高考數(shù)學(xué)回歸課本-初等函數(shù)的性質(zhì)教案-舊人教版

/高考數(shù)學(xué)回歸課本教案第四章幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)學(xué)問1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a>0,a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)0<a<1時(shí)，y=ax是減函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過定點(diǎn)（0，1）。2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logax(a>0,a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，圖象過定點(diǎn)（1，0）。當(dāng)0<a<1，y=logax為減函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，y=logax為增函數(shù)。4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M>0,N>0）；1）ax=Mx=logaM(a>0,a1)；2）loga(MN)=logaM+logaN；3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1).5.函數(shù)y=x+（a>0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。（請(qǐng)讀者自己用定義證明）6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若a<b,f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)=0在（a,b）上至少有一個(gè)實(shí)根。二、方法與例題1．構(gòu)造函數(shù)解題。例1已知a,b,c∈(-1,1)，求證：ab+bc+ca+1>0.【證明】設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（由于-1<a<1）.由于f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全為0的實(shí)數(shù)，b1,b2,…,bn∈R，則（）·（）≥()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使ai=,i=1,2,…,n時(shí)成立?！咀C明】令f(x)=（）x2-2()x+=,由于>0，且對(duì)任意x∈R,f(x)≥0，所以△=4()-4（）()≤0.開放得（）()≥()2。等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n。例3設(shè)x,y∈R+,x+y=c,c為常數(shù)且c∈(0,2]，求u=的最小值?！窘狻縰==xy+≥xy++2·=xy++2.令xy=t，則0<t=xy≤,設(shè)f(t)=t+,0<t≤由于0<c≤2，所以0<≤1，所以f(t)在上單調(diào)遞減。所以f(t)min=f()=+，所以u(píng)≥++2.當(dāng)x=y=時(shí)，等號(hào)成立.所以u(píng)的最小值為++2.2．指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算技巧。例4設(shè)p,q∈R+且滿足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，則p=9t,q=12t,p+q=16t，所以9t+12t=16t，即1+記x=，則1+x=x2，解得又>0，所以=例5對(duì)于正整數(shù)a,b,c(a≤b≤c)和實(shí)數(shù)x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.【證明】由ax=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設(shè)，所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.所以abc=70=2×5×7.若a=1，則由于xlga=wlg70，所以w=0與題設(shè)沖突，所以a>1.又a≤b≤c，且a,b,c為70的正約數(shù)，所以只有a=2,b=5,c=7.所以a+b=c.例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.【證明】由題設(shè)logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對(duì)數(shù)，得，由于ac>0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3．指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。解此類方程的主要思想是通過指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡求解。值得留意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的爭辯。例7解方程：3x+4x+5x=6x.【解】方程可化為=1。設(shè)f(x)=,則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，由于f(3)=1，所以方程只有一個(gè)解x=3.例8解方程組：（其中x,y∈R+）.【解】兩邊取對(duì)數(shù)，則原方程組可化為①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.又y>0，所以y=2,x=4.所以方程組的解為.例9已知a>0,a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍?！窘狻坑蓪?duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應(yīng)滿足.①②③若①、②同時(shí)成立，則③必成立，故只需解.由①可得2kx=a(1+k2)，④當(dāng)k=0時(shí)，④無解；當(dāng)k0時(shí)，④的解是x=，代入②得>k.若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以0<k<1.綜上，當(dāng)k∈(-∞,-1)∪(0,1)時(shí)，原方程有解。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1．命題p:“(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命題q:“x+y≥0”2．假如x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，則x1+x2=_________.3．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數(shù)，則不等式|f-1(log2x)|<1的解集為_________。4．若log2a<0，則a取值范圍是_________。5．命題p:函數(shù)y=log2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q:函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條件。6．若0<b<1,a>0且a1，比較大?。簗loga(1-b)|_________|loga(1+b).7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開________。8．若x=，則與x最接近的整數(shù)是_________。9．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________。10．函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開________。11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a]，其中n為給定正整數(shù),n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓(xùn)練題1．函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_________.2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時(shí)恒成立，則m的取值范圍是_________.3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2,x,1從大到小排列是_________.4.若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=_________.5.命題p:函數(shù)y=log2在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條件.6．若0<b<1,a>0且a1，比較大?。簗loga(1-b)|_________|loga(1+b)|.7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開________.8．若x=，則與x最接近的整數(shù)是_________.9．函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.10．函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開________.11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a]，其中n為給定正整數(shù)，n≥2,a∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓(xùn)練題1．函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是__________.2．已知不等式x2-logmx<0在x∈時(shí)恒成立，則m的取值范圍是________.3．若x∈{x|log2x=2-x}，則x2,x,1從大到小排列是________.4．若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范圍是________.5．已知an=logn(n+1)，設(shè)，其中p,q為整數(shù)，且(p,q)=1，則p·q的值為_________.6．已知x>10,y>10,xy=1000，則(lgx)·(lgy)的取值范圍是________.7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.8．函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則b,c應(yīng)滿足的充要條件是________.（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。9．已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是________函數(shù)（填奇偶性）.10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|<1,|b|<1，則f(a)+f(b)=________.11．設(shè)a∈R，試爭辯關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。12．設(shè)f(x)=|lgx|，實(shí)數(shù)a,b滿足0<a<b,f(a)=f(b)=2f，求證：（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<13．設(shè)a>0且a1,f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；（2）若f-1(n)<(n∈N+)，求a的取值范圍。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1．假如log2[log(log2x)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5z)]=0，那么將x,y,z從小到大排列為___________.2．設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x0>x1>x2>x3>0，都有l(wèi)og1993+log1993+log1993>klog1993恒成立，則k的最大值為___________.3．實(shí)數(shù)x,y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則的值為___________.4．已知0<b<1,00<α<450，則以下三個(gè)數(shù)：x=(sinα)logbsina,y=(cosα)logbsina,z=(sinα)logbsina從小到大排列為___________.5．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是___________.6．設(shè)a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg[xyz+1],c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，記a,b,c中的最大數(shù)為M，則M的最小值為___________.7．若f(x)(x∈R)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=，則，由小到大排列為___________.8．不等式+2>0的解集為___________.9．已知a>1,b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).10．（1）試畫出由方程所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。（2）若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。11．對(duì)于任意n∈N+(n>1)，試證明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1．設(shè)x,y,z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。2．當(dāng)a為何值時(shí)，不等式log·log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個(gè)解（a>1且a1）。3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數(shù)，滿足條件；對(duì)于任何x,y>1及u,v>0,f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，試確定全部這樣的函數(shù)f(x).4.求全部函數(shù)f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。5．設(shè)m≥14是一個(gè)整數(shù)，函數(shù)f：N→N