高考總復習文數(shù)（北師大版）講義第6章第04節(jié)數(shù)列求和

第四節(jié)數(shù)列求和考點高考試題考查內容核心素養(yǎng)數(shù)列求和2017·全國卷Ⅲ·T17·12分求數(shù)列的通項公式及前n項和數(shù)學運算2016·全國卷Ⅱ·T17·12分求數(shù)列的通項公式及前n項和數(shù)學運算2014·全國卷Ⅰ·T17·12分求數(shù)列的通項公式及前n項和數(shù)學運算命題分析本節(jié)內容一直是高考的熱點，尤其是等差、等比數(shù)列的前n項和公式，錯位相減法、裂項相消法求和為考查重點，常與函數(shù)、方程、不等式等聯(lián)系綜合考查，多以解答題形式出現(xiàn).1．公式法(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．分組轉化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．3．裂項相消法(1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．(2)裂項時常用的三種變形：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；②eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；③eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).4．錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解．5．倒序相加法如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．6．并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.提醒：辨明兩個易誤點(1)使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點．(2)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．1．判斷下列結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果已知等差數(shù)列的通項公式，則在求其前n項和時使用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)較為合理．()(2)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝eq\f(a1－an＋1,1－q).()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a(4)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk(m，k為大于1的正整數(shù))．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．(教材習題改編)一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，A．100＋200×(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)解析：選A從第1次著地后開始，每次著地所經過的路程構成一個公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列．所以經過的路程S＝100＋2eq\f(50\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))9)),1－\f(1,2))＝100＋200×(1－2－9)．3．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為________．解析：Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f(n1＋2n－1,2)＝2n＋1－2＋n2.答案：2n＋1＋n2－24．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________.解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(2×1－2n,1－2)－n×2n＋1，所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2分組轉化法求和[明技法]分組轉化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉化法求{an}的前n項和；(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉化法求和．[提能力]【典例】(2018·唐山檢測)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；(2)設cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和．解：(1)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝eq\f(b3,b2)＝eq\f(9,3)＝3，所以b1＝eq\f(b2,q)＝1，b4＝b3q＝27.所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．設等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.從而數(shù)列{cn}的前n項和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝eq\f(n1＋2n－1,2)＋eq\f(1－3n,1－3)＝n2＋eq\f(3n－1,2).[刷好題]已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N＋)，bn＝an－3n(n∈N＋)．(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解：(1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，∴bn＝2bn－1(n∈N＋，n≥2)．∵b1＝a1－3＝2≠0，∴bn≠0(n≥2)，∴eq\f(bn,bn－1)＝2，∴{bn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．∴bn＝2·2n－1＝2n.(2)(1)知an＝bn＋3n＝2n＋3n，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f(31－3n,1－3)＝2n＋1＋eq\f(3n＋1,2)－eq\f(7,2).錯位相減法求和[明技法]錯位相減法求和策略(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．[提能力]【典例】(2018·太原模擬)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝(1)求{an}和{bn}的通項公式；(2)設cn＝anbn，n∈N＋，求數(shù)列{cn}的前n項和．解：(1)設數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，由題意知q>0.由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2q2－3d＝2，,q4－3d＝10，))消去d，整理得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4.又因為q>0，所以q＝2，所以d＝2.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N＋；數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1，n∈N＋.(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，設{cn}的前n項和為Sn，則Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述兩式相減，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)·2n＝－(2n－3)·2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N＋.[母題變式]若cn＝eq\f(bn,an)，如何求解？解：∵an＝2n－1，n∈N＋，bn＝2n－1，n∈N＋.∴cn＝eq\f(2n－1,2n－1).設數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，則Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,21)＋eq\f(5,22)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)eq\f(1,2)Sn＝eq\f(1,21)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(2n－3,2n－1)＋eq\f(2n－1,2n)上述兩式相減，得eq\f(1,2)Sn＝1＋2(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1))－eq\f(2n－1,2n)＝1＋2×(1－eq\f(1,2n－1))－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(1,2n－2)－eq\f(2n－1,2n)＝3－eq\f(2n＋3,2n).∴Sn＝6－eq\f(2n＋3,2n－1)，n∈N＋.[刷好題](2018·漳州質檢)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解：(1)∵{an－1}是等比數(shù)列且a1－1＝2，a2－1＝4，eq\f(a2－1,a1－1)＝2，∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.(2)bn＝nan＝n·2n＋n，故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，則2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，兩式相減，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n·2n＋1，∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.∵1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋eq\f(n2＋n＋4,2).裂項相消法求和[析考情]裂項法求和在高考中經?？疾?，多以解答題的形式考查，并且往往出現(xiàn)在第二問，難度屬中低檔．[提能力]命題點1：an＝eq\f(1,n＋kn＋p)型裂項求和【典例1】數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1－2，數(shù)列{bn}是首項為a1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且b1，b3，b9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)若cn＝eq\f(2,n＋1bn)(n∈N＋)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解：(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.則b1＝a1＝2.由b1，b3，b9成等比數(shù)列，得(2＋2d)2＝2×(2＋8d)，解得d＝0(舍去)或d＝2，所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n.(2)由(1)得cn＝eq\f(2,n＋1bn)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以數(shù)列{cn}的前n項和Tn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n×n＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).命題點2：形如an＝eq\f(n＋1,n2n＋22)的數(shù)列求和【典例2】(2018·濰坊模擬)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；(2)令bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.證明：對于任意的n∈N＋，都有Tn<eq\f(5,64).(1)解：由Seq\o\al(2,n)－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正項數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.又a1＝2也滿足上式，綜上，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.(2)證明：由于an＝2n，故bn＝eq\f(n＋1,n＋22a\o\al(2,n))＝eq\f(n＋1,4n2n＋22)＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n2)－\f(1,n＋22))).Tn＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,32)＋\f(1,22)－\f(1,42)＋\f(1,32)－\f(1,52)＋…＋\f(1,n－12)－\f(1,n＋12)＋\f(1,n2)－\f(1,n＋22)))＝eq\f(1,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)－\f(1,n＋12)－\f(1,n＋22)))<eq\f(1,16)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22)))＝eq\f(5,64).[悟技法]利用裂項相消法求和的注意事項(1)裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，從而達到求和的目的．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．[刷好題]1．(2018·福州質檢)已知函數(shù)f(x)＝xa的圖像過點(4,2)，令an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)，n∈N＋.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2016＝()A．eq\r(2015)－1 B．eq\r(2016)－1C．eq\r(2017)－1 D．eq\r(2017)＋1解析：選C由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝eq\f(1,2)，則f(x)＝xeq\s\up7(\f(1,2)).∴an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，S2016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2016＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq