江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2025屆高三7月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校2024年7月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷設(shè)卷I?II卷兩部分，試卷所有答題都必須寫在答題卷上.2.答題卷與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位.3.考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分為150分.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：（本大題共有8小題，每小題5分，共40分.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的交集運(yùn)算求解．【詳解】，則，故選：C2.已知命題，命題，則（）A.命題和命題都是真命題B.命題的否定和命題都是真命題C.命題的否定和命題都是真命題D.命題的否定和命題的否定都是真命題【答案】D【解析】【分析】依次判斷兩個(gè)命題的真假，即可求解.【詳解】對(duì)于命題，當(dāng)或時(shí)，，故命題是假命題，命題的否定為真命題；對(duì)于命題，因?yàn)?，所以命題為假命題，命題的否定為真命題；綜上可得：命題的否定和命題的否定都是真命題，故選：D3.在等比數(shù)列中，，數(shù)列的前10項(xiàng)的積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知求出等比數(shù)列的公比，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到答案.【詳解】因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，所以，即，所以，故選：B4.已知?jiǎng)t不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷在上的單調(diào)性，將不等式等價(jià)于，由一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且時(shí)函數(shù)連續(xù)，則在上單調(diào)遞減，不等式，可化為，即，解得：，則原不等式的解集為：，故選：A5.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)及半徑的值，再由直線的方程可得直線恒過定點(diǎn)，代入弦長(zhǎng)公式可得當(dāng)最小時(shí)弦長(zhǎng)最大，當(dāng)最大時(shí)弦長(zhǎng)最小，求出的最大最小值，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)的最小最大值.【詳解】圓可得圓心，半徑，因?yàn)橹本€，恒過直線和的交點(diǎn)，即，解得：，，即直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最大，這時(shí)過的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑，當(dāng)最大時(shí)，這時(shí)，所以弦長(zhǎng)的最小值為，所以弦長(zhǎng)的范圍為，故選：B.6.若對(duì)任意恒成立，，則（）A.189 B.190 C.464 D.465【答案】D【解析】【分析】由遞推公式依次求解即可．【詳解】依題意，，，，，，，，，，故答案為：D7.已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把化簡(jiǎn)為為，然后利用基本不等式即可求出最小值【詳解】因?yàn)?，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：C8.函數(shù)，若關(guān)于的不等式有且僅有四個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，求得的單調(diào)區(qū)間，作出的圖象，分類討論求得的解集，結(jié)合圖象可得的取值范圍.【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得，令，解得或，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，作出圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，由，可得，由圖象可知，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由無解，不存在整數(shù)點(diǎn)滿足條件，當(dāng)時(shí)，由，可得，又，，，，由的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為和，所以，所以要使有四個(gè)整數(shù)解，整數(shù)解只能是2，3，4，5，則，即所以關(guān)于的不等式有且僅有四個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是故選：D二?多選題：（本題共有3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合已知，逐一分析四個(gè)答案中的不等式是否一定成立，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，，時(shí)，則，故A不一定成立；對(duì)于B，因?yàn)?，則，所以，則B一定成立，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則，所以，則C一定成立，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，由，則，即，所以D正確；故選：BCD10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)任意的都有，則下列正確的是（）A.偶函數(shù) B.C.2是的一個(gè)周期 D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，結(jié)合條件，化簡(jiǎn)變形，再利用賦值法，可判斷A,B，判斷函數(shù)的周期性，結(jié)合條件，可判斷CD.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，即，所以為偶函數(shù)，故A正確；因?yàn)?，令，可得，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故B不正確；由，令，可得：，,2是不是的一個(gè)周期，C錯(cuò)誤；因，，所以，所以，則，即是以4為周期的周期函數(shù)；所以，故D正確；故選：AD11.曲線的方程為：，該曲線是由四條封閉曲線組成，點(diǎn)為曲線上的一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.直線及直線都是曲線的對(duì)稱軸B.點(diǎn)在封閉曲線內(nèi)部C.點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為1D.點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為【答案】AC【解析】【分析】利用方程的特征可判斷對(duì)稱性，利用均值不等式可確定曲線在圓內(nèi)，利用取等號(hào)條件可找到優(yōu)解，利用特殊點(diǎn)在曲線內(nèi)去判斷D是不正確的.【詳解】對(duì)于A，把用，用替換，曲線的方程沒變，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱；再把用，用替換，曲線的方程仍然沒變，故曲線又關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即這四個(gè)點(diǎn)在曲線上.說明曲線上其它點(diǎn)都在圓的內(nèi)部，即點(diǎn)一定不在曲線上或其內(nèi)部.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于這四個(gè)點(diǎn)在曲線上，且到原點(diǎn)的距離是，所以曲線上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為1，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有，說明點(diǎn)在曲線的內(nèi)部，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值一定大于，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是要明確曲線的性質(zhì)，并結(jié)合不等式或特殊點(diǎn)的坐標(biāo)判斷選項(xiàng)，有時(shí)最好利用數(shù)形結(jié)合方法解答.三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，體積為，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】作出圓臺(tái)的軸截面，由圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為1，2，利用圓臺(tái)體積公式可求出圓臺(tái)的高，再利用勾股定理即可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng).【詳解】如圖是圓臺(tái)的軸截面，圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為1，2，設(shè)圓臺(tái)的高為，母線長(zhǎng)為，則圓臺(tái)的高，因?yàn)閳A臺(tái)的體積為，即，解得，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng).故答案為;13.已知，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】求出的最大值，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到的最大值【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，，即，即，則的最大值為，故答案為：14.設(shè)數(shù)列滿足，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】由題意可得：，化簡(jiǎn)整理得：，令，可得，由此可知是等比數(shù)列，從而求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，所以，設(shè)，則，且，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故答案為：四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（1）分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的最大值即可得到答案.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，解得：，令，解得：所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，則小問2詳解】不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，解得：，令，解得：所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，則，所以，所以不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為16.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的表達(dá)式，并求出的最小值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案；（2）由，可得拋物線開口向上，分類討論，確定對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，滿足條件；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，要使在上單調(diào)遞增，則，解得：，綜上，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)，即，，綜上，，所以當(dāng)時(shí)，17.已知四棱錐分別為的中點(diǎn)，平面.（1）若，證明：平面；（2）若，二面角的大小為，求.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可得，且，即可得到，再由線面平行的判定定理，即可證明；（2）方法一：作交，連接，由二面角的定義可得是二面角的平面角，再由勾股定理代入計(jì)算，即可求解；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式代入計(jì)算，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，又，且，，平面所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，與共面，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?【小問2詳解】法1：如圖，作交于，連接.由得與全等，所以，所以與全等，所以，且，是二面角的平面角，，又因?yàn)?，所以，所以，在中，，由，解得，所以，所?法2：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)，則，所以，，，設(shè)面的法向量為，由，令，可得，設(shè)面的法向量為，由，令，可得.設(shè)二面角的大小為，則，所以，.18.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值；（3）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，若是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）.（2）.（3）或.【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得的值，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)，則當(dāng)且僅當(dāng)為的延長(zhǎng)線與橢圓相交時(shí)取等號(hào)，即可求的周長(zhǎng)最大值；（3）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，，從而可表示出，由是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，可求出的值，表示出四邊形面積，求出當(dāng)四邊形面積最大時(shí)的值，即可求解直線的方程．【小問1詳解】由題意得，，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】依題意，,如圖①所示，所以,且.因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)為的延長(zhǎng)線與橢圓相交時(shí)取等號(hào)，所以的周長(zhǎng)最大值為.【小問3詳解】設(shè)，如圖②所示，由得，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c無關(guān)，所以，即，，此時(shí)，，所以，，由題意可知，四邊形為平行四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以，所以，因?yàn)?，所以，四邊形面積最大，故直線的方程為或.圖①圖②【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求四邊形的面積最大值，解題的關(guān)鍵在于聯(lián)立直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理得，，并計(jì)算，以及點(diǎn)到直線的距離，由是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，求出的值，然后表示四邊形的面積，計(jì)算量較大.19.已知數(shù)列，記集合.（1）對(duì)于數(shù)列，寫出集合；（2）若，是否存在，使得?若存在，求出一組符合條件的，若不存在，說明理由；（3）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值.【答案】（1）（2）不存在，理由見解析（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意給出集合新定義，即可得出答案；(2)使用假設(shè)法，假設(shè)存在，使得，進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn)，從而得出結(jié)論；(3)由，根據(jù)題意給出的集合新定義可對(duì)進(jìn)行計(jì)算分析，討論元素的奇偶情況，即可得出答案．小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列，所以，，，所以【小問2詳解】假設(shè)存在，使得，則有，由于與奇偶性相同，所以與奇偶性不同，又因?yàn)?，，所以中必有大于等?的奇數(shù)因子這與無1以外的奇數(shù)因子矛盾，故不存在，使得；【小問3詳解】由題意得，當(dāng)，時(shí)，，除，外，，，其中與一奇一偶，則能拆成