數(shù)學(xué)-福建省名校聯(lián)盟 高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三9月數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)的概念與性質(zhì)、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、平面向量、三角函數(shù)與解三角形.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.2.若向量，且，則（）A.?8 B.8 C.?2 D.2【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合垂直的坐標(biāo)結(jié)論計(jì)算即可.【詳解】由題意得.因?yàn)?，所以，?故選：B.3.已知是冪函數(shù)，則“是正偶數(shù)”是“的值域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，顯然，即其值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，值域?yàn)?，但不是正偶?shù)．故“是正偶數(shù)”是“的值域?yàn)椤钡某浞植槐匾獥l件．故選：A4.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函數(shù)奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.【詳解】.故選：D.5.已知是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則，，所以A，B均錯(cuò)誤．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，則，得，C錯(cuò)誤，D正確．故選：D6.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由周期求，由求，由求，得函數(shù)解析式，可求的值.【詳解】由，得周期，．由圖可知，則，得，又，所以．由圖可知，得．綜上，，得．故選：B7.“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一廣場(chǎng)，是福州市的標(biāo)志性雕塑．這座雕塑以福州的自然景觀和歷史文化為靈感，通過(guò)藝術(shù)的形式展現(xiàn)了福州“三山兩塔一條江”的獨(dú)特城市風(fēng)貌和地域文化特色．如圖，為了測(cè)量“三山一水”城市雕塑的高度，選取了與該雕塑底部在同一平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，，在點(diǎn)測(cè)得雕塑頂端的仰角為，在點(diǎn)測(cè)得雕塑頂端的仰角為，則雕塑的高度（）A.47.6m B.35.7m C.23.8m D.11.9m【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用兩個(gè)直角三角形分別求出與，在中，由余弦定理列方程，求解即得.【詳解】設(shè)，在中，因,則，在中，因,則，在中，由余弦定理得，，即，解得故選：C.8.已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)含參討論該函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】令，則.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，不符合題意.若，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，即，符合題意.故的取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，直接求導(dǎo)含參討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值，排除的情況即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞增C.有3個(gè)零點(diǎn)D.直線與的圖象僅有1個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性判斷AB；求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷C；求出函數(shù)的極值，結(jié)合三次函數(shù)圖象判斷D.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A正確，B錯(cuò)誤；由，得或，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，C正確；函數(shù)的極大值為，極小值為，直線與的圖象僅有1個(gè)公共點(diǎn)，D正確.故選：ACD10.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，的面積為，則的周長(zhǎng)可能為（）A.8 B. C.9 D.【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理得，由三角形面積公式得，進(jìn)而得出，再根據(jù)余弦定理求得或，即可求解．【詳解】由正弦定理得，得，則，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以周長(zhǎng)為8或，故選：AB．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.是的極大值點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】計(jì)算可判斷A；計(jì)算可判斷B；由判斷C，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，但是，所以不是偶函?shù)，則函數(shù)圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，則，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，故D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩角差的正切公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意知：，，可得．故答案為：.13.已知，，且，則______，的最小值為_(kāi)_____．【答案】①.1②.8【解析】【分析】變形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：1，814.對(duì)于任意的，函數(shù)滿足，函數(shù)滿足.若，，則______.【答案】2【解析】【分析】利用賦值法先判定的周期性，化，再利用賦值法計(jì)算即可.【詳解】令，得，則或（與矛盾舍去）.令，得，則，則，則，則.又因?yàn)?，所以，則，從而.故答案為：2【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題通常用賦值法，通過(guò)巧妙賦值先判定的周期性，再利用賦值法計(jì)算函數(shù)值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求和的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間與最大值．【答案】（1），（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，求出，并根據(jù)得到；（2）求出定義域，求導(dǎo)，解不等式，得到函數(shù)單調(diào)性，求出最大值.【小問(wèn)1詳解】，所以，切線方程為，又，所以，則．【小問(wèn)2詳解】的定義域?yàn)?,+∞．，當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，f′所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的最大值為．16.在中，角的對(duì)邊分別為．已知．（1）求角的大?。唬?）若，，求；（3）若，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍即可求得；（2）由余弦定理計(jì)算即得；（3）方法一：利用正弦定理化邊為角，再消去角，利用和角公式化簡(jiǎn)，解三角方程即得；方法二：由角的余弦定理推得，再用角的余弦定理求出，結(jié)合角的范圍，即可求得的值.【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理得，．因?yàn)椋?，則，即．因?yàn)锽∈0,π，所以【小問(wèn)2詳解】根據(jù)余弦定理得，即，解得或（舍去），故．【小問(wèn)3詳解】方法一：由和正弦定理，得，即．，即，則得．方法二：根據(jù)余弦定理得，則．,則角是銳角，故，則．17.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在上單調(diào)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法求函數(shù)解析式；（2）分析每支函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出間斷點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】令，得，則得即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，在R上不單調(diào)．當(dāng)在R上單調(diào)遞增時(shí)，得．當(dāng)在R上單調(diào)遞減時(shí)，得．綜上，的取值范圍為．18.已知函數(shù)．（1）將化成的形式；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若在上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶敬鸢浮浚?）（2）答案見(jiàn)詳解（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)整理即可；（2）以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解；（3）根據(jù)的周期性和對(duì)稱性，分類討論在上是否單調(diào)，分析的最值，進(jìn)而求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，所以.【小問(wèn)2詳解】令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)3詳解】由題意得的最小正周期，令，解得，圖象的對(duì)稱軸為直線．若在上單調(diào)，則，，解得，則．因?yàn)椋瑒t，可得，所以；若在上不單調(diào)，則在上的圖象上必定有一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且在上的圖象無(wú)論經(jīng)過(guò)任何一個(gè)最高點(diǎn)或任何一個(gè)最低點(diǎn)，的取值范圍均相同．假設(shè)在上的圖象的最高點(diǎn)為，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)取得最小值，且最小值是．又因?yàn)?，則，所以；綜上所述：的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題的三種意識(shí)：1.轉(zhuǎn)化意識(shí)：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式；2.整體意識(shí)：類比的性質(zhì)，只需將中的“”看成中的“x”，采用整體代入求解；3.討論意識(shí)：當(dāng)A為參數(shù)時(shí)，求最值應(yīng)分情況討論.19.若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點(diǎn).（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)，存在，使得，且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點(diǎn).①求的取值范圍；②證明：.【答案】（1）是上“雙中值函數(shù)”，理由見(jiàn)解析（2）①0,+∞【解析】【分析】（1）利用定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)直接計(jì)算解方程即可；（2）①根據(jù)定義知，利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及最值計(jì)算范圍即可；②根據(jù)條件先轉(zhuǎn)化問(wèn)題為，構(gòu)造差函數(shù)，利用多次求導(dǎo)判定其單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)即可證明.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”．理由如下：因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以令，得，即，解?因?yàn)?，所以是上的“雙中值函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解】①因?yàn)?，所?因?yàn)槭巧系摹半p中值函數(shù)”，所以.由題意可得.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)，即為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)，即為增函數(shù).故.因?yàn)?，所以，所以，即的取值范?/p>