5.3.1等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版(2019)選擇性

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期秋季課題等比數(shù)列教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)（人教B版）出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念,體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2.探索并歸納出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決簡(jiǎn)單的問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。3.掌握等比中項(xiàng)的定義和等比數(shù)列的性質(zhì),并能利用它解決有關(guān)等比數(shù)列的問題。4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列的定義，等比中項(xiàng)、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)過程。

教學(xué)難點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)特征及綜合運(yùn)用。教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入問題.觀察下列情景中的數(shù)列，回答后面的問題.觀看視頻《巴菲特——復(fù)利的威力》。得出數(shù)列①有些細(xì)胞在分裂時(shí)，會(huì)從1個(gè)變成2個(gè)，2個(gè)變成4個(gè)，4個(gè)變成8個(gè)……，這里細(xì)胞的個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列1，2，4，8，16，32，…②

3.《莊子》中說“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)事不竭.”其意思是:一尺長(zhǎng)的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完。如果記木棒的長(zhǎng)度為1，則不斷取一半的過程中，每日之后木棒的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列12，14探究1.數(shù)列①②③在數(shù)學(xué)中都稱為等比數(shù)列，它們有什么共同點(diǎn)?引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。[設(shè)計(jì)意圖]該情境讓學(xué)生從生活實(shí)例中發(fā)現(xiàn)各組數(shù)列的共同特點(diǎn)，目的在從而自然引出本節(jié)課的探究問題——等比數(shù)列的定義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。二、概念生成探究2探究2.類比等差數(shù)列的概念，你能給等比數(shù)列下一個(gè)定義嗎？

如果一1.等比數(shù)列的定義人如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。數(shù)學(xué)表達(dá)式：或者.[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生經(jīng)歷概念的自主建構(gòu)過程，并讓學(xué)生體會(huì)類比思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。牛刀小試?yán)?.判斷以下數(shù)列是否是等比數(shù)列？如果是，指出公比；如果不是，說明理由。（1）1,10,100,1000,10000；（2）0,1,2,4,8；解：（1）因?yàn)?，所以是等比?shù)列，且公比為10。因?yàn)闆]有意義，因此不是等比數(shù)列。（3）因?yàn)椋圆皇堑缺葦?shù)列。探究3.類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的的通項(xiàng)公式嗎？通過類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，歸納探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。方法有兩種，分別是不完全歸納法和疊加法，類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也有兩種推導(dǎo)方法。（不完全歸納法）設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得,即所以，，由此可歸納出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（累乘法）另外，注意到由等比數(shù)列定義可得an-1aEMBEDEquation.KSEE3EMBEDEquation.KSEE3將這個(gè)式子兩邊分別相乘，則有EMBEDEquation.KSEE3因此同樣可得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為[設(shè)計(jì)意圖]類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，感受數(shù)學(xué)知識(shí)生產(chǎn)的過程，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一般地,若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則通項(xiàng)公式為：.點(diǎn)睛：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共含有四個(gè)變量,即，如果知道了其中任意三個(gè)量,就可由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)量.探究5.已知等比數(shù)列的第項(xiàng)及公比，求解:設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,則兩式相除，整理可得即[設(shè)計(jì)意圖]本題的關(guān)鍵是利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將等比數(shù)列的第項(xiàng)與任意一項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)，從而得出等比數(shù)列任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系，并把等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行了推廣：等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示。典例解析例2.已知等比數(shù)列中，，（1）求；（2）判斷18是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由。解:（1）解法一：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為，則解得，，，因此.解法二:設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即解得,因此設(shè)18是數(shù)列中的第項(xiàng)，則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)檫@個(gè)方程無(wú)正整數(shù)解，所以18不是數(shù)列中的項(xiàng).[設(shè)計(jì)意圖]熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推廣的使用。3.等比中項(xiàng)如果是等比數(shù)列，那么稱為與的等比中項(xiàng)。探究6.如果為與的等比中項(xiàng)，那么能用與表示出來(lái)嗎？根據(jù)等比中項(xiàng)與等比數(shù)列的定義可知，因此，∴想一想：1.任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？若,則有兩個(gè)等比中項(xiàng);若,則無(wú)等比中項(xiàng)。2.等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)與偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)有什么特點(diǎn)？因?yàn)?，所以等比?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同。3.為與的等比中項(xiàng)的充要條件是嗎？為什么？不是。當(dāng)時(shí)，不一定是與的等比中項(xiàng)，例如0，0，5就不是等比數(shù)列。三、歸納發(fā)現(xiàn)4.等比數(shù)列的性質(zhì)探究7.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求出，并比較它們的大小。你能由此總結(jié)出一個(gè)一般的結(jié)論嗎？因?yàn)?，所?一般地，如果是等比數(shù)列，而且正整數(shù)滿足，則.特別地，如果,則例3.在4與14解：（方法一）依題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，解得.當(dāng)時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為EMBEDEquation.KSEE3,當(dāng)時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為EMBEDEquation.KSEE3.因此插入的3個(gè)數(shù)分別為或.（方法二）因?yàn)榈缺葦?shù)列共有5項(xiàng)，即又因?yàn)?所以,即,類似地，有,,而且與同號(hào)，因此；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此插入的3個(gè)數(shù)分別為或[設(shè)計(jì)意圖]熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并能用于解決數(shù)列的相關(guān)問題。四、深化知識(shí)5.等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系探究8.類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式中an與n的關(guān)系與以前學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)？因?yàn)?，所以如果記則可以看出，當(dāng)公比時(shí)，是指數(shù)型函數(shù)；當(dāng)公比時(shí)，是常數(shù)函數(shù)，此時(shí)數(shù)列是常數(shù)列（因此，公比為1的等比數(shù)列是常數(shù)列）。探究9.類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說說公比q>0且q≠1時(shí)等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減單調(diào)遞增常數(shù)列/數(shù)列的單調(diào)性常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減例4.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷這個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是求出公比，如果不是說明理由.解：因?yàn)樗詳?shù)列是等比數(shù)列,且公比為2.小結(jié)：數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是