人教版七年級數(shù)學上冊 2. 2 有理數(shù)的乘法與除法（第二章 有理數(shù)的運算 自學、復習、上課課件）

2.2有理數(shù)的乘法與除法第二章有理數(shù)的運算2.2.1有理數(shù)的乘法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2有理數(shù)的乘法法則倒數(shù)乘法運算律多個有理數(shù)相乘知識點有理數(shù)的乘法法則知1－講11.有理數(shù)的乘法法則(1)

兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，且積的絕對值等于乘數(shù)的絕對值的積.(2)任何數(shù)與0相乘，都得0.知1－講2.有理數(shù)乘法的符號法則a與b

乘積的符號a

與b

的符號正同號，即a>0，b>0或a<0，b<0負同號，即a>0，b>0或a<0，b<00至少一個為0，即a=0或b=0知1－講特別解讀1.“同號得正，異號得負”是確定積的符號，不能與加法中確定和的符號相混淆.2.有理數(shù)乘法的運算步驟：(1)確定積的符號；(2)確定積的絕對值.3.兩個有理數(shù)相乘的積還是有理數(shù).知1－練例1

解題秘方：兩個數(shù)相乘，根據(jù)乘法法則，先確定積的符號，再把絕對值相乘即可.知1－練

任何數(shù)與－1相乘都等于它的相反數(shù)知1－練1-1.[期中·威海環(huán)翠區(qū)]在2，－4，－3，5中，任選兩個數(shù)相乘，積最小的是(

)A.(－4)×(－3)B.(－3)×5C.(－4)×5D.2×(－4)C知1－練

知1－練根據(jù)下列條件，判斷a，b

的正負性：(1)a＋b

＜0，ab

＞0；(2)a－b

＜0，ab＜0.例2解題秘方：先根據(jù)兩個數(shù)積的符號判斷出兩個數(shù)是同號還是異號，再根據(jù)兩個數(shù)和(差)的符號判斷兩個數(shù)的正負性.知1－練解：(1)因為ab>0，所以a，b

同號.又因為a＋b<0，所以a，b

同為負.(2)因為ab<0，所以a，b異號.又因為a－b<0，所以a<b.所以a

為負，b為正.知1－練方法點撥：

當逆用法則時，注意結(jié)果的多樣性，從和或積的符號分析加數(shù)或乘數(shù)的符號情況不止一種，但兩者結(jié)合起來分析結(jié)果更準確.知1－練2-1.[期中·新鄉(xiāng)衛(wèi)輝市]已知有理數(shù)x，y

滿足x＋y<0，xy<0，x<y，則有()A.x<0，y>0，x

的絕對值較大B.x>0，y<0，y

的絕對值較大C.x>0，y<0，x

的絕對值較大D.x<0，y>0，y

的絕對值較大A知2－講知識點倒數(shù)21.定義乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).特別解讀1.“乘積是1”是判斷兩個數(shù)互為倒數(shù)的關鍵.2.“互為”表示倒數(shù)是兩個數(shù)之間的一種關系，單獨一個數(shù)不能稱其為倒數(shù).3.取倒數(shù)不改變原數(shù)的正負性.4.0無倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1.知2－講2.倒數(shù)與相反數(shù)之間的關系不同點相同點定義表示性質(zhì)判定倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)若a

，b

互為倒數(shù)，則a·b=1若a·b=1，則a，b

互為倒數(shù)都成對出現(xiàn)相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù)a

的相反數(shù)是－a若a，b

互為相反數(shù)，則a＋b=0若a＋b=0，則a，b

互為相反數(shù)知2－練

例3解題秘方：利用倒數(shù)的定義確定各數(shù)的倒數(shù).知2－練

知2－練方法點撥：求一個數(shù)的倒數(shù)的方法類型倒數(shù)非零整數(shù)a小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)，按求分數(shù)倒數(shù)的方法進行帶分數(shù)轉(zhuǎn)化為假分數(shù)，按求分數(shù)倒數(shù)的方法進行知2－練

D知2－練3-2.下列說法錯誤的是()A.任何有理數(shù)都有倒數(shù)B.互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積為1C.互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號相同D.倒數(shù)等于本身的數(shù)是±1A知3－講知識點乘法運算律3運算律文字表示用字母表示乘法交換律兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變ab=ba乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變(ab)c=a(bc)分配律一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加a(b＋c)=ab＋ac知3－講特別提醒1.交換乘數(shù)位置時，要連同乘數(shù)性質(zhì)符號一起交換.2.乘法交換律和結(jié)合律可以推廣到多個數(shù)相乘.3.分配律也可以推廣到：a(b＋c＋…＋m)=ab

＋ac

＋…

＋am

，應用時不要漏乘括號內(nèi)的任何加數(shù)和弄錯符號，并且可以逆用以簡化運算.知3－練

例4解題秘方：運用乘法交換律和結(jié)合律，分別將互為倒數(shù)和可約分的乘數(shù)相結(jié)合，以簡化運算.

知3－練

知3－練

解題秘方：運用乘法交換律和結(jié)合律，將乘積為整數(shù)的乘數(shù)相結(jié)合，以簡化運算.

例5知3－練

知3－練

例6解題秘方：形如k(a＋b＋c)的算式，若a，b，c

是分數(shù)，k

可以和a，b，c

的分母約分得到整數(shù)時，用分配律計算可以簡化運算.知3－練

警示誤區(qū)：用分配律展開算式，相乘時括號內(nèi)的每個數(shù)都要帶上它前面的符號，且不要漏乘括號內(nèi)的任何一項.知3－練

知4－講知識點多個有理數(shù)相乘41.幾個不為0的數(shù)相乘的法則積的符號由負的乘數(shù)的個數(shù)決定：當負的乘數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；當負的乘數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù).確定積的符號后，再把這幾個有理數(shù)的絕對值相乘.???????????????????知4－講2.有乘數(shù)為0的幾個數(shù)相乘的法則幾個數(shù)相乘，如果其中有乘數(shù)為0，那么積為0.同樣，若積為0，則至少有一個乘數(shù)為0.????????知4－講特別解讀知4－練

解題秘方：利用多個有理數(shù)相乘的法則，先確定積的符號，再計算絕對值的乘積.例7知4－練解：(1)(－5)×(－4)×(－2)×(－2)=5×4×2×2=80；知4－練

當遇到帶分數(shù)時，要化為假分數(shù)，以便于約分.分數(shù)與小數(shù)相乘時，一般統(tǒng)一成分數(shù)計算知4－練

知4－練

解：原式＝－2×15×18＝－540；知4－練

原式＝0.有理數(shù)的乘法兩個有理數(shù)相乘法則乘法運算律多個有理數(shù)相乘符號絕對值互為倒數(shù)積為1方法正向運用運算律計算1

例8思路引導：

特別提醒運用乘法運算律時的兩點注意：1.乘法運算中經(jīng)常把兩個互為倒數(shù)或積為整十、整百的數(shù)先結(jié)合在一起.2.運用乘法交換律和結(jié)合律的目的是把容易計算的幾個乘數(shù)先進行計算；運用乘法分配律可以打破“先算括號里面”的計算習慣，大大簡化乘法與加法的運算.方法逆向運用運算律計算2

例9

解題通法求幾個含有相同乘數(shù)的乘式的和時，通常逆用分配律，變化為相同的乘數(shù)乘另外幾個不同乘數(shù)和的形式，以簡化運算.方法拆項運用運算律計算3

例10思路引導:將其中一個乘數(shù)拆分成兩個數(shù)的和或差，以便運用分配律進行計算.

方法點撥拆項原則：1.接近于整十、整百的帶分數(shù)拆成整十、整百數(shù)與真分數(shù)的和或差.2.將整數(shù)拆成分數(shù)中分母的因數(shù)或倍數(shù)與另一個數(shù)和或差的形式.方法裂項運用運算律計算4

例11思路引導：通過裂項，將分母是兩個數(shù)相乘的分數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個分數(shù)的差，然后運用運算律計算.

易錯點運用分配律計算時，易出現(xiàn)漏乘或符號錯誤

例12

診誤區(qū)運用分配律計算時，括號里的每一項都要與括號外的數(shù)相乘，并且要注意不要丟掉“－”號.本題易漏乘最后一項－1或忽略“－”號導致出錯.考法求一個數(shù)的倒數(shù)1

例13考法運用有理數(shù)乘法法則計算2

例14考法有理數(shù)乘法與數(shù)軸的綜合3

[中考·杭州]已知數(shù)軸上的點A，B分別表示數(shù)a，b，其中－1﹤a﹤0，0﹤b﹤1.若a×b＝c，數(shù)c在數(shù)軸上用點C表示，則點A，B，C在數(shù)軸上的位置可能是圖2.2－1中的(

)圖2.2－1例15試題評析：本題綜合性較強，根據(jù)兩個乘數(shù)判斷積的符號的同時，還要估算積的絕對值的大小，對學生的運算能力要求較高.解：因為－1﹤a﹤0，0﹤b﹤1，所以－1﹤a×b﹤0，即－1﹤c﹤0.所以點C應在－1和0之間，則A，C，D不符合題意，B符合題意.答案：B

D

A3.如圖，數(shù)軸上有①②③④四個部分，已知c﹥0，abc﹤0，則原點所在的部分是(

)

A.① B.② C.③ D.④B4.有四個各不相等的整數(shù)a，b，c，d，且abcd＝9，則這四個數(shù)的和是(

)A.0 B.4 C.3 D.9A5.新視角新定義型題中考·宜賓如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)(含1，不含它本身)的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù).例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且6＝1＋2＋3，則稱6為完美數(shù)，下列數(shù)中為完美數(shù)的是(

)A.8 B.18 C.28 D.32C6.若m，n互為倒數(shù)，則|mn－3|＝_______.7.絕對值小于3的所有整數(shù)的積是_______.20

原式＝2×3×4×1＝24；

原式＝0.

10.小明同學在自學了簡單的電腦編程后，設計了如圖所示的程序.

(1)若輸入的數(shù)是－4，則執(zhí)行了程序后，輸出的數(shù)是多少？(2)若輸入的數(shù)是2，則執(zhí)行了程序后，輸出的數(shù)是多少？解：(1)輸入－4，得(－4－8)×9＝－12×9＝－108.|－108|＞100.故輸出的數(shù)是－108.(2)輸入2，得(2－8)×9＝－6×9＝－54.因為|－54|＜100，所以再把－54代入程序，得(－54－8)×9＝－62×9＝－558.|－558|＞100.故輸出的數(shù)是－558.

(2)7☆(－7)與－7☆7的值相等嗎？請說明理由.

2.2有理數(shù)的乘法與除法第二章有理數(shù)的運算2.2.2有理數(shù)的除法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2有理數(shù)的除法法則分數(shù)的化簡有理數(shù)的乘除混合運算有理數(shù)的加減乘除混合運算知識點有理數(shù)的除法法則知1－講1

?????知1－講2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.????????知1－講特別提醒1.除法法則一——兩變：一變，將除號變乘號；二變，將除數(shù)變成它的倒數(shù).2.除法法則二——應用步驟：一定符號；二計算絕對值.

▲▲知1－練例1

解題秘方：靈活選擇有理數(shù)除法的兩個法則進行計算.知1－練

互為相反數(shù)的兩數(shù)(0除外)相除，商為－1，反之亦成立相同兩數(shù)(0除外)相除商為1，反之亦成立知1－練方法點撥：除法法則的選用原則知1－練

CD知1－練1－3.[期末·臨沂河東區(qū)]在－1，2，－3，0，5這五個數(shù)中，任取兩個相除，其中商最小是______

.－5知2－講知識點分數(shù)的化簡21.實質(zhì)分數(shù)的化簡，即利用有理數(shù)除法法則，用分數(shù)的分子除以分母的運算過程.?????????????知2－講2.分數(shù)的符號法則分數(shù)的分子、分母及分數(shù)本身的符號，改變其中任意兩個，分數(shù)的值不變.知2－講3.分數(shù)化簡的結(jié)果為最簡分數(shù)或整數(shù).

知2－練

例2解題秘方：用分數(shù)的分子除以分母，最終結(jié)果寫成最簡分數(shù)或整數(shù)的形式.知2－練

知2－練

解：原式＝－9；原式＝－30.知3－講知識點有理數(shù)的乘除混合運算31.有理數(shù)的乘除混合運算順序按照從左到右的順序計算，有括號的先計算括號里面的.2.有理數(shù)的乘除混合運算法則有理數(shù)的乘除混合運算往往先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照多個有理數(shù)相乘的法則計算.???????????????????????知3－講

帶分數(shù)化為假分數(shù)

除法轉(zhuǎn)化為乘法確定積的符號知3－講活學巧記乘除混合有理數(shù)，統(tǒng)一為乘第一步，乘法“三律”能簡單，負乘個數(shù)定正負.知3－練

例3解題秘方：先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，帶分數(shù)化成假分數(shù)，根據(jù)負的乘數(shù)的個數(shù)確定積的符號，再計算.知3－練

知3－練

知3－練

知3－練

B知3－練

知3－練

知4－講知識點有理數(shù)的加減乘除混合運算41.有理數(shù)的加減乘除混合運算順序在運算時要注意按照“先乘除，后加減”的順序進行，如果有括號，應先算括號里面的.在同級運算中，要按從左到右的順序來計算，并合理運用運算律，簡化運算.知4－講2.計算器的使用不同品牌計算器的操作方法可能有所不同，具體操作方法應參考計算器的使用說明.另外，還要注意以下幾點：(1)計算器要平穩(wěn)放置，以免按鍵時發(fā)生晃動和滑動.(2)計算開始時，要先按開啟鍵ON；停止使用時，要注意按關閉鍵OFF.(3)每次運算時，要按一下清除鍵AC.(4)注意負數(shù)的輸入方式.知4－講特別提醒1.進行有理數(shù)加減乘除混合運算時，要把加減運算統(tǒng)一成加法運算，乘除運算統(tǒng)一成乘法運算.2.能運用運算律的要運用運算律，運用運算律時注意只有加法和乘法有運算律，而減法和除法沒有，必須先統(tǒng)一運算再運用運算律.知4－練

例4解題秘方：先算乘除，后算加減，有括號的先算括號里的.知4－練

知4－練

知4－練4-1.某同學按計算器上的鍵：

，其算式是____________，結(jié)果是____________.50.6知4－練

解：原式＝5×(－3)＋3＝－15＋3＝－12；知4－練

解：原式＝－3－(－1－0.5)×2＝－3－(－1.5)×2＝－3＋3＝0；有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法倒數(shù)法法則法用計算器計算四則混合運算化簡分數(shù)題型有理數(shù)加減乘除的實際應用題1根據(jù)實驗測定，高度每增加1km，氣溫大約降低6℃.某登山運動員在攀登某山峰的途中發(fā)回信息，報告他所在高度的氣溫為－15℃，如果當時地面的溫度為3℃，那么登山運動員所在的位置離地面的高度是多少？例5解題秘方：根據(jù)高度與氣溫變化的關系，可求得登山運動員所在的位置離地面的高度.解：(－15－3)÷(－6)×1＝(－18)÷(－6)×1＝3(km).答：登山運動員所在的位置離地面的高度是3km.方法點撥將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題時，往往需要利用建模思想.在本題已提供計算公式的前提下，注意公式的應用前提和條件，然后正確計算即可.題型與絕對值綜合題2

例6思路引導：

方法點撥因為本題中a，b，c中兩負一正，所以誰是正數(shù)有三種情況，但是由于要計算的式子是對稱的，所以不論誰是正數(shù)，結(jié)果都是相同的，因此采取“不妨設”的方法，避免了分類討論的麻煩.題型新定義運算題3

例7思路引導：

方法點撥觀察新運算法則，找出新運算的規(guī)律，把新運算轉(zhuǎn)換成幾種已學習過的基本運算，同時要注意運算順序.題型利用計算器探究規(guī)律題4(1)用計算器計算：42÷6＝______，4422÷66＝______，444222÷666＝______.(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和存在的規(guī)律猜測：例8解題秘方：針對計算結(jié)果，觀察被除數(shù)、除數(shù)和商中數(shù)字的變化規(guī)律，然后應用于(2)中解決問題.解：用計算器計算可得42÷6＝7，4422÷66＝67，444222÷666＝667，發(fā)現(xiàn)商中前面6的個數(shù)比除數(shù)中6的個數(shù)少1，個位數(shù)是7，所以答案：(1)7；67；667(2)方法點撥利用計算器探索規(guī)律，先從特殊情況入手，再從特殊的結(jié)果中找出規(guī)律，猜想出一般情況的結(jié)果.易錯點誤用運算律而出錯例9診誤區(qū)除法沒有分配律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法才能運用分配律進行簡便運算.有些除法直接計算較麻煩，若將被除數(shù)和除數(shù)交換位置(其結(jié)果與正確結(jié)果互為倒數(shù))，即可轉(zhuǎn)化為常見的除法模型.考法有理數(shù)的除法1

例10試題評析：本題考查了有理數(shù)的除法，正確掌握有理數(shù)的除法法則是解題關鍵.解：根據(jù)有理數(shù)的除法法則，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，可知(－21)÷7＝－(21÷7)＝－3.答案：B考法有理數(shù)加減乘除混合運算2新視角結(jié)論開放題中考·煙臺小明和同學們玩撲克牌游戲.游戲規(guī)則是：從一副撲克牌(去掉“大王”“小王”)中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算(每張牌上的數(shù)字只能用一次)，使得運算結(jié)果等于24.小明抽到的牌如圖2.2－2所示，請幫小明列出一個結(jié)果等于24的算式______.例11試題評析：本題以開放性試題考查有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是正確掌握運算法則和運算順序，并能準確計算.解：由題意，得5×6－2×3＝30－6＝24.答案：5×6－2×3(答案不唯一)考法利用數(shù)軸的信息辨析加減乘除結(jié)