專題10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差（解析版）

專題10.6離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望與方差題型一離散隨機(jī)變量題型二求分布列題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用題型四求離散隨機(jī)變量的均值與方差題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用題型六決策問題題型一 離散隨機(jī)變量例1．下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個(gè)黑球個(gè)紅球，任取個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，等出租車的事件是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)是有限個(gè)或可列舉的無限多個(gè)，是離散型隨機(jī)變量，C正確；對(duì)于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤.故選：C.例2．（多選）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量，其中是離散型隨機(jī)變量的為（）A．高速公路某收費(fèi)站在未來1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)XB．一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在該直線上的位置YC．某景點(diǎn)7月份每天接待的游客數(shù)量D．某人一生中的身高X【答案】AC【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：收費(fèi)站在未來1小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X有限，且可一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故A正確對(duì)于選項(xiàng)C：某景點(diǎn)7月份每天接待的游客數(shù)量有限，且可一一列出，是離散型隨機(jī)變量，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B、D，都是某一范圍內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，無法一一列出，不符合離散型隨機(jī)變量的定義，故B、D錯(cuò)誤．故選：AC.練習(xí)1．下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選：B．練習(xí)2．(多選題)下列變量：①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量為；②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為；③某水電站觀察到一天中長(zhǎng)江的水位為；④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為.其中是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的【答案】ABD【分析】利用離散型隨機(jī)變量的概念，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得解.【詳解】因?yàn)樗腥≈悼梢砸灰涣谐龅碾S機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量，而①②④中的隨機(jī)變量的可能取值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此它們都是離散型隨機(jī)變量；而③中的可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，因此它不是離散型隨機(jī)變量.故選：ABD.練習(xí)3．(多選)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局平兩局【答案】BC【分析】列舉出的所有可能的情況，由此得解.【詳解】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：BC．練習(xí)4．下列隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的是，是連續(xù)型隨機(jī)變量的是（填序號(hào)）．①某機(jī)場(chǎng)候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量X；②某水文站觀察到一天中江水的水位X；③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X；④某大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.【答案】①③④②【分析】利用離散型隨機(jī)變量的定義與連續(xù)型隨機(jī)變量的定義判斷求解．【詳解】①③④中的隨機(jī)變量的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機(jī)變量；②中的隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，故是連續(xù)型隨機(jī)變量．故答案為：①③④，②練習(xí)5．盒中有9個(gè)正品和3個(gè)次品零件，每次從中取一個(gè)零件，如果取出的是次品，則不再放回，直到取出正品為止，設(shè)取得正品前已取出的次品數(shù)為.(1)寫出的所有可能取值;(2)寫出所表示的事件.【答案】(1)的所有可能取值為(2)表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”【分析】（1）（2）利用離散型隨機(jī)變量的定義即可求解.【詳解】（1）因?yàn)橐还灿?個(gè)正品，3個(gè)次品零件，所以取得正品前已取出的次品數(shù)可能為，即的所有可能取值為.（2）依題意，可知表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”.題型二 求分布列例3．（多選）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ的分布列，求出隨機(jī)變量的分布列，再找出滿足的即可.【詳解】由隨機(jī)變量的分布列，知：的可能取值為，且，，，，則，.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.例4．不透明的盒子中有個(gè)球，其中個(gè)綠球，個(gè)紅球，這個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個(gè)球，取出紅球即停.記為此過程中取到的綠球的個(gè)數(shù).(1)求；(2)寫出隨機(jī)變量的分布列，并求.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得的值；（2）分析可知，的可能取值有、、、、，求出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）解：表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，所以，.（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，練習(xí)6．某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值，則等于．【答案】1.48【分析】ξ的取值有1，3，計(jì)算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.【詳解】隨機(jī)變量ξ的取值有1，3兩種情況，表示三個(gè)景點(diǎn)都游覽了或都沒有游覽，所以，，所以隨機(jī)變量的分布列為：130.760.24．故答案為：1.48.練習(xí)7．?dāng)S兩顆骰子，用X表示兩點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值.求X的分布.【答案】答案見詳解.【分析】通過列舉法求概率，然后可得分布列.【詳解】記擲兩顆骰子所得點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則樣本空間，X的取值為.當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以.所以，X的分布列為：X012345P練習(xí)8．同時(shí)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為，記．(1)求X的概率分布；(2)求.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：X的可能取值為1，2，3，4，5，6，結(jié)合古典概型求分布列；（2）根據(jù)題意可知，結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）依題意易知拋擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有36種等可能的情況：．因而X的可能取值為1，2，3，4，5，6，詳見下表：X的值出現(xiàn)的點(diǎn)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)1123354759611由古典概型可知X的概率分布如下表所示．X123456P（2）由題意可知：.練習(xí)9．同學(xué)甲進(jìn)行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個(gè)關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個(gè)關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進(jìn)入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進(jìn)入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進(jìn)行．(1)同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過兩個(gè)關(guān)卡的概率；(2)同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）在游戲終止時(shí)成功通過兩個(gè)關(guān)卡，即各關(guān)前投幣均正面向上，且兩關(guān)卡都成功通過；（2）按求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟進(jìn)行，同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)的值為0，1，2，明確各取值所表示的意義，再求概率取值，最后寫出分布列即可.【詳解】（1）同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過兩個(gè)關(guān)卡的概率．（2）同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)的值為0，1，2，，，，所以同學(xué)甲成功通過關(guān)卡的個(gè)數(shù)的分布列為：012P練習(xí)10．某廠家為增加銷售量特舉行有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，即每位顧客購(gòu)買該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).在一個(gè)不透明的盒子中放有四個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標(biāo)有1，2，3，5四個(gè)數(shù)字，抽獎(jiǎng)規(guī)則為：每位顧客從盒中一次性抽取兩個(gè)小球，記下小球上的數(shù)字后放回，記兩個(gè)小球上的數(shù)字分別為，，若為奇數(shù)即為中獎(jiǎng).(1)求某顧客甲獲獎(jiǎng)的概率；(2)求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意可知，和必為一奇一偶才能中獎(jiǎng)，所以共有種中獎(jiǎng)情況，即可求得概率；（2）的可能取值為1，2，3，4，分別求得各取值的概率即可列出分布列并求期望值.【詳解】（1）設(shè)事件：某顧客甲獲獎(jiǎng)，即為奇數(shù)，所以，必為一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，則，所以某顧客甲獲獎(jiǎng)的概率為.（2）由題意，的可能取值為1，2，3，4.所以，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為：1234所以題型三 分布列的性質(zhì)應(yīng)用例5．（多選）隨機(jī)變量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且，X246Pabc則（）A．a(chǎn)＋b＋c＝1 B．C． D．【答案】ABD【分析】由概率的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件求出的值可求解.【詳解】由概率的性質(zhì)可得，由得，故選：ABD.例6．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012Pb則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合方差的公式、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，故選：A練習(xí)11．已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)即概率和等于1，可求得的值，又由，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)，則有，解得，故..故選：C.練習(xí)12．下列表中能稱為隨機(jī)變量X的分布列的是（

）A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7C．X01P0.30.40.3D．X123P0.30.40.4【答案】C【分析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負(fù)且和為1，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，故C正確；對(duì)于D，由，故D錯(cuò)誤.答案：C練習(xí)13．已知隨機(jī)變量的分布列為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，求得參數(shù)值，結(jié)合互斥事件的概率公式，可得答案.【詳解】由題意，則，解得，.故選：A.練習(xí)14．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：12345678910P且數(shù)列滿足，則．【答案】5.5/【分析】令，即可得到，再根據(jù)分布列的性質(zhì)得到，從而求出數(shù)學(xué)期望；【詳解】解：令，2，3，，，則，即，，2，3，，，又，所以，所以故答案為：練習(xí)15．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，為常數(shù)，，，，，則．【答案】【分析】由概率之和為1以及數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由題意知：隨機(jī)變量的所有可能取值的概率和為1，即，則，由等比數(shù)列的求和公式，得，所以，得.故答案為：題型四 求離散隨機(jī)變量的均值與方差例7．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出隨機(jī)變量的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)期望與方差公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，可取，，，則，.故選：D.例8．甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，則ξ的方差為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到的取值為0，1，2，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望，再計(jì)算方差即可.【詳解】由題意可知：乙投籃的次數(shù)ξ的取值為0，1，2.則，，.故的分布列為012P則，所以.故答案為：練習(xí)16．（多選）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下：ξ012P0.50.5－xx則當(dāng)x在內(nèi)增大時(shí)（

）A．減小 B．增大C．減小 D．增大【答案】BD【分析】根據(jù)分布列，利用公式得到和的算式，由函數(shù)思想判斷變化情況.【詳解】，由隨機(jī)變量的分布列，得：，，當(dāng)x在內(nèi)增大時(shí)，增大，增大．故選：BD.練習(xí)17．隨機(jī)變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的期望，則其方差＝．【答案】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，分布列中概率和為1以及均值的計(jì)算公式構(gòu)建方程求得，，，再由方差的計(jì)算公式求得答案.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，又由分布列的性質(zhì)，則，所以得，又因?yàn)殡S機(jī)變量的均值且,故解得，，所以.故答案為：.練習(xí)18．第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉辦．中國(guó)田徑隊(duì)擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級(jí)才能進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級(jí)的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級(jí)與否互不影響．(1)試比較甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的可能性大??；(2)若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望．【答案】(1)，即進(jìn)入決賽的可能性甲丙乙.(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)題意求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪中均獲勝的概率并比較大小即可；（2）根據(jù)題意先求出與所有的可能取值，然后分別求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，并計(jì)算出期望即可求解.【詳解】（1）甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，因?yàn)?，所以，所以，即甲進(jìn)入決賽的可能性最大.（2）設(shè)甲、乙、丙都進(jìn)入決賽的概率為，則，且，解得，所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，兩輪中均獲勝的概率為，進(jìn)入決賽的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為0123所以.練習(xí)19．甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場(chǎng)比賽甲獲勝的概率；(2)這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.【答案】(1)0.648(2)1.5(3)0.57【分析】（1）寫出甲勝利的情況，結(jié)合組合公式和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；（2）設(shè)甲所勝的局?jǐn)?shù)為，計(jì)算分布列，再利用期望公式即可得到答案；（3）利用方差公式即可得到答案.【詳解】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.甲勝概率為：.則甲勝利的概率為.（2）設(shè)甲所勝的局?jǐn)?shù)為，.，，，則分布列為：0120.160.1920.648所以.（3）.練習(xí)20．喜迎新學(xué)期，高三一班、二班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，賽制規(guī)定：共進(jìn)行5輪比賽，每輪比賽每個(gè)班可以從兩個(gè)題庫(kù)中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫(kù)，后三輪比賽中每個(gè)班的題目必須來自同一題庫(kù)，題庫(kù)每題20分，題庫(kù)每題30分，一班能正確回答題庫(kù)每題的概率分別為、，二班能正確回答題庫(kù)每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響．(1)若一班前兩輪選題庫(kù)，后三輪選題庫(kù)，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了題庫(kù)，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成題庫(kù)，二班后三輪不更換題庫(kù)，設(shè)一班最后的總分為，求的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個(gè)班贏下這場(chǎng)比賽？【答案】(1)(2)分布列見解析，一班贏下這場(chǎng)比賽.【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）由題意求出兩個(gè)班的總分可能取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，并根據(jù)期望的概念求出期望，比較大小即可判斷.【詳解】（1）由條件知，若一班在前兩輪得20分，后三輪得90分，總分為110分，其概率為，若一班在前兩輪得40分，后三輪得60分或90分，總分為100或130分，其概率為，于是一班總分不少于100分的概率為.（2）由條件知，隨機(jī)變量X可能取值為60，80，100，120，，，，．所以X的分布列為：X6080100120P，

設(shè)二班最后的總分為Y，Y可能取值為30，60，90，120，，，，，的分布列：，

因?yàn)椋詮目偡值木祦砼袛?，一班贏下這場(chǎng)比賽.題型五 均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用例9．設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當(dāng)從0增大到1時(shí)（

）012A．增大 B．減小C．先減后增 D．先增后減【答案】D【分析】首先根據(jù)期望公式得，再根據(jù)方差計(jì)算公式得的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由分布列可得,則，因?yàn)?，所以先增后減，故選：D.例10．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列為若隨機(jī)變量，，，則下列選項(xiàng)正確的為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先利用分布列的性質(zhì)求出，再利用均值和方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意，由分布列可得，解得，A正確；，，因?yàn)?，所以，，解得，，B錯(cuò)誤，C正確；所以隨機(jī)變量的分布列為：由分布列可知D正確；故選：ACD練習(xí)21．（多選）已知離散型隨機(jī)變量的分布列為若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．0 C． D．【答案】AB【分析】先求得，然后根據(jù)概率、期望、方差的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由，所以，所以A選項(xiàng)正確.，所以，對(duì)應(yīng)概率為0，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以，所以B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB練習(xí)22．（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布可得期望與方差，再結(jié)合期望、方差的性質(zhì)運(yùn)維求解.【詳解】由題意可知：，隨機(jī)變量X的分布列為X01P由兩點(diǎn)分布可知：，故A正確，D錯(cuò)誤；所以，，故B正確，C錯(cuò)誤；故選：AB.練習(xí)23．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）02A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式求出，即可求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)得到，再求出分布列，即可求出與.【詳解】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，故A正確；則，故C正確；所以的分布列為：02P則，，故B錯(cuò)誤；所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.練習(xí)24．（多選）設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，若用隨變量描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，，分別為隨機(jī)變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出試驗(yàn)成功的概率，然后一次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為X概率，最后求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望、方差，逐個(gè)選項(xiàng)分析即可；【詳解】設(shè)試驗(yàn)成功的概率為，解得：；記一次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為X，則的取值有0,1，,選項(xiàng)A正確；X01則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC.練習(xí)25．已知隨機(jī)變量的分布列為012(1)求的值；(2)求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分布列的性質(zhì)即可得解；（2）利用隨機(jī)變量的期望公式可得答案；（3）法一：利用即可得解；法二：利用隨機(jī)變量的期望公式可得答案.【詳解】（1）依題意，由分布列得，解得，所以的值為.（2）由（1）得.（3）法一：因?yàn)?，所?法二：因?yàn)椋缘姆植剂腥缦拢核?題型六 決策問題例11．從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為；乙全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對(duì)于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，請(qǐng)你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.（2）分別求出選擇1,2,3個(gè)選項(xiàng)三個(gè)情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.【詳解】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：：甲四道全對(duì)；乙一道全對(duì)，一道部分選對(duì)，兩道選錯(cuò)，即甲得20分，乙得7分.：甲三道全對(duì)，一道部分選對(duì)；乙兩道部分選對(duì)，兩道選錯(cuò)，即甲得17分，乙得4分.：甲三道全對(duì)，一道選錯(cuò)；乙一道部分選對(duì)，三道選錯(cuò)，即甲得15分，乙得2分.....（2）若為甲出方案.則甲可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，則期望為.記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，，，此時(shí)期望為.記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5，，此時(shí)期望為.∵，.∴甲應(yīng)選擇1個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).若為乙出方案.則乙可能的選項(xiàng)個(gè)數(shù)為：1，2，3.記表示選1個(gè)選項(xiàng)的得分，類比甲的情況，則記表示選2個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，2，5，此時(shí).記表示選3個(gè)選項(xiàng)的得分，則得分可能為0，5，此時(shí).∵.∴當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī).當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇3個(gè)選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績(jī)，當(dāng)時(shí)，乙應(yīng)選擇2或3個(gè)選項(xiàng)都有希望得到更理想的成績(jī).例12．核酸檢測(cè)也就是病毒和的檢測(cè)，是目前病毒檢測(cè)最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測(cè).通過核酸檢測(cè)，可以檢測(cè)血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測(cè)效率降低檢測(cè)成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，從標(biāo)本中隨機(jī)取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測(cè)，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測(cè)；若結(jié)果為陽(yáng)性，需對(duì)該組標(biāo)本逐一檢測(cè).以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果：份陽(yáng)性，份陰性.若每次檢測(cè)費(fèi)用為元（為常數(shù)），記檢測(cè)的總費(fèi)用為元.(1)當(dāng)時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)以檢測(cè)成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(2)時(shí)的方案更好一些【分析】（1）分成份陽(yáng)性在一組和份陽(yáng)性各在一組兩種情況，由此可確定檢測(cè)次數(shù)及所有可能的取值，計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率即可得到分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得；（2）與（1）的方法相同，計(jì)算出時(shí)檢測(cè)費(fèi)用的取值和對(duì)應(yīng)概率，由此可得分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得，根據(jù)可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，共分組，當(dāng)份陽(yáng)性在一組時(shí)，第一輪檢測(cè)次，第二輪檢測(cè)次，共檢測(cè)次，若份陽(yáng)性各在一組，第一輪檢測(cè)次，第二輪檢測(cè)次，共檢測(cè)次，檢測(cè)的總費(fèi)用的所有可能值為，，任意檢測(cè)有種等可能結(jié)果，份陽(yáng)性在一組有種等可能結(jié)果，，，檢測(cè)的總費(fèi)用的分布列為：數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)時(shí)，共分組，當(dāng)份陽(yáng)性在一組，共檢測(cè)次，若份陽(yáng)性各在一組，共檢測(cè)次，檢測(cè)的總費(fèi)用的所有可能值為，，任意檢測(cè)有種等可能結(jié)果，份陽(yáng)性在一組有種等可能結(jié)果，，，檢測(cè)的總費(fèi)用的分布列為：數(shù)學(xué)期望，，時(shí)的方案更好一些.練習(xí)26．王師傅用甲、乙兩臺(tái)不同型號(hào)的車床加工某種零件，已知用甲車床加工的零件合格的概率為，用乙車床加工的零件合格的概率為，且每次加工的零件是否合格相互獨(dú)立．(1)若王師傅用甲、乙車床各加工2個(gè)零件，求他加工的零件恰好有3個(gè)合格的概率；(2)若王師傅加工3個(gè)零件，有以下兩種加工方案：方案一：用甲車床加工2個(gè)零件，用乙車床加工1個(gè)零件；方案二：每次用一臺(tái)車床加工1個(gè)零件，若加工的零件合格，則下次繼續(xù)用這臺(tái)車床加工，否則下次換另一臺(tái)車床加工，且第一次用甲車床加工．若以加工的合格零件數(shù)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該選用哪種方案？【答案】(1)(2)應(yīng)該選方案二．【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可求概率;（2）利用二項(xiàng)分布及數(shù)學(xué)期望公式求離散型隨機(jī)變量的期望，進(jìn)而進(jìn)行決策．【詳解】（1）設(shè)“加工的零件恰好有3個(gè)合格”為事件A，則．（2）記王師傅用方案一加工的合格零件數(shù)為X，由題意知用甲車床和乙車床加工的合格零件數(shù)分別服從二項(xiàng)分布和，故．記王師傅用方案二加工的合格零件數(shù)為Y，Y的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．所以．因?yàn)?，所以?yīng)該選方案二．練習(xí)27．2022年5月14日6時(shí)52分，編號(hào)為B-001J的C919大飛機(jī)從上海浦東機(jī)場(chǎng)第4跑道起飛，于9時(shí)54分安全降落，標(biāo)志著中國(guó)商飛公司即將交付首家用戶的首架C919大飛機(jī)首次飛行試驗(yàn)圓滿完成．C919大飛機(jī)某型號(hào)的精密零件由甲、乙制造廠生產(chǎn)，產(chǎn)品按質(zhì)量分為，，三個(gè)等級(jí)，其中，等級(jí)的產(chǎn)品為合格品，等級(jí)的產(chǎn)品為不合格品．質(zhì)監(jiān)部門隨機(jī)抽取了甲、乙制造廠的產(chǎn)品各400件，檢測(cè)結(jié)果為：甲制造廠的合格品為380件，甲、乙制造廠的級(jí)產(chǎn)品分別為80件、100件，兩制造廠的不合格品共60件．(1)補(bǔ)全下面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)？合格品不合格品合計(jì)甲制造廠400乙制造廠400合計(jì)800(2)若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為200元，每件，等級(jí)的產(chǎn)品出廠銷售價(jià)格分別為400元、320元，等級(jí)的產(chǎn)品必須銷毀，且銷毀費(fèi)用為每件20元．用樣本的頻率代替概率，試比較甲、乙制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利的大?。剑?.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)表格見解析，認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．(2)甲制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利比乙制造廠大．【分析】（1）卡方計(jì)算求解，然后比對(duì)做出判斷即可；（2）列出、的分布列，然后求解期望值比較；【詳解】（1）列聯(lián)表如下合格品不合格品合計(jì)甲制造廠38020400乙制造廠36040400合計(jì)74060800零假設(shè)為：產(chǎn)品的合格率與制造廠無關(guān)，因?yàn)?，根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（2）對(duì)于甲制造廠，抽到的400件產(chǎn)品中有等級(jí)產(chǎn)品80件，等級(jí)產(chǎn)品300件，等級(jí)產(chǎn)品20件，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，則可能取得的值為200，120，．，的分布列為2001200.20.750.05所以．對(duì)于乙制造廠，抽到的400件產(chǎn)品中有等級(jí)產(chǎn)品100件，等級(jí)產(chǎn)品260件，等級(jí)產(chǎn)品40件，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，則可能取得的值為200，120，．，的分布列為2001200.250.650.1所以．因?yàn)?，所以甲制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利比乙制造廠大．練習(xí)28．某公司對(duì)新生產(chǎn)出來的300輛新能源汽車進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測(cè)不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質(zhì)檢員檢測(cè)不合格的汽車需要重新由甲、乙兩人各進(jìn)行一次質(zhì)量檢測(cè)，重新檢測(cè)后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測(cè)不合格，也會(huì)被列為不合格汽車．假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測(cè)相互獨(dú)立，每一次檢測(cè)不合格的概率為(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率p；(2)每輛汽車不需要重新檢測(cè)的費(fèi)用為60元，需要重新檢測(cè)的前后兩輪檢測(cè)的總費(fèi)用為100元，求每輛汽車需要檢測(cè)的費(fèi)用X的分布列及數(shù)學(xué)期望．(3)公司對(duì)本次質(zhì)量檢測(cè)的預(yù)算支出是4萬元，若300輛汽車全部參與質(zhì)量檢測(cè)，實(shí)際費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算?【答案】(1)(2)分布列見解析，（元）(3)實(shí)際費(fèi)用估計(jì)不會(huì)超過預(yù)算．【分析】（1）直接利用概率加法公式和獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可，（2）設(shè)每輛汽