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2025年“數(shù)海漫游”第一次模擬考試數(shù)學一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合合題目要求的.1.()A.0 B.1 C.2024 D.20252已知,,則()A1 B.2 C. D.3.已知長方體中,,則四面體的體積是()A. B.16 C. D.324.設(shè),是單位向量,則的最小值是()A. B.0 C. D.15.天上有三顆星星,地上有四個孩子.每個孩子向一顆星星許愿,如果一顆星星只收到一個孩子愿望,那么該愿望成真,若一顆星星收到至少兩個孩子的愿望,那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真,則至少有兩個孩子愿望成真的概率是()A B. C. D.6.若數(shù)列滿足:對于任意正整數(shù)n,,則稱,互為交錯數(shù)列.記正項數(shù)列的前n項和為,已知1,,成等差數(shù)列,則與數(shù)列互為交錯數(shù)列的是()A. B. C. D.7.已知,分別為橢圓C:的左右焦點,過的一條直線與C交于A,B兩點,且,,則橢圓長軸長的最小值是()A. B. C.6 D.8.已知,則()A. B.C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐標系xOy中,且AC:,則直線AB的方程可能為()A B.C. D.10.已知模長均為1的復(fù)數(shù),滿足,則()A. B.C. D.11.如圖,小黃家的墻上固定了一盞圓錐(截面為等腰直角三角形)形狀的燈,燈光可以照亮的部分是個無限大的圓臺,其截面的邊界分別垂直于PA,PB.已知墻與地板垂直,燈向上或向下轉(zhuǎn)動的極限均為45°(即AB可以繞O點順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)45°).若地板和墻都充分大,則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有()A.橢圓 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.一條直線三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,,,構(gòu)成等比數(shù)列,則的值是______.(任寫出一個即可)13.已知a,b,,二次函數(shù)有零點,則的最小值是______.14.若兩個體積相等的圓錐底面半徑之比為2,則它們表面積之比的取值范圍是______.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四面體ABCD中,P是內(nèi)部或邊界上一點,滿足,.(1)證明:當取最小值時,;(2)設(shè),求的取值范圍.16.設(shè),函數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)求的最大值.17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化,國內(nèi)演唱會市場迅速升溫,一眾熱門歌手的演唱會現(xiàn)場更是“一座難求”.小林是林俊杰的粉絲,他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會-杭州站.主辦方被小林的真誠打動,特為小林開辟了一個搶票通道,共100人從該通道參與搶票,每個人能搶到票的概率均,且搶票結(jié)果相互獨立(1)為保證該搶票通道不會出現(xiàn)故障(不存在搶到票卻沒有座位的人),主辦方至少要為該通道預(yù)留多少張票;(2)由于主辦方非常喜歡小林創(chuàng)立的數(shù)海漫游微信公眾號,于是允許多個人幫小林一同搶票,但如果存在兩個人都幫小林搶到了票(包括小林自己),則小林因為“一人多票”,無法觀看演出.那么,你建議小林額外找?guī)讉€人幫他一起搶票呢?請說明理由.18.已知P為雙曲線C:上一點,O為坐標原點,線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切.(1)若點P是直線與圓的交點,求a;(2)求的取值范圍.19.設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且各項均為正整數(shù),數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前n項和為.若存在正整數(shù),使得,則
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