2023年廣東省深圳市各區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬題-壓軸題

2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)一~三模試題匯編：壓軸解答題

（原卷版）

一、四邊形

1.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考一模）將正方形A8C。的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至

AE,記旋轉(zhuǎn)角為a,連接BE,過點(diǎn)8作直線OE，垂足為點(diǎn)凡連接。產(chǎn).

圖1B

（1）如圖I,當(dāng)a=30。時(shí)，石尸的形狀為_____，—的值為______；

CF

（2）當(dāng)90。＜。＜180°時(shí)，

①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立,

請說明理由；

②如圖3,正方形A3CO邊長為4,DN工BE,CM工BE,在AE旋轉(zhuǎn)的過程中，是否

存在二AMN與△區(qū)斯相似？若有在，則。尸的值為,若不存在，請說明理由.

2.（2023年廣東省深圳市福田I乂中考二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰

長的比叫做頂角的張率（Scop）.如圖1,在VXN中，XY=XZ，頂角X的張率記作

YZ

ScopZX=底邊+腰=行.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的,

所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義Na（00vNavl80。）的張率，例如,

Scop600=l,Scop900=y/2,請根據(jù)材料，完成以下問題:

如圖2,尸是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），點(diǎn)C,力分別是線段AP,的

中點(diǎn)，以AC,CD,OB為邊分別在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACE，..COb，/XDBG,

連接PE和PG.

（1）【理解應(yīng)用】①若等邊三角形AHCE,△CDF,△O8G的邊長分別為〃，b,c

則a,b,。，三者之間的關(guān)系為

②ScopZEPG=

（2）【猜想證明】如圖3,連接瓦\(yùn)FG,猜想ScopZE尸G的值是多少，并說明理由;

（3）【拓展延伸】如圖4,連接EF,EG,若A6=12,EF=2小，則AiEPG的周長

是多少？此時(shí)"的長為多少？（可直接寫出上述兩個(gè)結(jié)果）

3.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)）在正方形中，點(diǎn)E是對角線AC上

的一點(diǎn)，且AE=」AC（〃>2）,將線段AE繞著點(diǎn)￡順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至放，記旋轉(zhuǎn)角為

n

a（0<a<180°）,連接A尸、CF,并以。尸為斜邊在其上方作AC尸Gs,、C4O,連接

（1）特例探究：如圖1,當(dāng)〃=3,a=180。時(shí)，線段A尸與OG的數(shù)量關(guān)系為；

（2）問題探究：如圖2所示，在旋轉(zhuǎn)的過程中，

①（1）中的結(jié)論是否依然成立，若成立，請說明理由；

8

②當(dāng)〃=§,NEfC=90。時(shí)，若AB=4&，求OG的長度；

4D1

（3）拓展提升：若正方形4BCZ）改為矩形43c。，且一=-,其它條件不變，在旋轉(zhuǎn)

AD2

的過程中，當(dāng)A、尸、G三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3所示，若〃=4,CG=m,直接寫出OG的

長度.（用含〃?的式子表示）

4.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考二模）在平行四邊形ABC。中，N42C=60。，

A8=4，點(diǎn)石為平面內(nèi)一點(diǎn)，且BE=1.

（1）若AB=5C,

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在3c上時(shí)，連接AE,作NEF=60°交于點(diǎn)尸，連接AC、EF，

求證：△族1尸為等邊三角形；

②如圖2,連接AE,作NE4產(chǎn)=30。，作于點(diǎn)尸，連接。尸，當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC

上時(shí)，求C廠的長度；

（2）如圖3,連接AC,若/班C=90。，尸為A8邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接尸E，

以PE為邊作RtAEPF,且NEP/=90。，NP律=60°,作NP砂的角平分線EG,與

PF交于點(diǎn)G,連接DG,點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過程中，DG的最大值與最小值的差為.

5.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考一模）如圖1,已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對角級AC

上，GEtBC，垂足為點(diǎn)E,GFA.CD,垂足為點(diǎn)尸.

②求證：四邊形CEG尸是正方形;

②推斷：一4G"的值為

BE

（2）探究與證明:

將正方形的CEG尸繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)磯0。<a<45。），如圖2所示，試探究線段AG

與把之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展與運(yùn)用：

正方形CEG尸在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)8、E、尸三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示，延長CG交4。

于點(diǎn)H,若AG=4,GH=6,則3C=.

6.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考二模）【課木再現(xiàn)】把兩個(gè)全等的矩形A3CD和矩形

CE尸G拼成如圖1的圖案，則NAb=°；

【遷移應(yīng)用】如圖2,在正方形ABC。中，E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C,D重合），連

接BE,將BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至FE，作射線尸。交5C的延長線于點(diǎn)G,求證：

CG=BC；

【拓展延伸】在菱形ABC。中，24=120。，E是CO邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C,。重合），

連接花，將花繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至正1，作射線正。交3。的延長線于點(diǎn)G.

①線段CG與BC的數(shù)量關(guān)系是.

②若A3=6,E是。。的三等分點(diǎn)，則cCEG的面積為.

mi花用圖

7.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模）（1）【問題情境】如圖1，正方形ABCD中，E、

產(chǎn)分別是邊和對角線AC上的點(diǎn)，NED尸=45。.易證尸（不需寫出證明

BC=8,E、尸分別是邊A8和對

4

角線4C上的點(diǎn)，tanZEDF=-,BE=5,求C/的長;

3

圖2

（3）【變式探究】如圖3,菱形438中，BC=5,對角線AC=6,BHJ.AD交DA的

3X

延長線于點(diǎn)”，E、尸分別是線段”8和AC上的點(diǎn)，tanNEOF=—，HE=一,求CF

45

的長.

（4）【拓展延伸】如圖4，點(diǎn)。為等腰RtZXABC的斜邊的中點(diǎn)，AC=BC=5上，

3

OE=2,連接施，作R"EF,其中N8Eb=90。，tanNE8/=:，連接AF，求四

4

邊形AC3月的面積的最大值為.（直接寫出結(jié)果）

8.(2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考二模)【問題】北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊P32第2題:

已知：如圖1,的外角NCBD和N8CE的平分線相交于點(diǎn)足

求證：點(diǎn)尸在NIME的平分線上.

【解答】某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：

如圖2,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)G,作"/_LAE于點(diǎn)”，作于點(diǎn)M,由角平

分線的性質(zhì)定理可得：FG=FM,FH=FM.

：.FG=FH.

*：FG1AD,FHJLAE，

??.尸在—DAE的平分結(jié)上.

【探究】

(1)小方在研究小明的解題過程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)圖2中8G、8c和CH三條線段存在一定的數(shù)

量關(guān)系，請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系：；

(2)小明也發(fā)現(xiàn)尸C和NGFH之間存在一定的數(shù)量關(guān)系.請你直接寫出它們的數(shù)量關(guān)

系：：

(3)如圖3,邊長為3的正方形ABCO中，點(diǎn)E,尸分別是邊CD、3c上的點(diǎn)，且=1.連

接AEAF,EF,若NE4F=45。，求3尸的長；

(4)如圖4,金。中，AB=AC=5,BC=4.REF中,ZEDF;ZB.將DEF

的頂點(diǎn)。放在8c邊的中點(diǎn)處，邊。尸交線段AB于點(diǎn)G,邊￡)￡交線段4C于點(diǎn)H,連接

GH.現(xiàn)將血尸繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，AAG”的周長是否發(fā)生變化？若不變,

求出aAGH的周長，若改變，請說明理由.

9.(2023年廣東省深圳市南山區(qū)中考一模)在正方形4BCO中，點(diǎn)E是對角線AC上的

①依題意補(bǔ)全圖1；

②小深通過觀察、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線段AEFC,所存在以下數(shù)量關(guān)系：AE與/C的平方和

等于瓦'的平方.小深把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成證明該猜想的兒種想

法：

想法1：將線段阱繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段3M，要證AE,FC,所的關(guān)系，

只需證A&AM,EM的關(guān)系.

想法2：將AAB石沿3E翻折，得到&NBE,要證AE,FC,跖的關(guān)系，只需證

EN,FN,E戶的關(guān)系.

請你參考上面的想法，用等式表示線段AEFC,放的數(shù)量關(guān)系并證明；(一種方法即可)

（2）如圖2,若將直線無繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。，交直線4c于點(diǎn)尸.若正方形邊長為

2,AE:EC=2:3,求AF的長.

10.（2023年廣東省深圳市南山區(qū)中考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對多邊形

內(nèi)兩條互相垂直的線段進(jìn)行了如下探究:

（1）【觀察與猜想】如圖1,在正方形A3CQ中，點(diǎn)E，尸分別是A8,AO上的兩點(diǎn),

DE

連接OE，CF,DELCF,貝!"的值為

CF

（2）如圖2,在矩形A8C。中，AD=7,CD=4,點(diǎn)￡是AO上的一點(diǎn)，連接CE,BD，

CE

CELBD,則——的值為

BD

圖2

FG

（3）【證明與理解】如圖3,在矩形4BCQ中，AO=7,CO=4,DE'FG,求無

的值;

圖3

（4）【知識點(diǎn)應(yīng)用】如圖4,在RtAABZ）中，ZA=90°,tanZADB=-,4。=9,將,.ADB

3

CF

沿80翻折后得到△C3Z）,點(diǎn)E在A8邊上，點(diǎn)尸在AO邊上，CFLDE,求一的值.

DE

11.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考一模）綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在YA8CO中，BELAD，

垂足為E,r為CO的中點(diǎn)，連接BF，試猜想所與跖的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖①圖②

圖③

（1）獨(dú)立思考：請解答老師提出的問題：

（2）實(shí)踐探究：希望小組受此問題的啟發(fā)，將YA5C。沿著防（尸為。。的中點(diǎn)）所在

直線折段，如圖②，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C',連接。。'并延長交AB于點(diǎn)G,請判斷AG與BG

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（3）問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將YA3。沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對

應(yīng)點(diǎn)為4,使A'B_LCD于點(diǎn)"折痕交AO于點(diǎn)M，連接AM，交CO于點(diǎn)M該小組

提出一個(gè)問題：若此YA5CZ）的面積為20,邊長A3=5,BC=2在，求圖中陰影部分

（四邊形BHNM）的面積.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

二、圓

1.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考一模）如圖1,已知。。是△ABC的外接圓，ZABC

=ZACB=Ot（450<a<90°），點(diǎn)。是48上一點(diǎn)，連接交AB于E.

（1）連接8D,若NCO8=40°,求a的大??；

（2）如圖2,若點(diǎn)B恰好是CQ中點(diǎn)，求證：CE?=BEBA;

AB

（3）如圖3,將CO分別沿BC、AC翻折到CM、CN,連接MM若CO為直徑，請問——

MN

是否為定值，若是請求出這個(gè)值，若不是，請說明理由:

2.(2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考二模)圓周角定理：圓周角度數(shù)等于它所對的弧上

的圓心角度數(shù)的一半.下面根據(jù)圓周角定理進(jìn)行探究.

圖1

(1)如圖1,A8是。。的弦，點(diǎn)。是AC8上一點(diǎn)，連接AC,3C,過點(diǎn)。作于

點(diǎn)。，連接OA,ZACB=50°?求NAOD的大小.

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)4(2,0),8(6,0).

(i)如圖2,點(diǎn)尸為直線x=5上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).請從：①N4尸8=30°;②NA尸8=45°;

③NAP6=60°中任選一個(gè)，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；

(ii)如圖3,點(diǎn)例為直線CD：y=x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM,BM.當(dāng)NAM8最

大時(shí)，求出此時(shí)AiMAB的面積.

3.(2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué))課本呈現(xiàn)：如圖1,在射門游戲中，球員

射中球門的難易程度與他所處的位置C對球門的張角(NC)有關(guān).當(dāng)球員在C,。處

射門時(shí)，則有張角NC=/D.某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門AB同側(cè)的直

線/射門時(shí)的最大張角.

問題探究:

(1)如圖2,小明探究發(fā)現(xiàn)，若過A、B兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線/相交于點(diǎn)C、O,當(dāng)球員在尸

處射門時(shí)，則有

小明證明過程如下：

設(shè)直線3尸交圓于點(diǎn)E,連接AE,則NAC8=NAEB

VZAEB=+ZEAP

???ZACB=+/EAP

(2)如圖3,小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過A、8兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線，相切于點(diǎn)F，當(dāng)球員在尸

處射門時(shí)，則有NA/話》NAC8,你同意嗎？請你說明理由.

問題應(yīng)用：如圖4,若N3OC=45。，08=10匹米，A是中點(diǎn)，球員在射線OC上的P

點(diǎn)射門時(shí)的最大張角為45。，則。P的長度為米.

圖4

問題遷移：如圖5,在射門游戲中球門A3=10,8是球場邊線，DE=25,NA￡>C是

直角，EF1CD.若球員沿火帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)P,求44PB的最大

1755

度數(shù).(參考數(shù)據(jù)：sin67°?—,cos67°?—,tan67°a2.4,tan23°?—,

131312

tan42°.)

DEC

圖5

4.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、3、C在半徑為1的OO上

靜止不動(dòng)，第四只螞蟻尸在O。上的移動(dòng)，并始終保持NAPC=NCP3=600.

（1）請判斷JSC的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組“很快得出結(jié)論，請你回答這個(gè)結(jié)論：是

二角形：

（2）“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵伿谏系囊苿?dòng)時(shí)，線段PA、PB、

PC三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請你寫出這種數(shù)量關(guān)系：,并加以證明；

（3）“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻尸的移動(dòng)而

移動(dòng)，且始終位于線段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度一定存在最小值，

請你求出線段的最小值是（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）.

5.（2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考二模）【粽合與實(shí)踐】我國海域的島嶼資源相當(dāng)豐富，

總面積達(dá)72800多平方公里，有人居住的島嶼達(dá)450個(gè).位于北部灣的某小島，外形酷似

橄欖球，如圖1所示.

如圖2所示，現(xiàn)把海岸線近似看作直線m,小島面對海岸線一側(cè)的外緣近似看作AB，經(jīng)測

量，A8的長可近似為250萬海里，它所對的圓心角（NAO8）的大小可近似為90。.（注：AB

在m上的正投影為圖中線段8,點(diǎn)。在機(jī)上的正投影落在線段。上.）

（2）因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問題，擬在海岸線上,

建造一個(gè)淡水補(bǔ)給站，向島上居民輸送淡水.為節(jié)約運(yùn)輸成本，要求補(bǔ)給站到小島外緣AB

的距離最近（即要求補(bǔ)給站與A8上的任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離取得最小值）；請你依據(jù)所

學(xué)幾何知識，在圖2中畫出補(bǔ)給站位置及最短運(yùn)輸路線（保留畫圖痕跡，并做必要標(biāo)記與注

明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明）.

（3）如圖3,若測得AC長為6（X）海里，80長為500海里，試求出（2）中的最小距離.

2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)一~三模試題匯編：壓軸解答題

（解析版）

一、四邊形

1.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考一模）將正方形A8CD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至

AE,記旋轉(zhuǎn)角為a,連接BE,過點(diǎn)B作8/_1_直線。E，垂足為點(diǎn)F,連接C77.

當(dāng)90°<a<180°時(shí),

①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立,

請說明理由；

②如圖3,正方形A3CD邊長為4,DNA.BE,CM工BE,在AE旋轉(zhuǎn)的過程中，是否

存在二AMN與跖相似？若存在，則C/的值為,若不存在，請說明理由.

【答案】（1）等腰直角三角形，板;

（2）①成立，理由見解析；②存在，。尸=￡叵.

5

【解析】

【分析】（1）如圖，連接30,當(dāng)。=30。時(shí)，利用正方形及等腰三角形性質(zhì)可求得

ZmE=60°,ZABE=75°,易得VAOE是等邊三角形即NA。=60°即可求出

/BEF=45°結(jié)合BF±DE即可證得/\BEF是等腰直角三角形，在RtABEF與

Rtz.BCD中，求得殷二巨2=也可證得JDBEFCBF即可得到—=—；

BFBC1CF1

aa

(2)①如圖連接3力，當(dāng)時(shí)，求得NAEB=90。一上，NAEO=135。一上從

22

而得到NFEB=45。即可證明△班正是等腰直角三角形，在RtABEF與RtaBCD中求

得殷二處=也可證得DBEyCBF即可得到—=72；

BFBC1CF

②如圖，當(dāng)AM_LAN時(shí)，由①可證得NOEN=NEDN=45。，EN=DN及

/MBG=/MGB=NFGC=45。,MG=MB,易證=NAZW從而易證

二DANWBAM得^AMN是等摟直角三角形得LAMN?aME,再證^AENgABM得

EN=BM,在Rt△麻下中，DE=MEN,由①可知DE=JiCF得硒=CF,即

CG=CF=EN=BM=MG,辿有CM=2CF在RtABCM中勾股定理解可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，連接3￡)，

當(dāng)N8A￡=a=30。時(shí)，

ZZ>AE=60o.

AB=AE=AD?

Z硝=18-3*75。,

2

VADE是等邊三角形，

ZAED=60°,

:.ZBEF=180°-ZAEB-ZAED=45°,

QBFLDE,

石=90°,

:.NFBE=450,

.?zBM是等腰直角三角形，

:"DBC=/FBE=45。,

/.ZDBC-ZCBE=ZFBE-ZCBE,

:.ZDBE=NCBF,

RtZ\BM中，

BE=VBF2+EF2=42BF?

BEV2

/.---=——，

BF1

同理，在RtqBCD中，—,

BC1

.BE_BD42

DBE~jCBF，

,DE_BDy/2

故答案為：等腰直角三角形，V2；

【小問2詳解】

①成立，理由如下，

如圖連接80，當(dāng)NBAK=a時(shí),

AB=AE=AD,

180。—a

NAEB=

2

ZEAD=a-9O°,

4EoJ80~EW=180ya-9。。）

22

/FEB=Z.AED-/AEB=（135。一巳]一（90。一2]=45。，

I2）I2）

QBF1.DE,

...NBFE=900,

:.ZFBE=45°,

.??二區(qū)所是等腰直角三角形，

NDBC=NFBE=45。,

ZDBC—/DBF=ZFBE-ZDBF,

:.ZDBE=NCBF,

在RtZXBM中，

?rBE=y)BF2+EF1=0BF，

BE41

---=—，

BF1

同理，在Rt二BCD中，—,

BC1

BE_BDy/2

.而一茄一7’

二DBEyCBF,

.DE_BD_41

''CF~~BC~~

故結(jié)論成立；

②如圖，當(dāng)AM_L4V時(shí)，

vZAWV=ZBAD=90o,

/.AMAN-/MAD=/BAD-ZMAD,

/.4DAN=4BAM,

由①可知NF石3=45。，

?:DNIBE,

:"DEN=NEDN=450,

:.EN=DN,

同理可證NMAG=NMGB=NFGC=45。，MG=MB,

二DBE?二CBF，

:"DEB=/CFB=45。,

:.ZFGC=ZCFB=45°,

:.CF=CG,

?,?AD=AE=AB^

:.ZADE=ZAED,ZAEN=ZABM,

ZADE-/EDN=ZAED-/DEN，

;.ZAEN=ZADN,

:.ZABM=ZADN,

-ZDAN=ZBAM,AN=AM,

:二DANABAM，

:.AN=AM,

.?.二4MN是等腰直角三角形，

ZAMN=ZANM=45°,

:二AMN?、FBE,

:.ZANE=ZAMB,

?.-ZAEN=ZABM,AN=AMf

:.二AENRABM,

，EN=BM,

在Rt△41.中，

DE=。EN?+DN?=?EN，

由①可知DE=J5CF，

:.EN=CF,

：.CG=CF=EN=BM=MG

:.CM=CG+MG=2CF,

在RtZXBCM中，

BMZ+CM?=BC"

.-.CF2+（2CF）2=42,

.?.c3.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，與三角形有關(guān)的角的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)的

應(yīng)用，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用

2.（2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰

長的比叫做頂角的張率（Sc?！保?如圖1,在vxiz中，xy=xz,頂角x的張率記作

V7

ScopZX=底邊+腰=/.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的,

xy

所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義Na（00vNavl80。）的張率，例如,

Scop600=\,Scop90。=近,請根據(jù)材料，完成以下問題:

如圖2,〃是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,3重合），點(diǎn)C,。分別是線段的，族的

中點(diǎn)，以AC,CD,08為邊分別在A3的同側(cè)作等邊三角形△ACE,KDF,△OBG,

連接PE和PG.

（1）【理解應(yīng)用】①若等邊三角形AACE,LCDF，aOBG的邊長分別為〃，b,c,

則。，b,三者之間的關(guān)系為

②ScopZEPG=

（2）【猜想證明】如圖3,連接M，F(xiàn)G,猜想ScopZE尸G的值是多少，并說明理由:

（3）【拓展延伸】如圖4,連接EF,EG,若AB=12，EF=2幣,則的周長

是多少？此時(shí)AP的長為多少？（可直接寫出上述兩個(gè)結(jié)果）

【答案】（1）?b=a+cx②6

（2）ScopZEPG=V3,見解析

（3）周長為2歷+6百，"的值為4或8

【解析】

【分析】（1）①利用中點(diǎn)的定義，證明CD=AC+8D,可得結(jié)論；②證明NEPG=120。，

可得結(jié)論；

（2）猜想：ScopZEPG=yf3,如圖3中，連接尸E證明/廳G=2/5）=120°,可

得結(jié)論；

（3）證明EP+尸G=G（4+C）=4AB=66,可得EG+EP+PG=25/^T+6G，

如圖4中，過點(diǎn)/作m_LCE交CE的延長線于點(diǎn)”.求出"的值，再利用對稱性解決

問題即可.

【小問1詳解】

解：①二點(diǎn)C,。分別是線段A尸，8P的中點(diǎn)，

:.AC=CP,BD=PD,

QAC=a，BD=c?

/.CD=CP+PD=a+c,

即b=a+c,

②由題意得，EC=CP,NECP=120。，

NEPC=gx（180。-120°）=30°,

同理，NG。。=30。，

/.NEPG=180°-30°-30°=l20°,

Scop/EPG=Scop\20°=>/3.

故答案為：b=a+c,6；

【小問2詳解】

解：猜想：Scop4EPG=B

理由：如圖3中，連接PF.

圖3

?「點(diǎn)。是”的中點(diǎn)，/XACE,上CDF都是等邊三角形，

：.CP=CE,NECF=NPCF="。,

?；CF=CF,

.?qECFWPCF(SAS),

:.NEFC=NPFC,

同理可得，NGFD=NPFD,

NEFG=2NCFD=120°,

/.ScopNEPG=Scop\20°=*73；

【小問3詳解】

解：???AEC尸迫APC尸，

:.EF=PF,

同理可證：GF=PF,

:.EF=GF,

?.?/EFG=120。，EF=2幣,

EG=V3EF=2后，

.?點(diǎn)C,。分別是線段AP,3P的中點(diǎn)，等邊三角形AACE,.CDF,△Q8G的邊長

分別為。，b,c,

：.PC=AC=CE=a,PD=BD=DG=c,NECP=NPDG=120。,

:.EP=6PC=A，PG<PD=&,

:.EP+PG=4igc)=,AB=66

:.EG+EP+PG=25+66

如圖4中，過點(diǎn)尸作切_LCE交CE的延長線于點(diǎn)

,:CF=CD=b,AB=6,NEC/=60。，

2

FH=CFsin60。=3百，CH=CF-cos6（）°=3,

在RtAEFH中，HE=ylEF2-FH2=42可一（3國=1，

■CE=CH-HE=3-y=2,

.?."=2CE=4,

由對稱性可知，4尸=12—4=8,

綜上所述，AP的值為4或8.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的

判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題

3.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)）在正方形ABC。中，點(diǎn)E是對角線AC上

的一點(diǎn)，且AE=：AC（〃>2）,將線段4E繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至放，記旋轉(zhuǎn)角為

a（0<a<180°）,連接A尸、CF,并以CF為斜邊在其上方作AC/GSACAD,連接

DG.

(1)特例探究：如圖1,當(dāng)〃=3，a=180。時(shí)，線段AF與OG的數(shù)量關(guān)系為；

(2)問題探究：如圖2所示,在旋轉(zhuǎn)的過程中.

①(1)中的結(jié)論是否依然成立，若成立，請說明理由；

Q

②當(dāng)〃=§,NEfC=90。時(shí)，若=求OG的長度；

ADI

(3)拓展提升：若正方形A8CZ)改為矩形48CO,且一=一，其它條件不變，在旋轉(zhuǎn)

AD2

的過程中，當(dāng)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3所示，若〃=4,CG=m,直接寫出。G的

長度.(用含加的式子表示)

【答案】(1)AF=42DG

(2)①成立，見解析，②叵

5

(3)DG=—

5

【解析】

CF1

【分析】(1)根據(jù)題意可得點(diǎn)尸在AC上，一=一，再由f?C?GsaCAZ),可得點(diǎn)G在

AC3

CD,FG//AD,再結(jié)合正方形的性質(zhì)，可得AC=y/iCD,CF=?CG,即可；

(2)①證明M?G￡>SACE4,可得假=空=血，即可求解；②根據(jù)獸=|,

AB=4正，可得印=AE=3,EC=5,CF=4,過尸作"/_LAC于"，根據(jù)三角形的

12924i?/s

面積公式可得切=一，再由勾股定理可得一，AH=—t=然后由

5555

①得：AF=&DG,即可；

（3）過E作EHJ.AG于"，則=EH//CG,根據(jù)-C尸Gs-CAD,可得

從而得到FG=2m,設(shè)A"=H『=x,可得

FGADAD2AGAC4

x=m,AF=2m,然后證明ACGDSACEA,即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：當(dāng)〃=3,a=180。時(shí)，EF=AE=-AC,且點(diǎn)F在4c上，

3

?CF_1

??―9

AC3

VACFGSKAD,

?,.NCGF=ZADC,

，點(diǎn)G在C￡>,FG//AD,

在正方形ABC。中，NO=90。,乙48=45。，

???AACDQFCG都是等腰直角三角形，

???AC=應(yīng)CD,CF=42CG,

?**AF=AC-CF=V2CD-V2CG=近DG；

故答案為：AF=y/2DG

【小問2詳解】

解：①成立，理由如下：

JZACD=45°,

?：>CFGs4cAD,

???zLFCG=ZACD=45°,—=—

CDCA

36』鄉(xiāng),

CFCA

:一CGDSKFA,

.A尸一AC_5

DGCD

?*-AF=6DG;

8

②???〃=一,

3

.AE3

??---=—,

AC8

,?*AB=4夜，

AC—8>

AEF=AE=3,EC=5,

???/EFC=90。,

:,CF=4,

???SCFF=-EFxCF=-FHxCE,

,CM22

即k3x42a7x5,

22

??.FH=—

5t

9

：.EH=-

5t

???AH=—

5t

：?AF=y)AH2+FH2=必叵，

5

由①得：AF=4iDG，

,八心6國

??DG=-----;

5

【小問3詳解】

解：過E作_LAG于凡則EH//CG,

,A,D\

E

???四邊形A3CO是矩形，

??.AB=CD,AD=BC,

,/ACFGS"CAD,

.CGCD_AB_\_

??拓一而一~AD~2,

*.*CG=m,

??FG=2m?

「A、尸、G三點(diǎn)共線，

,AHAE\

AGAC4

設(shè)4//==

則0M=；'

2x+2m4

解得：x=m,

:.AF=2m?

,/.CFGs’CA。,

?/\nv\CGCF

??Z.FCG=ZACD,——=——，

CDCA

,CGCD

??ZACF=Z.DCG,——=——，

CFCA

；?《GDs.CFA,

.AFCD

??-------------，

DGAC

.?CD1

?-9

AD2

AD=2CD，

???AC=?CD，

DGAC

■M逐A口

??DG=——AF=-----.

55

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理

等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

4.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考二模）在平行四邊形A8CQ中，ZABC=60°,

Ag=4,點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，且跳：=1.

圖

1圖2

（1）若AB=BC?

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在3C上時(shí)，連接AE,作㈤產(chǎn)=60°交CO于點(diǎn)尸，連接AC、EF，

求證：△后1尸為等邊三角形；

②如圖2,連接AE,作NE4/=30。，作砂，”于點(diǎn)尸，連接C尸，當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC

上時(shí)，求Cr的長度；

（2）如圖3,連接AC,若N84C=90。，P為AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接莊,

以PE為邊作RtAEPF,且/日/二90。，ZPEF=60°,作NP￡產(chǎn)的角平分線EG,與

PF交于點(diǎn)G,連接QG,點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過程中，DG的最大值與最小值的差為.

【答案】（D①見解析；②2+@或2-且

2

(2)

3

【解析】

【分析】(1)①由A3=8C,得平行四邊形ABCO是菱形，推出-3C為等邊三角形,

得到NE4產(chǎn)=60°,再證明VA5E0VAC/得到即可得到結(jié)論；

②作AHLBC于H,則BH=CH=2,由sinZABH=—=—,

AB2

8s的臉考得到翳推出〃4喀2族,列得魯嚏考

由此求出尸“二蟲，再分當(dāng)尸落在〃左側(cè)時(shí)，CF=CH+HF=2+與當(dāng)尸落在“右

22

側(cè)時(shí)，CF=CH-HF=2-2;

2

(2)作PN1AB,且/PBN=30。,連接NG,DN,證明^BPN^EPG,得到

BPPNNGPNPNJi

k=再證明二8PES,M>G，得到h=|H?22Ltan30o=—，求出

PEPGBEPBPB=3

NG=B，利用兩點(diǎn)之間線段最短，得DG+NGNDN,NG+DNNDG,即

3

DN—NGWDGWNG+DN,由此得到當(dāng)。、N、G在一條直線上時(shí)，OG取最大值是

NG+DN,取最小值是DV—NG,計(jì)算可得兩者之差.

【小問1詳解】

①在平行四邊形45CO中，AB=BC,平行四邊形48co是菱形，

二.C4平分N8CO

?:BA=BC,ZB=60°

.工48c為等邊三角形

AB=AC,Zfi4c=60°

.-.Zl=Z2-60°-ZE4C

在菱形ABC。中，AB//CD

則/BCD=120。

/.ZACF=60°

ZACF=NB

AB=AC>N1=N2

/.AABE/AAC尸(ASA)

,\AE=AF

?.?ZE4F=60°

??14即為等邊二角形.

②作于“，則3”=8=2

RlZXAB”中，sinZABH=—=—,/3A//=30°

AB2

在RJAEF,cosZE4F=—

AE

AHAF

—=—>ZBAE=ZHAF

ABAE

:,/\ABE<^/\AHF

FHAHy/3

■:BE=\,

:.FH=—

2

???當(dāng)尸落在"左側(cè)時(shí),CF=CH+HF=2+

2

當(dāng)尸落在“右側(cè)時(shí)，CF=CH—HF=2—

BFH

綜上，C尸的長度是2+且或2-3;

22

【小問2詳解】

如圖，作且NPBN=30。，連接NG,DN,

在！尸EF中，ZEPF=90°,ZPEF=60°,EG平分/PEF，

???ZPEG=30°=ZPBN,

又丁4BPN=4EPG,

BPNsaEPG,

.BPPN

PEPG

又???/BPN=ZEPG=90°,

/.BPES.NPG

NGPN

BEPB

=tan30°=

.NGV3

?9'???

BE3

???NG=—，

3

由兩點(diǎn)之間線段最短，得DG+NGNDN,NG+DNNDG,

：.DN-NG<DG<NG+DN,

當(dāng)。、N、G在一條直線上時(shí)，QG取最大值是NG+QN,取最小值是ON—NG,

:,兩者之差為NG+DN-（DN-NG）=2NG=苧

故答案為：2叵

3

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確理解各判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

5.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考一模）如圖1,已知點(diǎn)G在正方形A3CQ的對角線AC

②求證：四邊形CEG/是正方形;

4G

②推斷：中的值為___________

BE

（2）探究與證明：

將正方形的CEG廣繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。（。。<a<45。），如圖2所示，試探究線段4G

與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:

（3）拓展與運(yùn)用:

正方形CEG尸在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)從瓜尸三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示，延長CG交AD

于點(diǎn)H,若AG=4,GH=0，則8C=

【答案】（1）①見解析；②J5：

（2）AG=y/2BE：見解析;

⑶2M.

【解析】

【分析】(1)①由GE_L8C、Gb_L8結(jié)合N8CD=90?？傻盟倪呅蜟EG尸是矩形，再

由NECG=45。即可得出；②由正方形性質(zhì)知：NCEG=NB=90°、ZECG=45°,據(jù)此

可得J=應(yīng)、GE//AB,利用平行線分線段成比例定理可