7.1 空間幾何中的平行與垂直（精練）（教師版）

7.1空間幾何中的平行與垂直（精練）1．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（

）A．B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對(duì)于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對(duì)于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對(duì)于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.

故選：D.2．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高三湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個(gè)命題：①，，則；②若，，則；③，，則；④若，，則；⑤若，，則；⑥若，，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】，，為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面，①，，則，滿足直線與直線平行的傳遞性，所以①正確；②，，則，可能平行，可能相交，也可能異面，所以②不正確；③，，則，可能平行，也可能相交，所以③不正確；④，，則，滿足平面與平面平行的性質(zhì)，所以④正確；⑤，，則或，所以⑤不正確；⑥，，則或，所以⑥不正確；故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過(guò)點(diǎn)M作CQ的平行線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤．故選：B.4．（2023·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）①；②平面平面；③；④平面.A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】A【解析】因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，故，故①正確；易證，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，故②正確；由正方體易知，與異面，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故④正確.故選：A5（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過(guò)AC作平面，使，設(shè)與SM交于點(diǎn)N，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】連接交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面，

因?yàn)椋矫?，平面，所以，因?yàn)锳B為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C將弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故選：C.6．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)?？既＃ǘ噙x）已知是兩條不相同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題為真命題的是（

）A．若是異面直線，，則.B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，則平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，同理，在平面內(nèi)必然存在一條直線，使得，并且，由于是異面直線，與是相交的，n與也是相交的，即平面內(nèi)存在兩條相交的直線，分別與平面平行，，正確；

設(shè)，并且，則有，顯然是相交的，錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則不成立，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則平面上必然存在一條直線l與n平行，，即，正確；對(duì)于D，若，必然存在一個(gè)平面，使得，并且，，又，正確；故選:ACD.7．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，直線PQ與RS是平行直線的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A：如下圖，，，由正方體性質(zhì)知：，所以，故，符合；B：如下圖，，，而，所以不平行，不符合；C：如下圖，，，而，所以不平行，不符合；D：如下圖，，，由正方體性質(zhì)知：，所以，故，符合；故選：AD8．（2023春·福建）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將與折起，使得平面BAE和平面CDE都與平面DAE垂直.求證：平面DAE.

【答案】證明見解析【解析】過(guò)點(diǎn)B作于M，過(guò)點(diǎn)C作于N，連接MN.

∵平面BAE與平面DAE垂直，平面平面，，平面BAE，∴平面DAE，同理可證平面DAE，∴.又知與全等，∴，∴四邊形BCNM是平行四邊形，∴.又平面DAE，平面DAE，∴平面DAE.9．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)校考三模）如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，證明：平面

【答案】證明見解析【解析】明：取的中點(diǎn)，連接，．

因?yàn)椋謩e是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．因?yàn)椋矫?，且，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面?0．（2023·河南洛陽(yáng)）如圖，平面ABCD是圓柱OO?的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，AB=AD=2，求證：GH∥平面ABCD

【答案】證明見解析【解析】由題意知，平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，平面，所以平面?1．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，M，N分別為，AC的中點(diǎn)，求證：平面

【答案】證明見解析【解析】取AB的中點(diǎn)為K，連接MK，NK，由三棱柱得：四邊形為平行四邊形，因?yàn)镸是中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，同理得平面，又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，故平面平面，平面MKN，故平面；

12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，，求證：平面平面

【答案】證明見解析【解析】在圓柱中，,平面,平面,故平面；連接，因?yàn)榈妊菪螢榈酌鎴A的內(nèi)接四邊形，，

故，則為正三角形，故，則，平面,平面,故平面；又平面，故平面平面.13．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在幾何體中，四邊形是等腰梯形，，分別是，的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見解析；【解析】取的中點(diǎn)，連接,，因?yàn)?分別是,中點(diǎn)，則，而平面平面，于是平面，，同理平面，又平面，因此平面平面，又平面，所以平面.14．（2023春·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，在四面體中，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，證明：平面【答案】證明見解析【解析】因?yàn)辄c(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以平面，平?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面平?又平面，所以平面.15．（2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．(1)求證：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)镸B//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．因?yàn)锳MND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．（2）因?yàn)锳MND是矩形，所以AM⊥MN．因?yàn)槊鍭MND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．因?yàn)镸C⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，因?yàn)锳C面AMC，所以BC⊥AC．16．（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，為棱的中點(diǎn)，在直線上找一點(diǎn)，使得直線平面，并說(shuō)明理由【答案】當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面，理由見解析【解析】如圖取的中點(diǎn)，連接、，此時(shí)平面，證明如下：因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又，，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，即當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)平面.17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)∴GH是的中位線，∴GHB1C1，又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．（2）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EFBC，∵平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF平面BCHG，∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，，∴A1GEB，，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1EGB，∵平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E平面BCHG，∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG.18．（2023·安徽）已知四棱錐中，底面為平行四邊形，，分別為，的重心，求證：平面【答案】證明見解析【解析】延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，如圖所示：因?yàn)榉謩e為和的重心，所以分別為的中點(diǎn)，且，又因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?9．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所求，四棱錐，底面為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在上滿足平面，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)2【解析】（1）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，因在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則FO.又平面，平面，故平面；（2）如圖連結(jié)交延長(zhǎng)線于，連結(jié)交于，連結(jié)，，，EN.因，則四點(diǎn)共面.又平面，平面平面，則，四邊形為平行四邊形，可得為中點(diǎn).則為BG中點(diǎn).即EN為中位線，則ENPG，.又DN，則四邊形EFDN為平行四邊形，ENFD.從而FDPG，.20．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）在如圖的空間幾何體中，是等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，為的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見解析【解析】法一：證明：取中點(diǎn)為，連接和，則，平面，平面，平面，又，故,即四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面,平面平面，平面平面.又平面平面.法二：取中點(diǎn)，連接,分別是的中點(diǎn)，，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面.21．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑，弦上是否存在點(diǎn)D，使得平面，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】存在，理由見解析【解析】當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：取AB的中點(diǎn)D，連接OD，∵O，D分別為，的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面，又∵，平面，平面，∴平面，，平面，∴平面平面，由于平面，故平面.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【解析】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.

（2）由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.23．（2023·海南）如圖所示，直三棱柱中，，，、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求證：平面平面；(4)求與的夾角．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析(4)【解析】（1）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，所以平面；（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所?（3）連接，在直三棱柱中，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以且，且，所以四邊形、為平行四邊形，所以，，又平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.（4）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，又平面，平面，所以，所以，所以與的夾角為.

24．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正三角形中，、、分別是、、邊上的點(diǎn)，滿足：：：：如圖將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)如圖

(1)求證：平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）：：，，平面，平面，平面；（2）不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為，在圖中，取的中點(diǎn)，連結(jié)，：：：，，而，是正三角形，又，，在圖中，，，為二面角的平面角，由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，，又、平面，，平面，即平面；25．（2023·河北·校聯(lián)考一模）如圖，在三棱錐中，平面平面，若為等邊三角形，為等腰直角三角形，且，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段上，且，證明：⊥平面

【答案】證明見解析【解析】如圖，取的中點(diǎn)G，由可得，由可得D為的中點(diǎn)，由E為的中點(diǎn)可得為的中位線，∴，∴，∵E為的中點(diǎn)，，∴，∵平面平面，且平面平面，PE在面PAC內(nèi)，∴平面，而平面，∴，又，且平面，∴⊥平面.26．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，在上且滿足，求證：平面平面

【答案】證明見解析【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，又，可得四邊形為正方形，，，，為的中點(diǎn)，，因?yàn)?，平面，平面，又平面平面平?

27．（2023春·江蘇無(wú)錫·）如圖，在多面體中，平面平面，，，，，)求證：【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)榍?，所以四邊形為直角梯形，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，可得，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，又由平面，所?28．（2023春·山西太原·）如圖，已知直三棱柱，O，M，N分別為線段，，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，，若，試證

【答案】證明見解析【解析】在中，∵O為BC中點(diǎn)且，∴，∵平面平面，平面平面，平面且，∴平面，平面，∴.∵M(jìn)，N分別為，的中點(diǎn)，∴，∴.在直角和直角中，∵，，∴，∴，∴，∴，平面，，∴平面，平面，∴.29．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，求證：

【答案】證明見解析【解析】連接與相交于點(diǎn)，如下圖所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四邊形為菱形，即又，且平面，平面，又平面，.30．（2023春·河北石家莊）如圖，在直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)．求證：平面.

【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)?，，則，所以，，在直三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，連接，如下圖所示：

因?yàn)槠矫?，平面，所以，，同理，在?cè)面內(nèi)，則，又因?yàn)?，所以，四邊形為正方形，故，因?yàn)?，、平面，因此，平?31．（2022秋·湖南益陽(yáng)）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見解析【解析】因?yàn)?，，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗睦忮F的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因?yàn)榈酌妫酌?，所以，而平面，所以平面?2．（2023云南）如圖，四棱柱的底面為菱形，底面，，E，F(xiàn)分別是CD，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）取的中點(diǎn)G，連接FG，GE，如下圖所示：

因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以FG是的中位線，所以，，又四棱柱的底面為菱形，所以，，又E是CD的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形GEDF是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）連接AC，在菱形ABCD中，，則.所以是等邊三角形，所以，即.又平面ABCD，平面ABCD，所以，又，AB，平面，所以平面，平面，所以平面平面33．（2023春·湖北）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，，

(1)證明：EA∥平面BCF；(2)證明：平面EAC⊥平面FAC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）在正方形ABCD中，，又由AD?平面ADE，BC平面ADE，故BC//平面ADE.∵，同理可證FB//平面ADE，又∵，BC，BF?平面BCF，∴平面ADE//平面BCF，又∵EA?平面ADE，∴平面BCF（2）如圖，

連接BD交AC于O，連接OE,OF.設(shè)，則由ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以，又，且，ED，BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，又OE，OF?平面BDEF，所以，所以∠EOF是二面角的平面角，在三角形EOF中，，所以，所以，二面角是直二面角，即證平面EAC⊥平面FAC.34．（2023·全國(guó)·北京）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，已知，且平面，，．在線段FG上確定一點(diǎn)M使得平面平面PFG，并說(shuō)明理由；

【答案】為中點(diǎn)，理由見解析【解析】為中點(diǎn)，證明如下：連接，，過(guò)作于，于是在中，，，故；在中，，，故所以，為等腰三角形又平面，所以，為等腰三角形故在等腰三角形和等腰三角形中有，又，且，平面平面，又平面，平面平面．

35．（2023·全國(guó)·安徽）如圖，在四棱錐中，為線段的中點(diǎn)，，證明：.

【答案】證明見解析【解析】連接，設(shè)，則有，又在中，，則，，等腰中，，，則

，則中，，則，又，，平面，平面，又平面，.1．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)，若，平面，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】如圖，分別取棱，的中點(diǎn)，，連接，，．因?yàn)檎襟w中，，所以平面內(nèi)兩相交直線，與平面平行所以平面，則點(diǎn)在線段上．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接DH，則，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，．故選：B.2．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知四棱錐的所有棱長(zhǎng)相等，M，N分別是棱PD，BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．面C． D．面【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面，直線，平面，所以與是異面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取為的中點(diǎn)，連接，所以，，又，，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以面，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，若面，面，所以，因?yàn)樗睦忮F的所有棱長(zhǎng)相等，所以底面是正方形，取為的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，平面，所以，又，所以，這與為等邊三角形矛盾，故不垂直于平面，故D錯(cuò)誤.故選：BC.

3．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，已知是平行四邊形，點(diǎn)P是平面外一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)G，過(guò)G和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是_________．

【答案】平行【解析】連接交于，連結(jié)，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以為中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；因?yàn)槠矫?，又過(guò)和作平面交平面于，即平面平面，且平面，所以.故答案為：平行.

4．（2023·海南）正方體的平面展開圖如圖所示，在這個(gè)正方體中，①與平行；②與是異面直線；③與平面平行；④平面與平面平行．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_________．

【答案】③④【解析】由展開圖得到正方體的直觀圖如圖，對(duì)①，與異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，連接，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以與平行，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，連接，同②的方法可證四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故③正確；同②的方法可證四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，面，所以平面平面，故④正確.故答案為：③④.

5．（2023·山東）如圖所示的是正方體的平面展開圖．有下列四個(gè)命題：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．其中，正確命題的序號(hào)是________．【答案】①②③④【解析】由正方體的平面展開圖還原幾何體如下所示：對(duì)于①，根據(jù)正方體的幾何特點(diǎn)，平面顯然與平面平行，進(jìn)而BM平行平面DE，故①正確；對(duì)于②，連接，如下，在四邊形中，因?yàn)?/，故四邊形為平行四邊形，故//，又平面，平面，故//平面，故②正確；對(duì)于③，連接，顯然四邊形為平行四邊形，故//，又面面，故//面，顯然四邊形為平行四邊形，故//，又面面，故//面，又面，故面//面，故③正確；對(duì)于④，連接，顯然四邊形為平行四邊形，故//，又面面，故//面，顯然四邊形為平行四邊形，故//，又面面，故//面，又面，故面//面，故④正確．故答案為：①②③④．6．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，、、分別是正方體的棱、、的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，平面.若，則___________.【答案】【解析】設(shè)，其中，，，，因?yàn)槠矫?，則、、共面，顯然、不共線，所以，存在、，使得，即，因?yàn)闉榭臻g中的一組基底，所以，，解得，因此，.故答案為：.7．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，則在面內(nèi)，由，則，又，所以，可得，由，G在上且，故為平行四邊形，則，且，又共線，所以，且，故為平行四邊形，則，由平面，平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)N，則，且，所以為平行四邊形，則，在平面內(nèi)，過(guò)G作FB的平行線交AB于P，所以與所成的角，即為與所成角，則，平面，平面，則，而，設(shè)，則△中，，，則為等邊三角形，故，即，所以在中，P為的中點(diǎn)，且，故為的中位線，所以，易知多面體為棱臺(tái)，且，且，體積．8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD與平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且.

(1)求證：平面AEC；(2)求證：平面AEC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）

如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O為正方形ABCD的中心，連接OE，不妨令.則.∵四邊形ABCD為正方形，∴.∵平面ABCD，且平面平面，面，∴，∴，，即四邊形BOEF為平行四邊形，∴.又平面AEC，平面AEC，∴平面AEC.（2）連接OF.∵，且，，∴四邊形ODEF為菱形.∵平面ABCD，∴四邊形ODEF為正方形，∴.又四邊形ABCD為正方形，∴.∵平面ABCD，平面ABCD，∴.而，且平面BDEF，平面BDEF，∴平面BDEF.∵平面BDEF，∴.又，OE，平面AEC，∴平面AEC.9．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，，證明：平面【答案】證明見解析【解析】如圖1，取中點(diǎn)為，連結(jié).由三棱柱的性質(zhì)可知，，，，.因?yàn)?，，所以?又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?因?yàn)槠矫妫云矫?10．（2023春·陜西榆林）如圖所示，四棱錐中，點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），，．

求證：平面平面；【答案】證明見解析【解析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．

，，則有，由題意得，，且，∴在中，由余弦定理得，則，∵，∴．，得，且，則四邊形為矩形，∴．在中，，∴，而，，平面，∴平面，而平面，故平面平面．11．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)證明：；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由題知，在三棱柱中，因?yàn)?，，平面，所以四邊形是正方形，，又平面，則，又平面，，則平面，又是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則，所以平面，又平面，則，又平面，，則平面，又平面，則.（2