蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題3.3勾股定理的簡單應(yīng)用特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題3.3勾股定理的簡單應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【典例剖析】【例1】（2018秋?盱眙縣期中）學(xué)過《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學(xué)興趣小組來到操場上測量旗桿的高度．小華測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米（如圖，小明拉著繩子的下端往后退，當(dāng)他將繩子拉直時(shí)，小凡測得此時(shí)小明拉繩子的手到地面的距離為1米，到旗桿的距離為8米（如圖．（1）設(shè)長為米，繩子為米，為米（用的代數(shù)式表示）；（2）請你求出旗桿的高度．【變式1.1】（2021秋?常州期中）如圖，某小區(qū)有兩個(gè)噴泉，，兩個(gè)噴泉的距離長為．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道，，供水點(diǎn)在小路上，供水點(diǎn)到的距離的長為，的長為．（1）求供水點(diǎn)到噴泉，需要鋪設(shè)的管道總長；（2）求噴泉到小路的最短距離．【變式1.2】（2020秋?新吳區(qū)期中）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步恰竿齊，五尺板高離地”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺尺），將它往前推進(jìn)兩步尺），此時(shí)踏板升高離地五尺尺），求秋千繩索或的長度．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?溧陽市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是A．16米 B．20米 C．24米 D．25米2．（2021秋?宜興市期中）如圖，有兩棵樹，一棵高19米，另一棵高10米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行A．10米 B．15米 C．16米 D．20米3．（2021秋?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺4．（2021秋?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.555．（2021秋?常州期中）為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備舉辦新年晚會，大林搬來一架高為2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米的墻上，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，但高度不夠．要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動(dòng)（人的高度忽略不計(jì)）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米6．（2021秋?灌云縣期中）在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹，在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米，大樹倒下時(shí)能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？（不考慮房屋高度）A．一定不會 B．可能會 C．一定會 D．以上答案都不對7．（2014秋?無錫校級期中）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計(jì)）范圍是A． B． C． D．8．（2020秋?阜寧縣期中）如圖，長為的橡皮筋放置在直線上，固定兩端和然后把中點(diǎn)豎直向上拉升至點(diǎn)處，則拉長后橡皮筋的長為A． B． C． D．9．（2020秋?玄武區(qū)校級期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙的距離為2寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門檻都為1尺尺寸），則的長是A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸10．（2020秋?江陰市期中）如圖，某小區(qū)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊，，考慮到這塊綠地周圍還有足夠多的空余部分，于是打算將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以為一直角邊的直角三角形，則擴(kuò)充方案共有A．2種 B．3種 C．4種 D．5種二．填空題（共8小題）11．（2021秋?江陰市期中）如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草．則他們僅僅少走了步路．（假設(shè)2步為1米）12．（2021秋?靖江市期中）在一棵樹的5米高處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂后直接躍到處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高米．13．（2020秋?江陰市期中）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)的位置，此時(shí)繩子的長為10米，問船向岸邊移動(dòng)了米．14．（2021秋?南京期中）如圖，在一個(gè)高為，長為的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少是．15．（2017秋?江都區(qū)期中）如圖，將一根長為的吸管，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為，則的取值范圍是．16．（2021秋?靖江市校級期中）《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．17．（2021秋?高郵市期中）一架云梯長25米，如圖靠在墻上，云梯底端離墻15米，現(xiàn)把云梯頂端向上移4米，那么它的底端離墻米．18．（2021秋?鹽都區(qū)期中）如圖所示，是一塊由花園小道圍成的邊長為12米的正方形綠地，在離處5米的綠地旁邊處有健身器材，為提醒居住在處的居民愛護(hù)綠地，不直接穿過綠地從到，而是沿小道從，請問你多走了米．三．解答題（共6小題）19．（2015秋?宜興市校級期中）如圖，有一只小鳥在一棵高的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹，高的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？20．（2020秋?宜興市期中）如圖，，海里，海里，我國釣魚島位于點(diǎn)，我國漁政船在點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自點(diǎn)出發(fā)沿著方向勻速駛向釣魚島所在地點(diǎn)，我國漁政船立即從處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)處截住了漁船．（1）請用直尺和圓規(guī)作出處的位置；（2）求我國漁政船行駛的航程的長．21．（2019春?海安市期中）某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示．已知米，米，米，米，且，求這塊草坪的面積．22．（2021秋?泗陽縣期中）（1）如圖，四邊形是一塊草坪，，，，，，求這塊草坪的面積；（2）若在這塊草坪上修建一個(gè)小噴泉點(diǎn)，使得，請找出小噴泉點(diǎn)的位置，并說明理由．23．（2021秋?靖江市期中）位于沈陽的紅河峽谷漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)拉回點(diǎn)的位置（如圖）．在離水面高度為的岸上點(diǎn)，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開始時(shí)繩子的長為，工作人員以0.35米秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，問此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長是多少？24．（2021秋?泰州期中）如圖，公路和公路在點(diǎn)處交匯，公路上點(diǎn)處有學(xué)校，點(diǎn)到公路的距離為，現(xiàn)有一卡車在公路上以的速度沿方向行駛，卡車行駛時(shí)范圍以內(nèi)都會受到噪音的影響，請你算出該學(xué)校受影響的時(shí)間多長？

【講練課堂】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專題3.3勾股定理的簡單應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【典例剖析】【例1】（2018秋?盱眙縣期中）學(xué)過《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學(xué)興趣小組來到操場上測量旗桿的高度．小華測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米（如圖，小明拉著繩子的下端往后退，當(dāng)他將繩子拉直時(shí)，小凡測得此時(shí)小明拉繩子的手到地面的距離為1米，到旗桿的距離為8米（如圖．（1）設(shè)長為米，繩子為米，為米（用的代數(shù)式表示）；（2）請你求出旗桿的高度．【分析】根據(jù)圖形標(biāo)出的長度，可以知道和的長度差值是1，以及，，從而構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出旗桿的高度．【解答】解：（1）設(shè)長為米，則繩子長為米，的長度為米．故答案是：；；（2）在中，米，米，米，由勾股定理可得，，解得：．答：旗桿的高度為16米．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，表示出與長度利用勾股定理求出，善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關(guān)鍵．【變式1.1】（2021秋?常州期中）如圖，某小區(qū)有兩個(gè)噴泉，，兩個(gè)噴泉的距離長為．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道，，供水點(diǎn)在小路上，供水點(diǎn)到的距離的長為，的長為．（1）求供水點(diǎn)到噴泉，需要鋪設(shè)的管道總長；（2）求噴泉到小路的最短距離．【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理和垂線段解答即可．【解答】解：（1）在中，，，在中，，供水點(diǎn)到噴泉，需要鋪設(shè)的管道總長；（2），，，，是直角三角形，，噴泉到小路的最短距離是．【點(diǎn)評】此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理、逆定理和垂線段解答．【變式1.2】（2020秋?新吳區(qū)期中）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地送行二步恰竿齊，五尺板高離地”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺尺），將它往前推進(jìn)兩步尺），此時(shí)踏板升高離地五尺尺），求秋千繩索或的長度．【分析】設(shè)尺，表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)尺，尺，尺，（尺，尺，在中，尺，尺，尺，根據(jù)勾股定理得：，整理得：，即，解得：．則秋千繩索的長度為14.5尺．【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2021秋?溧陽市期中）一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是A．16米 B．20米 C．24米 D．25米【分析】由題意可知消防車的云梯長、地面、建筑物高構(gòu)成一直角三角形，斜邊為消防車的云梯長，根據(jù)勾股定理就可求出高度．【解答】解：如圖所示，在中，米，米，由勾股定理可得，（米．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021秋?宜興市期中）如圖，有兩棵樹，一棵高19米，另一棵高10米，兩樹相距12米．若一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：如圖，建立數(shù)學(xué)模型，兩棵樹的高度差米，間距米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離米．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解．3．（2021秋?六合區(qū)期中）如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長為14尺，則尺，設(shè)出尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程即可．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，因?yàn)槌撸猿咴凇髦?，，解得，這根蘆葦長25尺，水的深度是（尺，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等知識，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?贛榆區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面尺，則尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：，尺，尺，設(shè)折斷處離地面尺，則尺，在中，由勾股定理得：，解得：，即折斷處離地面4.55尺．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?常州期中）為了迎接新年的到來，同學(xué)們做了許多拉花布置教室，準(zhǔn)備舉辦新年晚會，大林搬來一架高為2.5米的木梯，準(zhǔn)備把拉花掛到2.4米的墻上，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，但高度不夠．要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動(dòng)（人的高度忽略不計(jì)）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米【分析】仔細(xì)分析題意得：梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形，梯高為斜邊，利用勾股定理解此直角三角形即可．【解答】解：梯腳與墻角距離：（米，開始梯腳與墻角的距離為1.5米，要想正好掛好拉花，梯腳應(yīng)向前移動(dòng)：（米．故選：．【點(diǎn)評】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．6．（2021秋?灌云縣期中）在一塊平地上，張大爺家屋前9米遠(yuǎn)處有一棵大樹，在一次強(qiáng)風(fēng)中，這棵大樹從離地面6米處折斷倒下，量得倒下部分的長是10米，大樹倒下時(shí)能砸到張大爺?shù)姆孔訂?？（不考慮房屋高度）A．一定不會 B．可能會 C．一定會 D．以上答案都不對【分析】大樹倒下部分，以為半徑，繞點(diǎn)做圓弧形的運(yùn)動(dòng)，米，10大于9．【解答】解：由勾股定理知：（米．由于，所以大樹倒下時(shí)不能砸到張大爺?shù)姆孔樱蔬x：．【點(diǎn)評】考查了勾股定理在生活中的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．7．（2014秋?無錫校級期中）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計(jì)）范圍是A． B． C． D．【分析】如圖，當(dāng)吸管底部在點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最短，此時(shí)就是圓柱形的高；當(dāng)吸管底部在點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最長，此時(shí)可以利用勾股定理在中即可求出．【解答】解：如圖，當(dāng)吸管底部在點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最短，此時(shí)就是圓柱形的高，即；當(dāng)吸管底部在點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分最長，即線段的長，在中，，，，此時(shí)，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知圖形，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．8．（2020秋?阜寧縣期中）如圖，長為的橡皮筋放置在直線上，固定兩端和然后把中點(diǎn)豎直向上拉升至點(diǎn)處，則拉長后橡皮筋的長為A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理，可求出、的長，則即為拉長后橡皮筋的長．【解答】解：中，，；根據(jù)勾股定理，得：；；故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理，可求出、的長．9．（2020秋?玄武區(qū)校級期中）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙的距離為2寸，點(diǎn)和點(diǎn)距離門檻都為1尺尺寸），則的長是A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【分析】取的中點(diǎn)，過作于，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【解答】解：取的中點(diǎn)，過作于，如圖2所示：由題意得：，設(shè)寸，則（寸，（寸，（寸，寸，在中，，即，解得：，（寸，寸，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2020秋?江陰市期中）如圖，某小區(qū)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊，，考慮到這塊綠地周圍還有足夠多的空余部分，于是打算將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以為一直角邊的直角三角形，則擴(kuò)充方案共有A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【分析】由于擴(kuò)充所得的等腰三角形腰和底不確定，若設(shè)擴(kuò)充所得的三角形是，則應(yīng)分為三種情況進(jìn)行討論．【解答】解：如圖1所示：①，如圖2所示：②，如圖3所示：③，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論．二．填空題（共8小題）11．（2021秋?江陰市期中）如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，踩傷了花草．則他們僅僅少走了8步路．（假設(shè)2步為1米）【分析】在中，利用勾股定理求出的長，根據(jù)2步為1米，即可得出少走的步數(shù)．【解答】解：，，，，則，他們僅僅少走了8步，故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理知識是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?靖江市期中）在一棵樹的5米高處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂后直接躍到處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高7.5米．【分析】首先設(shè)樹的高度為米，用表示，，再利用勾股定理就可求出樹的高度．【解答】解：設(shè)樹的高度為米．兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，，，，在中根據(jù)勾股定理得，，，，故答案為：7.5．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出未知數(shù)，用表示有關(guān)的線段是解題關(guān)鍵．13．（2020秋?江陰市期中）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)的位置，此時(shí)繩子的長為10米，問船向岸邊移動(dòng)了9米．【分析】在中，利用勾股定理計(jì)算出長，再根據(jù)題意可得長，然后再次利用勾股定理計(jì)算出長，再利用可得長．【解答】解：在中：，米，米，（米，（米，（米，（米，答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9．【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．14．（2021秋?南京期中）如圖，在一個(gè)高為，長為的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少是．【分析】當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時(shí)其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可．【解答】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度，地毯鋪滿樓梯是其長度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度至少是米．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的知識，與實(shí)際生活相聯(lián)系，加深了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．15．（2017秋?江都區(qū)期中）如圖，將一根長為的吸管，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長度是為，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)勾股定理求出的最短距離，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，當(dāng)吸管、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時(shí)，最短，此時(shí)，故；當(dāng)吸管豎直插入水杯時(shí)，最大，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．16．（2021秋?靖江市校級期中）《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為4.55尺．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則折斷的長度為尺，根據(jù)勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則折斷的長度為尺，由勾股定理得，解得，折斷處離地面的高度為4.55尺，故答案為：4.55．【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．17．（2021秋?高郵市期中）一架云梯長25米，如圖靠在墻上，云梯底端離墻15米，現(xiàn)把云梯頂端向上移4米，那么它的底端離墻7米．【分析】根據(jù)題意得到米，米，米，，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得，米，米，米，，（米，米，（米，答：它的底端離墻7米，故答案為：7．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．18．（2021秋?鹽都區(qū)期中）如圖所示，是一塊由花園小道圍成的邊長為12米的正方形綠地，在離處5米的綠地旁邊處有健身器材，為提醒居住在處的居民愛護(hù)綠地，不直接穿過綠地從到，而是沿小道從，請問你多走了4米．【分析】在直角中，為斜邊，已知，，則根據(jù)勾股定理可以求斜邊，根據(jù)多走的距離為可以求解．【解答】解：在中，為斜邊，（米，多走的距離為：（米．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，本題中正確的運(yùn)用勾股定理求是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共6小題）19．（2015秋?宜興市校級期中）如圖，有一只小鳥在一棵高的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹，高的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？【分析】本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求斜邊的值是，也就是兩樹樹梢之間的距離是，兩再利用時(shí)間關(guān)系式求解．【解答】解：如圖所示：根據(jù)題意，得，．根據(jù)勾股定理，得．則小鳥所用的時(shí)間是．答：這只小鳥至少6.5秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起．【點(diǎn)評】此題主要考查勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時(shí)注意：時(shí)間路程速度．20．（2020秋?宜興市期中）如圖，，海里，海里，我國釣魚島位于點(diǎn)，我國漁政船在點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自點(diǎn)出發(fā)沿著方向勻速駛向釣魚島所在地點(diǎn)，我國漁政船立即從處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點(diǎn)處截住了漁船．（1）請用直尺和圓規(guī)作出處的位置；（2）求我國漁政船行駛的航程的長．【分析】（1）由題意得，我漁政船與不明船只行駛距離相等，即在上找到一點(diǎn)，使其到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，所以連接，作的垂直平分線即可．（2）利用第（1）題中的設(shè)海里，則海里．在直角三角形中，海里、海里，利用勾股定理列出方程，解得即可．【解答】解：（1）作的垂直平分線與交于點(diǎn)；（2）設(shè)為海里，則也為海里，，在中，，即：，解得：，答：我國漁政船行駛的航程的長為25海里．【點(diǎn)評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理不僅僅能求直角三角形的邊長，而且它也是直角三角形