一元一次不等式與一元一次不等式組壓軸題五種模型全攻略（解析版） 七年級數(shù)學(xué)下冊

專題07一元一次不等式與一元一次不等式組壓軸題五種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一解需要去分母一元一次不等式(組)】 1【考點二解一元一次不等式組中錯解復(fù)原問題】 3【考點三解|x|≥a型的不等式】 7【考點四二元一次方程組與一元一次不等式的結(jié)合應(yīng)用】 10【考點五二元一次方程組與一元一次不等式組的結(jié)合應(yīng)用】 13【過關(guān)檢測】 17【典型例題】【考點一解需要去分母一元一次不等式(組)】例題：（2023上·浙江杭州·八年級期中）解一元一次不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．(1)；(2)【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】（1）先去分母，再去括號，移項，然后合并同類項，并畫出數(shù)軸，即可作答；（2）由①易得，，由②去分母，得，故不等式組得解集為：，并畫出數(shù)軸，即可作答．【詳解】（1）解：去分母得，，去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數(shù)化為1得，，在數(shù)軸上表示為：

；（2）解：，由①得，，由②去分母，得解得，．故不等式組得解集為：．在數(shù)軸上表示為：

【點睛】本題考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式組，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖南常德·八年級校聯(lián)考期末）解不等式組：，并在數(shù)軸上表示它的解集．【答案】，數(shù)軸表示見解析【分析】本題考查了解一元一次不等式組．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由①得：，

由②得：，不等式的解集為，在數(shù)軸上表示為2．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）解下列不等式（組）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)x≤－21(2)x＜7(3)－1≤x＜2【詳解】（1）去分母，得30－2（2－3x）≤5（1＋x），去括號，得30－4＋6x≤5＋5x，移項，得6x－5x≤5＋4－30，合并同類項，得x≤－21．（2）去分母，得4（x＋2）＞7（x－1）－6，去括號，得4x＋8＞7x－7－6，移項，得4x－7x＞－7－6－8，合并同類項，得－3x＞－21，兩邊都除以－3，得x＜7．（3）解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥－1，∴原不等式組的解集為－1≤x＜2．【考點二解一元一次不等式組中錯解復(fù)原問題】例題：（2023下·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）下面是小李同學(xué)解不等式組的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：令解不等式①，去分母，得

第一步移項，得

第二步合并同類項，得

第三步系數(shù)化為1，得

第四步任務(wù)一：上述解不等式①的過程第______步出現(xiàn)了錯誤，其原因是______．任務(wù)二：請寫出正確的解題過程，并將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，【答案】任務(wù)一：四；在不等式兩邊同時乘(除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變；任務(wù)二：見解析【分析】任務(wù)一：根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟逐步分析即可；任務(wù)二：按照解一元一次不等式組的步驟求解集，將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】任務(wù)一：上述解不等式①的過程第四步出現(xiàn)了錯誤，其原因是在不等式兩邊同時乘(除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變；故答案為：四；在不等式兩邊同時乘(除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變；任務(wù)二：令解不等式①，，去分母，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，解不等式②，，移項，得，解得：，∴不等式組的解集為：，如圖：將不等式組的解集表示在數(shù)軸上：【點睛】本題考查解一元一次不等式（組）．熟練掌握解一元一次不等式（組）的步驟，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·貴州安順·七年級統(tǒng)考期末）請觀察框內(nèi)小明同學(xué)解不等式的過程，回答下列問題：解不等式解：…………第一步……第二步……第三步………………第四步……第五步(1)第______步出現(xiàn)錯誤；(2)該不等式的正確解集為：______；(3)要使不等式組的解集包含3個整數(shù)解，則在括號里添加的一元一次不等式可以為：______，此不等式組的解集是：______．【答案】(1)五(2)(3)，（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷求解即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)可得解集；（3）根據(jù)不等式的解集和所求不等式組的解集，只要添加的一元一次不等式的解集的最小整數(shù)解為即可．【詳解】（1）解：∵第五步中，不等式兩邊都除以，不等式的方向沒有改變，∴第五步出現(xiàn)錯誤，故答案為：五；（2）解：該不等式的正確解集為，故答案為：；（3）解：∵不等式的解集為，不等式組的解集包含3個整數(shù)解，∴在括號里添加的一元一次不等式可以為，則此不等式組的解集是，故答案為：，（答案不唯一）．【點睛】本題考查解一元一次不等式、一元一次不等式組的整數(shù)解，理解題意，正確求解是解答的關(guān)鍵．2．（2023下·寧夏中衛(wèi)·八年級統(tǒng)考期末）下面是小明同學(xué)解不等式組的過程，請認真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．解：由不等式，得，第一步解得，第二步由不等式，得，第三步移項，得，第四步解得，第五步所以，原不等式組的解集是．第六步任務(wù)一：

(1)小明的解答過程中，第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是______________________________；任務(wù)二：(2)這個不等式組正確的解集是____________（直接寫出），并在數(shù)軸上表示出來．【答案】(1)第五步，合并同類項時少了負號(2)，解集表示在數(shù)軸上見詳解【分析】（1）根據(jù)不等式，解一元一次不等式組的方法即可求解；（2）運用不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式組，根據(jù)不等組的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解了”即可求解．【詳解】（1）解：由式去分母得，，第三步移項，得，第四步合并同類項得，，系數(shù)化為得，，∴小明的解答過程中，第五步出錯，錯誤的原因是合并同類項時少了負號，故答案為：第五步，合并同類項時少了負號．（2）解：由不等式去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數(shù)化為得，，由式去分母得，，移項，得，合并同類項得，，系數(shù)化為得，，解集表示在數(shù)軸上如圖所示，

∴原不等式組的解集為：，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式組的方法，不等式組的取值方法，將解集表示在數(shù)軸上等知識是解題的關(guān)鍵．【考點三解|x|≥a型的不等式】例題：（2023下·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期中）先閱讀下面是的解題過程，然后回答下列問題．例：解絕對值方程：．解：分情況討論：①當(dāng)時，原方程可化為，解得；②當(dāng)時，原方程可化為，解得．所以原方程的解為或．根據(jù)材料，解下列絕對值方程：(1)理解應(yīng)用：；(2)拓展應(yīng)用：不等式的解集為______．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）分為兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，去掉絕對值符號后求出即可；（2）分為兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，分情況求出即可．【詳解】（1）解：分情況討論：①當(dāng)時，原方程可化為，解得；②當(dāng)時，原方程可化為：，解得：，所以原方程的解為或；（2）解：分情況討論：①當(dāng)時，解得：；②當(dāng)時，解得：，所以不等式解集為或．【點睛】本題考查了含絕對值符號的一元一次方程及一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能去掉絕對值符號，用了分類討論思想．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·七年級課時練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）【答案】（1）或；（2）【分析】根據(jù)絕對值的意義，分類討論，再解一元一次不等式不等式即可．【詳解】（1）當(dāng)時，則，解得，，當(dāng)時，則，解得，，綜上，或；（2）當(dāng)，即時，，解得，，當(dāng)時，則，解得，，綜上，．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，根據(jù)絕對值的意義，分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·重慶·七年級重慶市渝北中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）閱讀：我們知道，于是要解不等式，我們可以分兩種情況去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的不等式，按上述思路，我們有以下解法：解：（1）當(dāng)，即時：解這個不等式，得：由條件，有：（2）當(dāng)，即時，解這個不等式，得：由條件，有：∴如圖，綜合（1）、（2）原不等式的解為根據(jù)以上思想，請?zhí)骄客瓿上铝?個小題：（1）；

（2）．【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，兩種情況分別求解可得；（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，兩種情況分別求解可得．【詳解】解：（1）|x+1|≤2，①當(dāng)x+1≥0，即x≥-1時：x+1≤2，解這個不等式，得：x≤1由條件x≥-1，有：-1≤x≤1；②當(dāng)x+1＜0，即x＜-1時：-（x+1）≤2解這個不等式，得：x≥-3由條件x＜-1，有：-3≤x＜-1∴綜合①、②，原不等式的解為：-3≤x≤1．（2）|x-2|≥1①當(dāng)x-2≥0，即x≥2時：x-2≥1解這個不等式，得：x≥3由條件x≥2，有：x≥3；②當(dāng)x-2＜0，即x＜2時：-（x-2）≥1，解這個不等式，得：x≤1，由條件x＜2，有：x≤1，∴綜合①、②，原不等式的解為：x≥3或x≤1．【點睛】本題主要考查絕對值不等式的求解，熟練掌握絕對值的性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵．【考點四二元一次方程組與一元一次不等式的結(jié)合應(yīng)用】例題：（2024上·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期末）某學(xué)校為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種課外書．購買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購買3本甲種書和2本乙種書共需175元．(1)求甲、乙兩種書的單價；(2)學(xué)校決定購買甲、乙兩種書共60本，且兩種書的總費用不超過2500元，那么該校最多可以購買多少本乙種書?【答案】(1)甲種書為每本元，乙種書為每本元(2)本【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用；（1）等量關(guān)系式：購買2本甲種書的費用購買1本乙種書的費用100元；購買3本甲種書的費用購買2本乙種書的費用175元；據(jù)此列出方程組，解方程組，即可求解；（2）不等關(guān)系式：購買甲種書的費用購買乙種書的費用元；據(jù)此列出不等式，解不等式，即可求解；找出等量關(guān)系式和不等關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)甲種書為每本元，乙種書為每本元，由題意得，解得：，答：甲種書為每本元，乙種書為每本元．（2）解：設(shè)購買乙種書每本，購買甲種書（）本，由題意得，解得：，為整數(shù)，取，答：該校最多可以購買本乙種書．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）永州市在進行“六城同創(chuàng)”的過程中，決定購買A，B兩種樹對某路段進行綠化改造，若購買A種樹3棵，B種樹4棵，需要3200元；購買A種樹5棵，B種樹2棵，需要3000元．(1)求購買A，B兩種樹每棵各需多少元？(2)考慮到綠化效果，購進A種樹不能少于48棵，且用于購買這兩種樹的資金不低于45000元．若購進這兩種樹共100棵．問有哪幾種購買方案？【答案】(1)購買A種樹每棵需400元，購買B種樹每棵需500元(2)有三種購買方案，分別是：方案1：購買A種樹48棵，購買B種樹52棵；方案2：購買A種樹49棵，購買B種樹51棵；方案3：購買A種樹50棵，購買B種樹50棵【分析】本題考查二元一次方程組實際應(yīng)用，一元一次不等式應(yīng)用．（1）根據(jù)題意列二元一次方程組解出即可；（2）根據(jù)題意列一元一次不等式，解出后列出方案即可．【詳解】（1）解：設(shè)購買A種樹每棵需x元，購買B種樹每棵需y元，由題意可知：，解方程組得，答：購買A種樹每棵需400元，購買B種樹每棵需500元．（2）解：設(shè)購進A種樹a棵，由題意可知：，解不等式得：，又因為購進A種樹不能少于48棵，即：，∴有三種購買方案，分別是：方案1：購買A種樹48棵，購買B種樹52棵；方案2：購買A種樹49棵，購買B種樹51棵；方案1：購買A種樹50棵，購買B種樹50棵．2．（2022下·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）西安某校計劃購買A，B兩種樹木共100棵，進行校園綠化，經(jīng)市場調(diào)查：購買A種樹木3棵，B種樹木4棵，共需470元，購買A種樹木5棵，B種樹木2棵，共需410元．(1)求A，B兩種樹木每棵各多少元？(2)布局需要，決定再次購進A，B兩種樹木共50棵，恰逢該供應(yīng)商對兩種樹木的售價進行調(diào)價，A種樹木售價比第一次購買時提高了8%，B種樹木按第一次購買時售價的9折出售．如果這所學(xué)校此次購買A，B兩種樹木的總費用不超過3260元，那么該校最多可購買多少B種樹木？【答案】(1)A種樹木每棵50元，B兩種樹木每棵80元；(2)31棵．【分析】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系，正確列出方程組與不等式．（1）設(shè)A種樹木每棵需要x元，B種樹木每棵需要y元，根據(jù)題意列出方程組即可求解；（2）設(shè)購進B種樹木m棵，則A種樹木為棵，根據(jù)題意列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)A種樹木每棵需要x元，B種樹木每棵需要y元，由題意可得：由可得：，解得：，將代入①，得：，解得：，答：A種樹木每棵需要50元，B種樹木每棵需要80元；（2）解：設(shè)購進B種樹木m棵，則A種樹木為棵，由題意可得：，解得：，∴該校最多可以購進B種樹木31棵．答：該校最多可以購進B種樹木31棵．【考點五二元一次方程組與一元一次不等式組的結(jié)合應(yīng)用】例題：（2022下·山西忻州·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）為保護環(huán)境，我市公交公司計劃購買A型和B型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛．若購買A型公交車1輛，B型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，B型公交車1輛，共需350萬元．(1)求購買A型和B型公交車每輛各需多少萬元？(2)預(yù)計在某線路上A型和B型公交車每輛年均載客量分別為60萬人次和100萬人次．若該公司購買A型和B型公交車的總費用不超過1200萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于680萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？【答案】(1)購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元(2)三種方案：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用；（1）等量關(guān)系式：購買A型公交車1輛的費用購買B型公交車2輛的費用400萬元，購買A型公交車2輛的費用B型公交車1輛的費用共需350萬元；據(jù)此列出方程組，即可求解；（2）不等關(guān)系式：購買A型公交車的費用購買B型公交車的費用1200萬元，A型公交車的載客量B型公交車的載客量680萬人次；據(jù)此列出不等式組，即可求解；找出等量關(guān)系式和不等關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)購買A型公交車每輛需x萬元，購買B型公交車每輛需y萬元，

由題意得，

解得，

答：購買A型公交車每輛需100萬元，購買B型公交車每輛需150萬元．（2）解：設(shè)購買A型公交車a輛，則購買B型公交車輛，

由題意得，

解得：，

因為a是整數(shù)，所以取、、；

則取、、．

三種方案：①購買A型公交車6輛，B型公交車4輛；②購買A型公交車7輛，B型公交車3輛；③購買A型公交車8輛，B型公交車2輛．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）第一屆茶博會在海絲公園舉行，全國各地客商齊聚于此，此屆茶博會主題“精彩閩茶?全球共享”．一采購商看中了鐵觀音和大紅袍這兩種優(yōu)質(zhì)茶葉，并得到如表信息：鐵觀音大紅袍總價/元質(zhì)變/Akg251800311270(1)求每千克鐵觀音和大紅袍的進價；(2)若鐵觀音和大紅袍這兩種茶葉的銷售單價分別為450元/kg、260元/kg，該采購商準(zhǔn)備購進這兩種茶葉共30kg，進價總支出不超過1萬元，全部售完后，總利潤不低于2660元，該采購商共有幾種進貨方案？（均購進整千克數(shù)）（利潤＝售價﹣進價）【答案】(1)每千克鐵觀音的進價是350元，每千克大紅袍的進價是220元；(2)該采購商共有2種進貨方案．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用：（1）設(shè)每千克鐵觀音的進價是x元，每千克大紅袍的進價是y元，利用總價=單價×數(shù)量，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進m千克鐵觀音，則購進千克大紅袍，根據(jù)“進價總支出不超過1萬元，全部售完后，總利潤不低于2660元”，可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出該采購商共有2種進貨方案．【詳解】（1）解：設(shè)每千克鐵觀音的進價是x元，每千克大紅袍的進價是y元，根據(jù)題意得：，解得：，答：每千克鐵觀音的進價是350元，每千克大紅袍的進價是220元；（2）設(shè)購進m千克鐵觀音，則購進千克大紅袍，根據(jù)題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為25，26，∴該采購商共有2種進貨方案．2．（2021上·浙江金華·八年級統(tǒng)考期中）接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段．北京科興中維需運輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調(diào)查得知，2輛A型冷鏈運輸車與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．(1)求每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸多少盒疫苗；(2)計劃用兩種冷鏈運輸車共12輛運輸這批疫苗，A型車一次需費用5000元，B型車一次需費用3000元．若運輸物資不少于1500盒，且總費用小于54000元，請求出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？【答案】(1)每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗(2)方案一：A型車6輛，B型車6輛，所需費用最少，最少費用是48000元【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸x盒疫苗、y盒疫苗，利用“2輛A型冷鏈運輸車與3輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸600盒；5輛A型冷鏈運輸車與6輛B型冷鏈運輸車一次可以運輸1350盒．”建立方程組解答即可；（2）設(shè)A型車a輛，則B型車輛，利用“運輸物資不少于1500盒，且總費用小于54000元”建立不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸x盒疫苗、y盒疫苗，由題意可得，，解得，答：每輛A型車和每輛B型車一次可以分別運輸150盒疫苗、100盒疫苗；（2）設(shè)A型車a輛，則B型車輛，由題意可得，，解得，∵a為正整數(shù)，∴，7，8，∴共有三種運輸方案，方案一：A型車6輛，B型車6輛，方案二：A型車7輛，B型車5輛，方案三：A型車8輛，B型車4輛，∵A型車一次需費用5000元，B型車一次需費用3000元，計劃用兩種冷鏈運輸車共12輛運輸這批疫苗，∴A型車輛數(shù)越少，費用越低，∴方案一所需費用最少，此時的費用為（元），答：方案一：A型車6輛，B型車6輛，方案二：A型車7輛，B型車5輛，方案三：A型車8輛，B型車4輛，其中方案一所需費用最少，最少費用是48000元．【過關(guān)檢測】一、解答題1．（2024上·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）解不等式:，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括號，移項，合并同類項，把的系數(shù)化為1，再把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：2．（2024上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）解不等式組：，并把解表示在數(shù)軸上．【答案】，數(shù)軸見解析．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點向右畫折線，“≥”實心圓點向右畫折線，“＜”空心圓點向左畫折線，“≤”實心圓點向左畫折線．先求此不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法畫出圖示即可求得．【詳解】解：解不等式①，得：解不等式②，得：，∴不等式組的解集為，將不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：3．（2023·廣東潮州·二模）解不等式組，并在數(shù)軸上表示該不等式組的解集．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟，以及寫出不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”．分別求解兩個不等式，再寫出解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：，由①可得：，由②可得：，∴該不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示如圖所示：4．（2023上·浙江·八年級校聯(lián)考期末）解不等式組下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務(wù)：解：解不等式①，得

第1步合并同類項，得

第2步兩邊都除以，得

第3步任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程中第步出現(xiàn)了錯誤，這一步的依據(jù)是，不等式①的正確解是．任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【答案】任務(wù)一：3，不等式的基本性質(zhì)3，；任務(wù)二：【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．任務(wù)一：根據(jù)不等式的解法逐步分析即可；任務(wù)二：根據(jù)不等式的解法求出不等式②的解集，然后求出解集即可．【詳解】解：（1）該同學(xué)的解答過程中第3步出現(xiàn)了錯誤，這一步的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)3，不等式①的正確解是故答案為：3，不等式的基本性質(zhì)3，

（2）解不等式②，得，∴不等式組的解為．5．（2024上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期末）今年元旦節(jié)，某商場購進甲、乙兩種紀(jì)念品，若購進甲種紀(jì)念品件、乙種紀(jì)念品件，則共需元，若購進甲種紀(jì)念品件、乙種紀(jì)念品件，則共需元．(1)甲、乙兩種紀(jì)念品每件各需要多少元？(2)商場決定購進甲、乙兩種紀(jì)念品共件，若購進兩種紀(jì)念品的總資金不超過元，則最多購進甲種紀(jì)念品多少件？【答案】(1)甲，乙兩種紀(jì)念品每件各需要元，元(2)最多購進甲種紀(jì)念品件【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用、解一元一次不等式等知識點，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲，乙兩種紀(jì)念品每件各需要元，列出二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)購進甲種紀(jì)念品件，則乙種紀(jì)念品件，根據(jù)題意列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲，乙兩種紀(jì)念品每件各需要元，由題意得解得答：甲，乙兩種紀(jì)念品每件各需要元，元．（2）解：設(shè)購進甲種紀(jì)念品件，由題意得，解得，所以，最多購進甲種紀(jì)念品6件．6．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）某貨運公司有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨29噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨31噸．(1)請問1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨多少噸；(2)目前有46.4噸貨物需要運輸，貨運公司擬安排大小貨車共10輛，全部貨物一次運完，其中每輛大貨車一次運貨花費500元，每輛小貨車一次運貨花費300元，請問貨運公司應(yīng)如何安排車輛最節(jié)省費用？【答案】(1)1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨5噸和3.5噸(2)貨運公司安排大貨車8輛，則安排小貨車2輛，最節(jié)省費用【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用：（1）設(shè)1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列方程組求解可得；（2）設(shè)貨運公司安排大貨車m輛，則安排小貨車輛．根據(jù)10輛貨車需要運輸46.4噸貨物列出不等式，結(jié)合m是正整數(shù)，且求出m的值，比較費用大小即可．【詳解】（1）解：設(shè)1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據(jù)題意可得：，解得：，答：1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨5噸和3.5噸；（2）解：設(shè)貨運公司安排大貨車m輛，則安排小貨車輛，根據(jù)題意可得：，解得：，因為m是正整數(shù)，且，所以或9或10．所以或1或0．方案一：所需費用（元）方案二：所需費用（元）方案三：所需費用（元）因為．所以貨運公司安排大貨車8輛，則安排小貨車2輛，最節(jié)省費用．7．（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）在我市中小學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)工程中，某學(xué)校計劃購進一批電腦和電子白板，經(jīng)過市場考察得知，購買1臺電腦和2臺電子白板需要3.5萬元，購買2臺電腦和1臺電子白板需要2.5萬元．(1)求每臺電腦、每臺電子白板各多少萬元？(2)根據(jù)學(xué)校實際，需購進電腦和電子白板共30臺，總費用不超過30萬元，但不低于28萬元，該校有幾種購買方案？(3)上面的哪種方案費用最低？按費用最低方案購買需要多少錢？【答案】(1)每臺電腦0.5萬元，每臺電子白板1.5萬元(2)共有三種方案：方案一：購進電腦15臺，電子白板15臺；方案二：購進電腦16臺，電子白板14臺；方案三：購進電腦17臺，電子白板13臺．(3)選擇方案三最省錢，即購買電腦17臺．需要28萬元【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用及一元一次不等式組的應(yīng)用．（1）設(shè)電腦、電子白板的價格分別為x、y元，根據(jù)等量關(guān)系：“1臺電腦+2臺電子白板=3.5萬元”，“2臺電腦+1臺電子白板=2.5萬元”，列方程組求解即可；（2）設(shè)計方案題一般是根據(jù)題意列出不等式組，求不等式組的整數(shù)解．設(shè)購進電腦x臺，電子白板有臺，然后根據(jù)題目中的不等關(guān)系“總費用不超過30萬元，但不低于28萬元”列不等式組解答；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，通過計算即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每臺電腦x萬元，每臺電子白板y萬元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每臺電腦0.5萬元，每臺電子白板1.5萬元；（2）解：設(shè)需購進電腦a臺，則購進電子白板（30-a）臺，則，解得：，即，16，17．故共有三種方案：方案一：購進電腦15臺，電子白板15臺；方案二：購進電腦16臺，電子白板14臺；方案三：購進電腦17臺，電子白板13臺．（3）解：方案一：總費用為萬元；方案二：總費用為萬元；方案三：總費用為萬元．∴方案三費用最低．8．（2024上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）某商場同時采購了A，B兩種品牌的運動裝，第一次采購A品牌運動裝10件，B品牌運動裝30件，采購費用為8600元；第二次只采購了B品牌運動裝50件，采購費用為11000元．(1)求A，B兩種品牌運動裝的采購單價分別為多少元每件？(2)商家通過一段時間的營銷后發(fā)現(xiàn)，B品牌運動裝的銷售明顯比A品牌好，商家決定采購一批運動裝，要求：①采購B品牌運動裝的數(shù)量是A品牌運動裝的2倍多10件，且A品牌的采購數(shù)量不低于18件；②采購兩種品牌運動裝的總費用不超過15000元，請問該商家有哪幾種采購方案？【答案】(1)A種品牌運動裝的采購單價為200元每件，B種品牌運動裝的采購單價為220元每件；(2)該商家共有3種采購方案，方案1：A種品牌運動裝采購18件，B種品牌運動裝采購46件；方案2：A種品牌運動裝采購19件，B種品牌運動裝采購48件；方案3：A種品牌運動裝采購20件，B種品牌運動裝采購50件．【分析】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)A種品牌運動裝的采購單價為x元每件，B種品牌運動裝的采購單價為y元每件，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)A種品牌運動裝采購m件，則B種品牌運動裝采購件，根據(jù)題意列出一元一次不等式組求解即可．【詳解】（1）設(shè)A種品牌運動裝的采購單價為x元每件，B種品牌運動裝的采購單價為y元每件．根據(jù)題意，得解得答：A種品牌運動裝的采購單價為200元每件，B種品牌運動裝的采購單價為220元每件．（2）設(shè)A種品牌運動裝采購m件，則B種品牌運動裝采購件．根據(jù)題意，得解得又∵m為整數(shù)，．∴該商家共有3種采購方案，方案1：A種品牌運動裝采購18件，B種品牌運動裝采購46件；方案2：A種品牌運動裝采購19件，B種品牌運動裝采購48件；方案3：A種品牌運動裝采購20件，B種品牌運動裝采購50件．9．（2024·全國·七年級競賽）某工廠生產(chǎn)1件甲型號產(chǎn)品需要1個工