藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第7節(jié)拋物線課時沖關(guān)

PAGEPAGE1第7節(jié)拋物線1．若拋物線y＝ax2的焦點坐標(biāo)是(0,1)，則a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)解析：D[因為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y，所以其焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，則有eq\f(1,4a)＝1，解得a＝eq\f(1,4).]2．(2024·永州模擬)已知拋物線y＝px2(其中p為常數(shù))經(jīng)過點A(1,3)，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離等于()A.eq\f(9,2) B.eq\f(3,2)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,6)解析：D[x2＝eq\f(1,p)y，過點(1,3)，則x2＝eq\f(1,3)y，p＝eq\f(1,6)，所以焦點到準(zhǔn)線的距離是eq\f(1,6).故選D.]3．(2024·廈門質(zhì)檢)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線與曲線C交于A，B兩點，|AB|＝6，則AB中點到y(tǒng)軸的距離是()A．1 B．2C．3 D．4解析：B[由y2＝4x，得F(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|等于點A到準(zhǔn)線x＝－1的距離x1＋1，同理，|BF|等于B到準(zhǔn)線x＝－1的距離x2＋1，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，x1＋x2＝4，中點橫坐標(biāo)為x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝2，∴AB中點到y(tǒng)軸的距離是|x0|＝2，故選B.]4．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4eq\r(5)，則拋物線C的方程為()A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y(tǒng)解析：C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4p，,y＝8p，))即兩交點坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，則eq\r(4p2＋8p2)＝4eq\r(5)，得p＝1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x2＝2y.]5．已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，A為拋物線C上一點，若|AF|＝2，則△OAF的面積為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\f(3\r(3),2)解析：A[設(shè)A(x0，y0)，則由|AF|＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋eq\f(1,2)＝2，得x0＝eq\f(3,2)，由A點在拋物線C上，可得|y0|＝eq\r(3)，又|OF|＝eq\f(1,2)，所以S△OAF＝eq\f(1,2)×|OF|×|y0|＝eq\f(\r(3),4)，故選A.]6．(2024·上海徐匯區(qū)模擬)已知拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線方程是y＝－eq\f(1,4)，則a＝________.解析：由題意，可知該拋物線的開口方向為y軸的正半軸，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，又其準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(p,2)＝eq\f(1,4)，則p＝eq\f(1,2)，所以a＝2p＝1.答案：17．已知拋物線y2＝4x的一條弦AB恰好以P(1,1)為中點，則弦AB所在直線的方程是________.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，則y1＋y2＝2，又點A，B在拋物線y2＝4x上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))兩式相減，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，則eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝2，即直線AB的斜率k＝2，所以直線AB的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝08．(2024·海南五校一模)已知點F是拋物線C：y2＝4x的焦點，點M為拋物線C上隨意一點，過點M向圓(x－1)2＋y2＝eq\f(1,2)作切線，切點分別為A，B，則四邊形AFBM面積的最小值為________.解析：設(shè)M(x，y)，連接MF，則|MF|＝x＋1，易知拋物線C的焦點F(1,0)為圓的圓心，圓的半徑r＝|FA|＝eq\f(\r(2),2).因為MA為切線，所以MA⊥AF，在Rt△MAF中，|MA|＝eq\r(|MF|2－r2)＝eq\r(x＋12－\f(1,2))，易知△MAF≌△MBF，所以四邊形AFBM的面積S＝|MA|r＝eq\r(x＋12－\f(1,2))×eq\f(\r(2),2)，又x≥0，所以x＝0時面積取得最小值，所以Smin＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標(biāo)．解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x.(2)∵點A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)．又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3).∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)，故MN的方程為y－2＝－eq\f(3,4)x，解方程組得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).10．設(shè)A，B為曲線C：y＝eq\f(x2,4)上兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝eq\f(x\o\al(2,1),4)，y2＝eq\f(x\o\al(2,2),4)，x1＋x2＝4.于是直線AB的斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝1.(2)由y＝eq\f(x2,4)，得y′＝eq\f(x,2).設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知eq\f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.將y＝x＋m代入y＝eq\f(x2,4)得x2－4x－4