2024秋高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布章末檢測新人教A版選擇性必修第三冊

PAGEPAGE1第七章章末檢測(時間：120分鐘，滿分150分)一、單項選擇題：1．一枚硬幣連續(xù)擲3次，至少有一次出現(xiàn)正面的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)【答案】D【解析】P(至少有一次出現(xiàn)正面)＝1－P(三次均為反面)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(7,8).2．已知離散型隨機變量X的分布列如下：X135P0.5m0.2則其數(shù)學期望E(X)等于()A．1 B．0.6C．2＋3m D．2.4【答案】D【解析】由分布列的性質(zhì)得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.3．設X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，則n，p的值分別為()A．18，eq\f(1,3) B．36，eq\f(1,3)C．36，eq\f(2,3) D．18，eq\f(2,3)【答案】D【解析】由E(X)＝np＝12，D(X)＝np(1－p)＝4，得n＝18，p＝eq\f(2,3).4．某同學通過計算機測試的概率為eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為()A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,27) D．eq\f(2,27)【答案】A【解析】連續(xù)測試3次，其中恰有1次通過的概率為p＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(4,9).5．將三顆骰子各擲一次，設事務A＝“三個點數(shù)都不相同”，B＝“至少出現(xiàn)一個6點”，則概率P(A|B)等于()A．eq\f(60,91) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,18) D．eq\f(91,216)【答案】A【解析】因為P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)，且P(AB)＝eq\f(60,63)＝eq\f(60,216)，P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(53,63)＝1－eq\f(125,216)＝eq\f(91,216)，所以P(A|B)＝eq\f(\f(60,216),\f(91,216))＝eq\f(60,91).6．將一個骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,12)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,18)【答案】B【解析】總數(shù)為63＝216，滿意要求的點為(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,3,5)，(2,4,6)，同時公差可以為負，故還需乘以2，還有6個常數(shù)列，故P＝eq\f(6×2＋6,216)＝eq\f(1,12).7．設X為隨機變量，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3)))，若隨機變量X的均值E(X)＝2，則P(X＝2)等于()A．eq\f(80,243) B．eq\f(13,243)C．eq\f(4,243) D．eq\f(13,16)【答案】A【解析】由隨機變量X聽從二項分布，且其均值E(X)＝np，知eq\f(n,3)＝2，得n＝6，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，那么P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))6－2＝eq\f(80,243).8．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c，其中a，b，c∈(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2(不計其他得分狀況)，則ab的最大值為()A．eq\f(1,48) B．eq\f(1,24)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)【答案】D【解析】依據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,3a＋2b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,b＝1－3c，))∴ab＝2c(1－3c)＝－6c2＋2c.令f(x)＝－6x2＋2x，這是一個開口向下的拋物線，其頂點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,6)))，∴當且僅當c＝eq\f(1,6)時，ab取得最大值eq\f(1,6).二、多項選擇題：9．設隨機變量ξ聽從標準正態(tài)分布N(0,1)，若a>0，則()A．P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)B．P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1C．P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)D．P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)【答案】ABD【解析】A明顯正確；因為P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以B正確，C不正確；因為P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以D正確．10．已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則()X－1012Pabceq\f(1,12)A．a(chǎn)＝eq\f(5,12) B．b＝eq\f(1,4)C．c＝eq\f(1,4) D．P(X＜1)＝eq\f(2,3)【答案】ABCD【解析】∵E(X)＝0，D(X)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,－12×a＋02×b＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))且a，b，c∈[0,1]，解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4)，P(X＜1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2,3).11．某人參與一次測試，在備選的10道題中，他能答對其中的5道．現(xiàn)從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試，規(guī)定至少答對2題才算合格，則下列選項正確的是()A．答對0題和答對3題的概率相同，都為eq\f(1,8)B．答對1題的概率為eq\f(3,8)C．答對2題的概率為eq\f(5,12)D．合格的概率為eq\f(1,2)【答案】CD【解析】設此人答對題目的個數(shù)為ξ，則ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(0,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，則答對0題和答對3題的概率相同，都為eq\f(1,12)，故A錯誤；答對1題的概率為eq\f(5,12)，故B錯誤；答對2題的概率為eq\f(5,12)，故C正確；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正確．12．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務，則()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事務B與事務A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事務【答案】BD【解析】從甲罐中取出一球放入乙罐，則A1，A2，A3中隨意兩個事務不行能同時發(fā)生，即A1，A2，A3兩兩互斥，故D正確，易知P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，則P(B|A1)＝eq\f(5,11)，P(B|A2)＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(4,11)，故B正確，C錯誤；P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(5,11)＋eq\f(1,5)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故A錯誤．三、填空題：13．袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量X，則P(X≤6)＝________.【答案】eq\f(13,35)【解析】P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4)＋C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).14．已知隨機變量X的概率分布列為X123Pp1p2p3且p1，p2，p3成等差數(shù)列，則p2＝________，公差d的取值范圍是________．【答案】eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))【解析】由分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝eq\f(1,3)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p1≥0，,p3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).15．已知離散型隨機變量X的分布列為X12345678910Peq\f(2,3)eq\f(2,32)eq\f(2,33)eq\f(2,34)eq\f(2,35)eq\f(2,36)eq\f(2,37)eq\f(2,38)eq\f(2,39)m則m的值為________．【答案】eq\f(1,39)【解析】m＝P(X＝10)＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝9)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(2,32)＋…＋\f(2,39)))＝1－eq\f(\f(2,3)×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9)),1－\f(1,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9＝eq\f(1,39).16．一次數(shù)學測驗由20道選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確的，每個答案選擇正確得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分，某學生選對任一題的概率為0.6，則此學生在這一次測驗中的成果的方差為________．【答案】120【解析】設該學生在這次數(shù)學測驗中選對答案的題目的個數(shù)為X，所得的分數(shù)(成果)為Y，則Y＝5X.由題知X～B(20,0.6)，所以D(X)＝20×0.6×0.4＝4.8，D(Y)＝D(5X)＝52×D(X)＝25×4.8＝120，所以該學生在這次測驗中的成果的方差為120.四、解答題17．某工廠有4條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，4條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%,35%，且這4條流水線的不合格品率依次為0.05、0.04、0.03、0.02，現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中任取一件，問抽到合格品的概率為多少？18．在1,2,3，…，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)．(1)求這3個數(shù)恰有1個偶數(shù)的概率；(2)記X為3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，例如取出的數(shù)為1,2,3，則有兩組相鄰的數(shù)1,2和2,3，此時X的值為2，求隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望E(X)．解：(1)設Y表示“任取的3個數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)”，則Y聽從N＝9，M＝4，n＝3的超幾何分布，∴P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)X的取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(7,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝eq\f(1,2).∴X的分布列為X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3).19．在某校實行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成果近似地聽從正態(tài)分布N(70,100)．已知成果在90分以上(含90分)的學生有12人．(1)試問此次參賽學生的總數(shù)約為多少人？(2)若成果在80分以上(含80分)為優(yōu)，試問此次競賽成果為優(yōu)的學生約為多少人？附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)設參賽學生的成果為X，因為X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.則P(X≥90)＝P(X≤50)＝eq\f(1,2)[1－P(50＜X＜90)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)≈0.0228,12÷0.0228≈526(人)．因此，此次參賽學生的總數(shù)約為526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝eq\f(1,2)[1－P(60＜X＜80)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)≈0.1587，得526×0.1587≈83.因此，此次競賽成果為優(yōu)的學生約為83人．20．一個暗箱里放著6個黑球、4個白球．(1)依次取出3個球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；(2)有放回地依次取出3個球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；(3)有放回地依次取出3個球，求取到白球個數(shù)ξ的分布列和期望．解：設事務A為“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B為“第2次取到白球”，C為“第3次取到白球”，(1)P(A)＝eq\f(3×6＋6×5,9×8)＝eq\f(2,3).(2)因為每次取出之前暗箱的狀況沒有改變，所以每次取球互不影響，所以P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(3)設事務D為“取一次球，取到白球”，則P(D)＝eq\f(2,5)，P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)，這3次取出球互不影響，則ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3－k(k＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)E(ξ)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).21．從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．解：(1)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\l