湖南省部分省示范性高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)

（暨入學(xué)檢測(cè)）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.2已知集合，則（）A. B.C D.3.已知，則（）A. B. C. D.4.已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足”，乙“實(shí)數(shù)x，y滿足”，則甲是乙的（）A必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5已知，則（）A. B. C. D.6.將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A. B. C. D.17.由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說(shuō)法正確的是（）A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無(wú)法確定8.表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，，對(duì)于區(qū)間上的任意都有，若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若與的夾角為鈍角，則B.的最小值為9C.與共線的單位向量只有一個(gè)，為D.若，則10.隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)2024年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說(shuō)法正確的有（）A.均值為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為10111.陽(yáng)馬和鱉臑[biēnào]是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬（圖5）.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑（圖6）.若圖1中的長(zhǎng)方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論正確的是（）A.鱉臑中的四個(gè)直角三角形全等B.塹堵的表面積等于陽(yáng)馬與鱉臑的表面積之和C.鱉臑的體積等于陽(yáng)馬體積的一半D.鱉臑的內(nèi)切球表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有（為銳角）成立，則______.13.已知函數(shù)，滿足，則______.14.如圖已知點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐的底面中心，且圓錐的底面積為，，若與截面所成角為，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟15.已知函數(shù)滿足.（1）求；（2）求在區(qū)間上的最小值.16.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知.（1）求A；（2）若，求的面積.17.隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來(lái)越好，越來(lái)越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是至，男性的正常范圍是至.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn).某市有關(guān)部門對(duì)全市萬(wàn)名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.（1）求a；（2）如果女性體脂率為至屬“偏胖”，體脂率超過(guò)屬“過(guò)胖”，那么全市女性“偏胖”，“過(guò)胖”各約有多少人？（3）小王說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰(shuí)的體脂率更低？18.如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．19.在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為.猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為，猜是正面的概率為.假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立.（1）若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為，試比較的大??；（2）若不管扔硬幣是正面還是反面猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，（i）從下面①②③④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：①；②；③，④（ii）從（i）中選出一個(gè)可能正確結(jié)論作為條件.用表示猜測(cè)的正反文字串，將中正面的個(gè)數(shù)記為，如“正反正反”，則，若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求的取值范圍.（暨入學(xué)檢測(cè)）數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，得到虛部.【詳解】，故虛部為.故選：A2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式得到A=x?1<x<3【詳解】A選項(xiàng)，A=x故，則不是的子集，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，或，故不是的子集，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦二倍角公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以或，又，所?故選：A.4.已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足”，乙“實(shí)數(shù)x，y滿足”，則甲是乙的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】，充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】，充分性成立，但不能得到，比如當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，必要性不成立，故甲是乙的充分不必要條件.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)估計(jì)的范圍，由此比較它們的大小.【詳解】函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以，即，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以，即，函數(shù)在上為減函數(shù)，，所以，即，所以.故選：C.6.將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)伸縮變換得到，求出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出，得到答案.【詳解】，，，要想在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，故的最大值為1.故選：D7.由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說(shuō)法正確的是（）A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算C.兩種方案一樣 D.采用哪種方案無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，表達(dá)出兩種方案購(gòu)買的均價(jià)，結(jié)合基本不等式比較出大小，得到答案.【詳解】不妨設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，第一種方案，均價(jià)為，第二種方案，均價(jià)為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以采用第二種方案劃算.故選：B8.表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，，對(duì)于區(qū)間上的任意都有，若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，奇偶性得到的一個(gè)周期為8，由fx1+4?fx2+4x2?x1>0變形得到在0,2上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，由函數(shù)周期，奇偶性，對(duì)稱性得到在R上的最小值為，故【詳解】為偶函數(shù)，故關(guān)于對(duì)稱，，又為奇函數(shù)，故f?x=?fx，即所以，所以，故，的一個(gè)周期為8，區(qū)間0,2上的任意都有fx1令，則在0,2上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，又的一個(gè)周期為8，故在2,4上單調(diào)遞減，又關(guān)于對(duì)稱，故，故在上單調(diào)遞減，由對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞增，且的一個(gè)周期為8，故在R上的最小值為，不等式對(duì)任意的x∈R恒成立，故，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最大值為2故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：設(shè)函數(shù)y=fx，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期為4a．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)向量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若與的夾角為鈍角，則B.的最小值為9C.與共線的單位向量只有一個(gè)，為D.若，則【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，且不反向共線，得到不等式，求出；B選項(xiàng)，利用模長(zhǎng)公式得到的最小值為3；C選項(xiàng)，求出，從而得到利用求出答案；D選項(xiàng)，利用模長(zhǎng)公式得到方程，求出.【詳解】A選項(xiàng)，與的夾角為鈍角，故且不反向共線，則且，解得且，綜上，，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，與共線的單位向量有2個(gè)，為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，則，解得，D正確.故選：BC10.隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)2024年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說(shuō)法正確的有（）A.均值為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為101【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用均值定義進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用極差定義進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，利用方差公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，，故從小到大，選擇第5個(gè)數(shù)作為第60百分位數(shù)，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，均值為，A正確；B選項(xiàng)，極差為，B正確；C選項(xiàng)，方差為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故從小到大，選擇第5個(gè)數(shù)作為第60百分位數(shù)，即101，D正確.故選：ABD11.陽(yáng)馬和鱉臑[biēnào]是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬（圖5）.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑（圖6）.若圖1中的長(zhǎng)方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論正確的是（）A.鱉臑中的四個(gè)直角三角形全等B.塹堵的表面積等于陽(yáng)馬與鱉臑的表面積之和C.鱉臑的體積等于陽(yáng)馬體積的一半D.鱉臑的內(nèi)切球表面積為【答案】CD【解析】【分析】由條件，求鱉臑的各棱長(zhǎng)，判斷A，結(jié)合多面體表面積定義及塹堵、鱉臑、陽(yáng)馬的結(jié)構(gòu)特征求出它們的表面積，判斷B，根據(jù)錐體體積公式求鱉臑和陽(yáng)馬的體積判斷C，利用鱉臑的體積和表面積可求其內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球的表面積公式求球的表面積判斷D.【詳解】由已知，，所以，，所以和不全等，A錯(cuò)誤；塹堵的表面積，由已知，，所以，陽(yáng)馬的表面積，鱉臑的表面積，，所以塹堵的表面積不等于陽(yáng)馬與鱉臑的表面積之和，B錯(cuò)誤，鱉臑的體積，陽(yáng)馬的體積，所以鱉臑的體積等于陽(yáng)馬體積的一半，C正確；設(shè)鱉臑的內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)轺M臑表面積，鱉臑的體積，又，所以，所以鱉臑的內(nèi)切球表面積為，D正確.故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有（為銳角）成立，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線得到存在使得，故，結(jié)合，得到，從而求出.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在使得，即，故，將其代入得，，即，由于上式恒成立，，故，解得，因?yàn)闉殇J角，所以.故答案為：13.已知函數(shù)，滿足，則______.【答案】1【解析】【分析】利用，求出，代入求值.【詳解】，故，解得，則，.故答案：114.如圖已知點(diǎn)在圓錐的底面圓周上，為圓錐頂點(diǎn)，為圓錐的底面中心，且圓錐的底面積為，，若與截面所成角為，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，由底面面積為可求，證明為直線與截面所成的角，解三角形求，由此可求圓錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的底面積為，所以，故，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，由已知平面，平面，所以，，平面，所以平面，所以在平面上的射影為AD，所以為直線與截面所成的角，由已知，又，所以為等邊三角形，故，因?yàn)?，，由余弦定理可得，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟15.已知函數(shù)滿足.（1）求；（2）求在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)后代入，求出；（2）化簡(jiǎn)得到，由求出，利用整體法求出函數(shù)的最小值.【小問(wèn)1詳解】，故，即，因?yàn)椋裕?，解得，【小?wèn)2詳解】，，，故，則，故在區(qū)間的最小值為.16.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知.（1）求A；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦和角公式，誘導(dǎo)公式得到，由正弦定理得到，求出A；（2）利用余弦定理得到，利用三角形面積公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】，故，即，由于，故，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，即，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】由余弦定理得，又，，故，解得，則.17.隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來(lái)越好，越來(lái)越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是至，男性的正常范圍是至.這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn).某市有關(guān)部門對(duì)全市萬(wàn)名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖.（1）求a；（2）如果女性體脂率為至屬“偏胖”，體脂率超過(guò)屬“過(guò)胖”，那么全市女性“偏胖”，“過(guò)胖”各約有多少人？（3）小王說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說(shuō)：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰(shuí)的體脂率更低？【答案】（1）；（2）全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，“過(guò)胖”的人數(shù)約為；（3）小張的體脂率更低.【解析】【分析】（1）由所有矩形條的面積和為，列方程可求；（2）求出樣本中女性“偏胖”，“過(guò)胖”的頻率，由此估計(jì)全市女性“偏胖”，“過(guò)胖”的人數(shù)；（3）求樣本的中位數(shù)，平均數(shù)可得小王和小張的體脂率，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由頻率直方圖可得，，所以.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得樣本中女性“偏胖”的頻率為，樣本中女性“過(guò)胖”的頻率為，所以全市女性“偏胖”的人數(shù)約為，全市女性“過(guò)胖”的人數(shù)約為，【小問(wèn)3詳解】調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為，所以小王的體脂率約為，小張的體脂率為，所以小張的體脂率更低.18.如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量PB的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因，所以平面．（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，設(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因平面，，所以平面．在平面中，設(shè)．在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．因?yàn)槠矫嫫矫妫裕钟善矫?，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過(guò)G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為平面的法向量與向量PB的夾角的余弦值的絕對(duì)值，即，再根據(jù)基本不等式即可求出，是本題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用直線與平面所成角定義，作出直線PB與平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；方法三：巧妙利用，將線轉(zhuǎn)移，再利用等體積法求得點(diǎn)面距，利用直線PB與平面QCD所成角的正弦值即為點(diǎn)面距與線段長(zhǎng)度的比值的方法，即可求出．19.在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為.猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面