江蘇省無(wú)錫市南菁高級(jí)中學(xué)、江南大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期暑期自主學(xué)習(xí)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

高三自主學(xué)習(xí)檢測(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解分式不等式求出集合A，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求得虛部.【詳解】因?yàn)?所以的虛部為.故選：D.3.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|=9，則|PF2|等于（）A.1 B.17 C.1或17 D.8【答案】B【解析】【分析】先求出P點(diǎn)的位置，再根據(jù)雙曲線的定義求解.【詳解】對(duì)于，，所以P點(diǎn)在雙曲線的左支，則有；故選：B.4.已知=(2,3)，=(3，t)，|BC|=1，則AB?A.-3 B.-2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由BC=AC-AB=(1,t-3)，BC=【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，難度不大．5.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐軸截面的面積（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，弧長(zhǎng)為的扇形，分別由，，求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則，解得，又，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是，故選：B6.已知，，則（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，由正切的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗杂傻茫虼?，由二倍角公式可得，故選：B7.某學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，采取積分制，有7次投籃機(jī)會(huì)，投中一次得1分，不中得0分，若連續(xù)投中兩次則額外加1分，連續(xù)投中三次額外加2分，以此類(lèi)推，連續(xù)投中七次額外加6分，假設(shè)該學(xué)生每次投中的概率是，且每次投中之間相互獨(dú)立，則該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分為連中4次，額外加3分，剩余3次不中、連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒(méi)投中，且兩次投中不連續(xù)和有兩次連中兩回，三類(lèi)情況，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分，可分為三類(lèi)情況：①若連中4次，額外加3分，剩余3次不中，滿足要求，此時(shí)將連中4次看作一個(gè)整體，與其他三次不中排序，共有種選擇，故概率為，②若連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒(méi)投中，且兩次投中不連續(xù)，故兩次不中之間可能為一次中，也可能是三次中，有以下情況：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，則概率為，③若有兩次連中兩回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，滿足要求，則概率為，綜上，該生在比賽中恰好得7分的概率為.故選：B.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得；令，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得.【詳解】令，，則f'(x則在上單調(diào)遞減，所以，可知對(duì)任意恒成立，可得，即；對(duì)于，，由，.令，，則，則在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.綜上所述：.故選：C.二．多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A.過(guò)點(diǎn)與圓M相切的直線方程為B.圓M與圓相交C.過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與圓M相切D.圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為3【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、圓的切線方程、圓與圓的位置關(guān)系、圓上的點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，點(diǎn)在圓M上，圓心M到直線距離為1，即過(guò)點(diǎn)與圓M相切的直線方程為，A正確；對(duì)于B，圓的圓心，半徑，則有，即圓M與圓N外離，B不正確.對(duì)于C，點(diǎn)在圓M外，則過(guò)點(diǎn)可以作兩條直線與圓M相切，C正確；對(duì)于D，圓心到直線的距離，則圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，D正確；故選：ACD10.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C.若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，直接由周期公式即可判斷；對(duì)于B，直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于C，畫(huà)出圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可判斷；對(duì)于D，求得后結(jié)合輔助角公式即可得解.【詳解】由題意可得，故A正確；，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故B錯(cuò)誤；令，由得，根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為直線與曲線，有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得，故C正確；設(shè)f'x為則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：ACD．11.已知，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B.的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C.軸為曲線的切線 D.若則【答案】BCD【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的大致圖像判斷ABC，利用對(duì)稱(chēng)性判斷D即可.【詳解】由題意，令，得到．分別畫(huà)出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為．所以為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，為減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為0，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值為0，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確．因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為0，所以軸為曲線的切線，故C正確；因?yàn)?，所以若則，D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以.故答案為：.13.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的焦點(diǎn)，若，則的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出直線AF方程，再求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，因點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，由拋物線對(duì)稱(chēng)性，不妨令點(diǎn)A在第一象限，則直線AF傾斜角為，如圖，

直線AF方程為：，由消去x得：，解得，，于是得點(diǎn)A縱坐標(biāo)為，從而有，所以的面積為.故答案為：14.已知函數(shù)，則的零點(diǎn)為_(kāi)__________，若，且，則的取值范圍是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)以及零點(diǎn)的定義，令即可解得函數(shù)的零點(diǎn)；由可知在1的左右兩側(cè)，分別代入計(jì)算得出的關(guān)系式，將消元之后構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.【詳解】令，即，解得不合題意，舍去；或，解得，符合題意；所以，函數(shù)的零點(diǎn)為.由，且可知，當(dāng)時(shí)，,不合題意；當(dāng)時(shí)，，不合題意；所以，分別屬于兩個(gè)區(qū)間，不妨取，則，即；所以，則，令，所以令，得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增；所以函數(shù)在時(shí)取最小值，即，即所以的取值范圍是.故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題在求解的取值范圍時(shí)首先應(yīng)確定兩個(gè)變量的取值范圍，根據(jù)等量關(guān)系將雙變量問(wèn)題消元，轉(zhuǎn)換成單變量問(wèn)題后構(gòu)造函數(shù)，利用自變量取值范圍即可求得結(jié)果.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步來(lái)．15.在中，角所對(duì)的邊分別為，．（1）求角；（2）若的面積為，且，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)題干條件，從而得解；（2）利用三角形面積公式與余弦定理分別得到與的值，從而求得，由此得解.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，即，即，，，【小問(wèn)2詳解】，又，所以，即（負(fù)值舍去），又，所以的周長(zhǎng)為.16.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，，．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an（3）若，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明即可；（2）應(yīng)用前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式關(guān)系計(jì)算即可；（3）先求等差數(shù)列的和，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以是首?xiàng)為公比為的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?所以，17.如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；是上靠近的三等分點(diǎn)【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點(diǎn)的位置；【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即，取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，，又，由已知可得解得或（舍去），所以，存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)是上靠近的三等分點(diǎn)．18.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓C：的右焦點(diǎn)，過(guò)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)A為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)為．（1）求C的方程；（2）若線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P，Q，M為線段AB的中點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到且，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解.（2）解法一：設(shè)直線，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到，得出的垂直平分線的方程，求得，化簡(jiǎn)，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；解法二：設(shè)，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，可得，又因?yàn)闉槎梯S頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)，又由，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】解法一：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，則，于是線段AB的垂直平分線的方程為，令，可得，由，令，則，因?yàn)?，所以，可得，因此．解法二：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，則，，則，可得線段AB垂直平分線的方程為，令，得，由．令，則，因?yàn)椋傻?，可得，因此．【點(diǎn)睛】方法技巧：圓錐曲線中的最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，常涉及不等式、函數(shù)的值域問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，解法靈活多樣，但主要有兩種方法：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）平面向量；（6）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.19.已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，再令，根據(jù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）將題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)椋?，令，易得在上為減函數(shù)