)的單調性可得，結合題意即可求解的取值范圍．【詳解】函數(shù)，若存在使得不等式成立，令，，所以，為奇函數(shù)．不等式，即，即，所以，因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質可得在上為增函數(shù)，所以不等式等價于，分離參數(shù)可得，令，，由對勾函數(shù)的性質可知在上單調遞減，在上單調遞增，（1），（4），所以，，所以由題意可得，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．題型九：中心與軸應用：類比“正余弦”求和類比正弦：類比正弦：①兩中心②兩垂直軸③一個中心，一條軸1.（2022·廣東惠州·模擬）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（

）A．3 B．0 C．3 D．2018【答案】C【分析】先分析推理得到即得函數(shù)的周期為4，再求得，再求的值.【詳解】為的奇函數(shù)，且，又，，是周期為4的函數(shù)，又，，，，.故選：C2.（2022·廣西南寧·一模）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)都有，且，．則的值為（）A．2017 B．1010 C．1008 D．2【答案】B【分析】由偶函數(shù)可得，結合可得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，于是，由周期性可得所求的值．【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，因為，所以，∴是周期為2的周期函數(shù)，∴，又，∴于是，∴．故選：B．3.（2023·山東·一模）已知是定義在上的奇函數(shù),且為偶函數(shù),若,則（

）A．4 B．2 C．0 D．2【答案】C【分析】，得，的周期為4，又由，，進而求解即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，①，為偶函數(shù)，②，在②式中，令用替代，則，③，在①式中，令替代，則④，，再根據(jù)②式關系，得綜上所述，得，的周期為4，由已知得，是定義在上的奇函數(shù)，則，，，，，得，=答案選C【點睛】本題屬于函數(shù)的周期性和單調性的綜合運用，難點在于從等式中得到以下關系：，有一定的運算量，屬于一般題.4.（2223高三上·湖南永州·階段練習）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若，則（

）A． B．0 C．2 D．2020【答案】B【解析】根據(jù)奇偶性與可得函數(shù)的周期為4,再根據(jù)性質計算即可.【詳解】因為奇函數(shù)滿足,即.故周期為4.故,因為.故原式.令,則.令,則.又奇函數(shù)故.故.故選：B5.（2023·廣東梅州·三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A．10 B．20 C．15 D．5【答案】A【分析】首先由條件確定，即可判斷函數(shù)的周期，再結合特殊值，，即可求和.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關于對稱，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，即，則，那么，所以2是函數(shù)的一個周期，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，且，所以，，所以.故選:A題型十：中心與軸應用：“隱對稱點”兩兩圖象上有對稱點轉化為方程有根的問題求解，然后再根據(jù)兩函數(shù)的特征選擇用導數(shù)的幾何意義求解，具有綜合性，難度較大．1.（2122高三·云南紅河·模擬）對于函數(shù)，若存在，使得，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”，若函數(shù)，存在“隱對稱點”，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，關于原點對稱的函數(shù)解析式，，根據(jù)題意只需，與，有交點，參變分離后，結合基本不等式求出，從而求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當時，，設，關于原點對稱的函數(shù)解析式為，當時，，，故，故，，要想存在“隱對稱點”，則，與，有交點，聯(lián)立得，，即，而，當且僅當時取等號，故實數(shù)m的取值范圍是.故選：B2.（2022廣西柳州·一模）已知函數(shù)與的圖像上存在關于軸對稱的對稱點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【分析】將題中的問題轉化為方程在上有解，即方程在有解的問題處理，然后再轉化為兩函數(shù)的圖象有公共點求解，借助導數(shù)的幾何意義和圖象可得所求范圍．【詳解】函數(shù)與的圖像上存在關于軸對稱的對稱點，∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解．設，，則兩函數(shù)的圖象有公共點．由得．若為的切線，且切點為，則有，解得，結合函數(shù)圖象可得若兩函數(shù)的圖象有公共點，則需滿足．所以實數(shù)的取值范圍是．故選A．3.（2022遼寧沈陽·模擬預測）函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，則實數(shù)的取值范圍為（

）(為自然對數(shù)的底)A． B． C． D．【答案】C【分析】因為關于軸對稱的函數(shù)為轉化為與的圖象有交點，即方程有解，對、、進行討論可得答案.【詳解】因為關于軸對稱的函數(shù)為，又函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，所以與的圖象有交點，即方程有解，時符合題意；時轉化為有解，即與的圖象有交點，是過定點的直線，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點，滿足題意；若，設，相切時，切點的坐標為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當，即時，與的圖象有交點，此時，與的圖象有交點，函數(shù)與的圖象上存在關于軸的對稱點，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.4.（2023·河北衡水·一模）若函數(shù)圖象上存在兩個點，關于原點對稱，則對稱點為函數(shù)的“孿生點對”，且點對與可看作同一個“孿生點對”.若函數(shù)恰好有兩個“孿生點對”，則實數(shù)的值為A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【詳解】分析：由題可知當時，與恰有兩個交點.根據(jù)函數(shù)的導數(shù)確定的圖象，即可求得實數(shù)的值.詳解：由題可知，當時，與恰有兩個交點.

函數(shù)求導（）易得時取得極小值；時取得極大值另可知，所得函數(shù)圖象如圖所示.當，即時與恰有兩個交點.當時，恰好有兩個“孿生點對”，

故選A.5.（2223高三下·上海寶山·期中）若存在與正數(shù)，使成立，則稱“函數(shù)在處存在距離為的對稱點”．設（），若對于任意，總存在正數(shù)，使得“函數(shù)在處存在距離為的對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是…A． B． C． D．【答案】A【詳解】若對于任意，總存在正數(shù)，使得“函數(shù)在處存在距離為的對稱點”，則對于任意，有解，即有解．即有解，因為（）具有對稱性，故有，即有m<t，即有，由于,故，選A.題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞”雙函數(shù)性質：雙函數(shù)性質：1.雙函數(shù)各自對應的對稱中心和對稱軸等性質2.雙函數(shù)之間存在著互相轉化或者互相表示的函數(shù)等量關系傳遞中心，對稱軸，與周期若函數(shù)關于軸對稱，關于中心對稱，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關于軸對稱，關于軸對稱，則函數(shù)的周期為，若函數(shù)關于中心對稱，關于中心對稱，則函數(shù)的周期為.1.（2223高三上·江西·階段練習）已知函數(shù)的定義域均為R，且滿足則（

）A．3180 B．795 C．1590 D．1590【答案】D【分析】根據(jù)遞推關系可得且，進而有，構造易知是周期為2，分別求得、，再求、，根據(jù)周期性求，最后求和.【詳解】由，則，即，由，則，即，又，即，所以，故，綜上，，則，故關于對稱，且有，令，則，即的周期為2，由知：關于對稱且，所以，即，則，由，可得，則，所以則；則，依次類推：，，……，，所以.故選：D2.（2324高三上·遼寧·階段練習）已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，若的圖像關于對稱，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】根據(jù)的圖象關于對稱得到，，然后結合，得到的周期為4，再通過賦值得到，，，，最后根據(jù)周期求值即可.【詳解】因為的圖象關于對稱，所以，，因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以的周期為4，當時，，所以，，當時，，所以，當時，，，所以，，所以.故選：B.3.（2023·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結論正確的是．（只填序號）①為偶函數(shù)；②為奇函數(shù)；③；④.【答案】①④【分析】結合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進而判斷選項A；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項B；根據(jù)的性質分析可得，再根據(jù)的周期性即可判斷選項C；結合函數(shù)的周期即可判斷選項D.【詳解】因為，所以，又因為，則有，且是奇函數(shù)，則，可得，即，則，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，因為，則，可得，故也是周期為4的周期函數(shù)．對于①：因為，則，即，所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；對于②：∵，∴，故②錯誤；對于③：因為，令，即，則，又因為，令，所以，令，則，即，即，所以，所以③錯誤；對于④：因為，所以，所以，所以④正確．故答案為：①④．4.（2023·河南·模擬預測）已知為定義在上的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，，，則以下命題：①是偶函數(shù)；②；③的圖象的一條對稱軸是；④，其中正確的序號是．【答案】①②④【分析】①根據(jù)奇函數(shù)的定義，利用復合求導公式，可判斷①正確；②根據(jù)題意，賦值即可求出②正確；③利用與的關系，結合復合函數(shù)求導公式可推出的對稱中心是，③錯誤④可證明是周期為的周期函數(shù)，進一步求出即可求得答案.【詳解】對于①，由為定義在上的奇函數(shù)可知，則，即，，即，為偶函數(shù)①正確；對于②，對賦值x＝1，得，故②正確；對于③，由與可知，，則（c為常數(shù)），令x＝1，則c＝0，所以，故，則關于中心對稱，由題意可知不是常函數(shù)，故不是其對稱軸，③錯誤；對于④，為定義在上的奇函數(shù)，則，又，，則，，，則的周期T＝4，故，故④正確．故答案為：①②④．5.（2023·四川南充·二模）設定義在上的函數(shù)和.若，，且為奇函數(shù)，則.【答案】【分析】由，，可得，再結合為奇函數(shù)，可得，從而可得函數(shù)是以為周期的一個周期函數(shù)，求出即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因，所以，即，因為為奇函數(shù)，所以，且，所以，則，所以函數(shù)是以為周期的一個周期函數(shù)，由，得，則，所以.故答案為：.題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型有有，則稱為優(yōu)函數(shù)。類似這類函數(shù)不等式，可以借助“類周期”思維進行放縮。1.（2024年高考1卷）已知函數(shù)為的定義域為R，，且當時，則下列結論中一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質和不等式的性質，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因為當時，所以，又因為，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B2.（2021·四川德陽·一模）已知函數(shù)，若，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)奇偶性對不等式化簡，再判斷函數(shù)的單調性，然后利用單調性將不等式轉化為，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以可化為，即，任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以由，得，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是，故選：D3.（2020高三·全國·專題練習）已知是定義在R上的函數(shù)，，且對任意都有：與成立，若，則．【答案】1【解析】根據(jù)，得到，再結合與成立，可推理出，，兩者結合進而推理出，得到是以1為周期的周期函數(shù)求解.【詳解】因為，所以．所以，，所以，，所以，所以，所以是以1為周期的周期函數(shù)．所以．故答案為：14.（2223高二上·上海浦東新·開學考試）設是定義在上的函數(shù)，且對于任意的整數(shù)，滿足，，則的值為..【答案】【分析】根據(jù)，得出，從而求出和的值，再計算的值即可．【詳解】解：因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以．故答案為：．5.（2223高三·北京順義·模擬）如果函數(shù)滿足對任意s，，有，則稱為優(yōu)函數(shù)．給出下列四個結論：①為優(yōu)函數(shù)；②若為優(yōu)函數(shù)，則；③若為優(yōu)函數(shù)，則在上單調遞增；④若在上單調遞減，則為優(yōu)函數(shù)．其中，所有正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】①計算出，故，得到①正確；②賦值法得到，，依次類推得到；③舉出反例；④由在上單調遞減，得到，整理變形后相加得到，即，④正確.【詳解】因為，所以，故，故是優(yōu)函數(shù)，①正確；因為為優(yōu)函數(shù)，故，即，，故，同理可得，……，，②正確；例如，滿足，即，為優(yōu)函數(shù)，但在上單調遞減，故③錯誤；若在上單調遞減，任取，，則，即，變形為，兩式相加得：，因為，所以，則為優(yōu)函數(shù)，④正確.故答案為：①②④題型十三：類周期型函數(shù)1.（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預測）在上非嚴格遞增，滿足，若存在符合上述要求的函數(shù)及實數(shù)，滿足，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意整理可得：對，則，分類討論的取值范圍，分析運算.【詳解】∵，即對，則，故對，則，∵，則有：1.當時，則，可得，不成立；2.當時，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則，解得；例如，取，則，解得；故；3.當時，則，可得，不成立；4.當時，則，可得，則，若，解得，符合題意；特別的：例如，取，則；例如，取，則；故；5.當時，則，可得，不成立；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.2.（2021下·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學校考期末）已知函數(shù)，若對于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個不同的交點，則.【答案】【分析】由題意首先確定函數(shù)的性質，然后結合直線與圓的位置關系得到的表達式，最后裂項求和即可求得的值.【詳解】當時，，即，；當時，，函數(shù)周期為2，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：與函數(shù)恰有個不同的交點，根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切，故，故，.故答案為：.3.已知fx=12x+a,x≤0,fx-1,x>0,【答案】-2,+∞【詳解】構造函數(shù)g（x）＝f（x）a＝2作出函數(shù)g（x）=2-x，若f（x）＝x有且僅有兩個實數(shù)解可轉化為g（x）與y＝xa的圖象有兩個交點，結合圖象可知，當a≥2時函數(shù)有1個交點；當a＜2時函數(shù)有2個交點，即a＞2時，函數(shù)有兩個交點.故答案為-2,+∞4.（2023上·四川資陽·高三統(tǒng)考模擬）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線為，若，則與的圖象的公共點個數(shù)為．【答案】2或3.【詳解】由題意得，當時，直線的方程為：，其與時的圖象只有一個交點，當時，，則將直線的方程代入到中，得，由得，，當時，，在定義域內，此時在時，直線與有兩個交點，綜合有三個交點；當時，，不在定義域內，此時在時，直線與有一個交點，綜合只有兩個交點；結合上述兩種情況，與的圖象的公共點個數(shù)為2或3.5.（福建省長汀縣第一中學2022屆高三上學期第二次月考數(shù)學試題）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f（i）f2021（ii）若方程fx-kx=0有且只有兩個解，則實數(shù)k【答案】-4042-1,-【分析】（i）根據(jù)解析式，利用遞推法即可得出；（ii）利用圖象的平移變換得到函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合方法求得.【詳解】（i）f2021=-4042;（ii）∵x≥1時，f(x)=f(x-1)-2所以f(x)的圖象由在[0,1)之間的拋物線的一部分逐次向右平移1個單位，向下平移2個單位得到，如圖所示.已知l1由圖可知若方程fx則實數(shù)k的取值范圍是-1,-1故答案為：-4042；-1,-題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質形如形如f（tx）=mf（x）等“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點辨析：1.是從左往右放大，還是