蘇科版七年級數(shù)學(xué)上冊?？键c(diǎn)微專題提分精練專題33與線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題(原卷版+解析)

專題33與線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題1．如圖，直線l上有A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A的左側(cè)沿直線l從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，點(diǎn)P就稱為這兩個(gè)點(diǎn)的黃金伴侶點(diǎn)，例：若PA＝PB，則在點(diǎn)P從左向右運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會(huì)有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次2．如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，，AC比BC的多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以3個(gè)單位/秒和1.5個(gè)單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是________．3．如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．4．如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請說明理由．5．?dāng)?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|．線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)Q表示的數(shù)為．③當(dāng)t＝時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB．(3)若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．6．如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．7．【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)性的滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長；（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．8．（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請求出為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．9．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長度？10．如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．11．【新知理解】如圖①，點(diǎn)在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)是線段的“奇點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)______這條線段的“奇點(diǎn)”（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖②，若，點(diǎn)是線段的奇點(diǎn)，則；【解決問題】（3）如圖③，已知?jiǎng)狱c(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)，點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為，請直接寫出為何值時(shí)，、、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的奇點(diǎn)？12．如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為－2，點(diǎn)B表示的數(shù)為6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N分別為PA、QB的中點(diǎn)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，t＝，MN＝．（2）當(dāng)PQ之間的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，求線段MN的長．[知識遷移]學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)學(xué)員自制了一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤，如圖2，O為轉(zhuǎn)盤圓心，A、O、B在一條直線上，指針OP從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，指針OQ也以相同的速度從OB出發(fā)繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)．OP、OQ同時(shí)出發(fā)，當(dāng)OP、OQ分別到達(dá)OB、OA時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，設(shè)∠MON＝α，∠POQ＝β．試探索α與β的關(guān)系．（直接寫出答案）13．（1）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度；（2）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，C、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？14．如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、O五個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段CD的長度為6個(gè)單位，線段AB的長度為2個(gè)單位，且B、C兩點(diǎn)之間的距離為13個(gè)單位，請解答下列問題：（1）點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是___，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是___；（2）若點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)t秒運(yùn)動(dòng)到線段CD上，且BC的長度是3個(gè)單位，根據(jù)題意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若線段AB、CD同時(shí)從原來的位置出發(fā)，線段AB以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒3個(gè)單位的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，把線段CD的中點(diǎn)記作P，求出點(diǎn)P與線段AB的一個(gè)端點(diǎn)的距離為2個(gè)單位時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．15．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為18．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t>0）秒，（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是____________，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q時(shí)出發(fā)．求：①若點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇?②若點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度?16．如圖，點(diǎn)、、在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是、、，且、滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢?fù)原速，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉淼谋?，之后立刻恢?fù)原速，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）____，____，、兩點(diǎn)間的距離為____個(gè)單位；（2）①若動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求的值；②當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí)，求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；（3）當(dāng)___時(shí)，、兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等．專題33與線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題1．如圖，直線l上有A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A的左側(cè)沿直線l從左向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，點(diǎn)P就稱為這兩個(gè)點(diǎn)的黃金伴侶點(diǎn)，例：若PA＝PB，則在點(diǎn)P從左向右運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會(huì)有（）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次【答案】C【分析】由題意知，點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，恰好點(diǎn)P是其中一條線段的中點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)定義解答即可．【詳解】解：由題意知，點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，恰好點(diǎn)P是其中一條線段的中點(diǎn)，圖中共有六條線段：AB、BC、CD、AC、AD、BD，∴點(diǎn)P成為黃金伴侶點(diǎn)的機(jī)會(huì)有六次，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了線段中點(diǎn)的定義，確定線段的數(shù)量，正確理解題意得到線段中點(diǎn)定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，，AC比BC的多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以3個(gè)單位/秒和1.5個(gè)單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是________．【答案】①②##②①【分析】根據(jù)AC比BC的多5，可得，從而得到，進(jìn)而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M為BP的中點(diǎn)，可得到，進(jìn)而得到，再由N為QM的中點(diǎn)，可得到AB=4NQ，故②正確；然后分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P沒有到達(dá)點(diǎn)B之前，當(dāng)點(diǎn)P沒有到達(dá)點(diǎn)B之前，可得當(dāng)時(shí)，或20，故③錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：∵AC比BC的多5，∴，∵，∴，解得：，∴AC=15，∴BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，∵M(jìn)為BP的中點(diǎn)，∴，∴，∵N為QM的中點(diǎn)，∴，∴AB=4NQ，故②正確；當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，位于點(diǎn)Q左側(cè)，，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P位于點(diǎn)Q右側(cè)，不成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或20，故③錯(cuò)誤，∴正確的結(jié)論是①②．故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線段間的數(shù)量關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論討論思想解答是解題的關(guān)鍵．3．如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．【答案】1或【分析】設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，由OD=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的不同的位置分4種情況進(jìn)行解答，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關(guān)系，再計(jì)算的值即可．【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，如圖2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，如圖3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此時(shí)m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，的值為1或．【點(diǎn)睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用．4．如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請說明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，分情況列方程求解即可．（1）AB=12，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．5．?dāng)?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|．線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)Q表示的數(shù)為．③當(dāng)t＝時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB．(3)若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．【答案】(1)①10，3；②，；③2；4；(2)當(dāng)t＝1或3時(shí)，；(3)不發(fā)生變化，，理由見解析．【分析】（1）①根據(jù)題目所給的兩點(diǎn)距離公式以及兩點(diǎn)中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可；②根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行求解即可得到結(jié)果；③當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等，根據(jù)此及②中結(jié)論得出方程求解即可；（2）由（1）②得t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，則，再由，可得，由此求解即可；（3）根據(jù)兩點(diǎn)中點(diǎn)公式，分別求出點(diǎn)M表示的數(shù)，點(diǎn)N表示的數(shù)，即可得出線段MN的長度．(1)解：①由題意得：，線段AB的中點(diǎn)為，故答案為：10，3；②由題意得：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為：，點(diǎn)Q表示的數(shù)為：；故答案為：，；③∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，P、Q相遇，此時(shí)，，∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；故答案為：2；4；(2)解：∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，∴，又∵，∴，解得：t＝1或3，∴當(dāng)t＝1或3時(shí)，；(3)解：不發(fā)生變化，理由如下：∵點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為，點(diǎn)N表示的數(shù)為，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的中點(diǎn)表示方法，解題的關(guān)鍵在于理解題意，能夠熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離計(jì)算公式．6．如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根據(jù)AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的長度，再根據(jù)CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后兩種情況討論；（3）表示出BP、BQ的長度，再根據(jù)列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多種情況討論；【詳解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，∴，P到達(dá)C之前時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得P到達(dá)C之后時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得故當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)或（3）當(dāng)P、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)C之后、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)此時(shí)，，，當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)以后、Q到達(dá)D之前，，解得綜上當(dāng)厘米時(shí)，、、8，【點(diǎn)睛】此題考查線段和差計(jì)算、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，解題的關(guān)鍵是弄清點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)的出發(fā)點(diǎn)、方向、速度以及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)屬于相遇問題還是追及問題等．7．【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)性的滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長；（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．【答案】（1）AB的長為（）；（2）BD長為2，；（3）C表示的數(shù)為（），的長為（）；（4）點(diǎn)D表示的數(shù)是1或或或．【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的長度，進(jìn)而求出AB的長．（2）設(shè)AC的長為x，BD的長為y，利用圓周率點(diǎn)的定義，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，進(jìn)而得到x=y，故此時(shí)有．（3）利用旋轉(zhuǎn)一周即為圓的周長，得到C點(diǎn)表示的數(shù)，假設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)最近，設(shè)，利用圓周率點(diǎn)及題（2）的結(jié)論，求出，最后求出MN的長度即可．.（4）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：，，，，進(jìn)行分類討論，設(shè)出對應(yīng)的方程進(jìn)行求解m的值．【詳解】（1）,，，．（2）點(diǎn)D、C都是線段AB的圓周率點(diǎn)且不重合，，．設(shè)，，則有，，，，，．（3）由題意可知：C點(diǎn)表示的數(shù)是均為線段OC的圓周率點(diǎn)，不妨設(shè)M點(diǎn)里O點(diǎn)近，且，，，解得，，，，由（2）可知：．（4）解：設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．①若，則有，解得．②若，則有，解得．③若，則有，解得．④若，則有，解得．綜上所述，點(diǎn)D表示的數(shù)是1或或或．【點(diǎn)睛】本題是新定義題型，主要考察了列方程和分類討論的思想，讀懂題目中的新定義，并且正確找到分類討論的所有情況，是解決本題的關(guān)鍵．8．（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則；（3）（解決問題）如圖③，已知，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請求出為何值時(shí)，A、P、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的“奇妙點(diǎn)”．【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)平分線段長的性質(zhì)，以及題目中所給的“奇妙點(diǎn)”的定義，進(jìn)行判斷即可．（2）由“奇妙點(diǎn)”定義，此題分為三種情況，情況1：，即N為CD的中點(diǎn)；情況2：，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)；情況3：，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，根據(jù)以上三種情況，分別求出CN的長度．（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點(diǎn)”，故此題分兩大類情況，情況1：當(dāng)P、Q未相遇之前，P是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長度關(guān)系列方程，分別求出對應(yīng)時(shí)間；情況2：當(dāng)P、Q相遇之后，Q是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長度關(guān)系列方程，求出每種情況對應(yīng)的時(shí)間．【詳解】（1）由線段中點(diǎn)的性質(zhì)可知：被中點(diǎn)平分的兩條線段長度是線段總長的一半，根據(jù)“奇妙點(diǎn)”定義可知：線段的中點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．故答案是：是；（2）是線段CD的“奇妙點(diǎn)”根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當(dāng)，即N為CD的中點(diǎn)時(shí)，有CN=12cm．當(dāng)，即N為靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=8cm．當(dāng)，即N為靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，有CN=16cm．故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點(diǎn)不可能是“奇妙點(diǎn)”，故P或Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”．t秒后，，．當(dāng)P點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．由“奇妙點(diǎn)”定義可分三種情況．當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)Q點(diǎn)是“奇妙點(diǎn)”時(shí)，．當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得當(dāng)時(shí)，有解得綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P為AQ的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或4或；當(dāng)點(diǎn)Q為AP的“奇妙點(diǎn)”時(shí)，或6或．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義題，主要是考察了線段中點(diǎn)、線段長度、列方程等知識點(diǎn)，本題討論情況較多，從側(cè)面考察了數(shù)學(xué)中比較重要的分類討論思想，根據(jù)題意，能夠正確地進(jìn)行分類討論，把每一種情況列舉完全，是解決該題的關(guān)鍵．9．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長度？【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和等于0，則=0，=0，進(jìn)而即可求解；（2）分別用含t的代數(shù)式表示PM=4t，PN=4t-8，進(jìn)而即可求解；（3）分別表示出P、Q所在點(diǎn)表示的數(shù)，再列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵，≥0，≥0，∴=0，=0，即：a=10，b=-6，∴A表示的數(shù)是10，點(diǎn)B表示的數(shù)是-6，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是：10-8t，故答案是：10，-6，10-8t；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=8t，PB=8t-16，∵M(jìn)、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P所在點(diǎn)表示的數(shù)為：10-8t，Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為：-6-4t，∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，用代數(shù)式表示出兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為﹣2和6（1）求線段AB的長；（2）已知點(diǎn)P為數(shù)軸上點(diǎn)A左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)．請你畫出圖形，并探究MN的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出線段MN的長；若改變，請說明理由．【答案】（1）8；（2）見解析；MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，線段MN＝4．【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于較大數(shù)與較小數(shù)的差；（2）根據(jù)中點(diǎn)的意義，利用線段的和差可得出答案．【詳解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的長為8；（2）MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，線段MN＝4，理由如下：如圖，因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，數(shù)軸上線段中點(diǎn)的意義，熟練掌握兩點(diǎn)間距離計(jì)算方法，靈活運(yùn)用中點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．11．【新知理解】如圖①，點(diǎn)在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)是線段的“奇點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)______這條線段的“奇點(diǎn)”（填“是”或“不是”）【初步應(yīng)用】（2）如圖②，若，點(diǎn)是線段的奇點(diǎn)，則；【解決問題】（3）如圖③，已知?jiǎng)狱c(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)，點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為，請直接寫出為何值時(shí)，、、三點(diǎn)中其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的奇點(diǎn)？【答案】（1）是；（2）6或9或12；（3）或或或或或6【分析】（1）根據(jù)“奇點(diǎn)”的定義即可求解；（2）分當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí),當(dāng)N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C點(diǎn)時(shí)，當(dāng)N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近D點(diǎn)時(shí)，進(jìn)行討論求解即可；（3）分由題意可知A不可能為P、Q兩點(diǎn)的巧點(diǎn)，此情況排除；當(dāng)P為A、Q的巧點(diǎn)時(shí)；當(dāng)Q為A、P的巧點(diǎn)時(shí)；進(jìn)行討論求解即可．【詳解】（1）一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為該線段的“奇點(diǎn)”，線段的中點(diǎn)是這條線段的“奇點(diǎn)”，（2），點(diǎn)N是線段CD的奇點(diǎn)，可分三種情況，當(dāng)N為中點(diǎn)時(shí)，,當(dāng)N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近C點(diǎn)時(shí)，,當(dāng)N為CD的三等分點(diǎn)，且N靠近D點(diǎn)時(shí)，（3）,秒后，，由題意可知A不可能為P、Q兩點(diǎn)的巧點(diǎn)，此情況排除；當(dāng)P為A、Q的巧點(diǎn)時(shí)，有三種情況；1）點(diǎn)P為AQ中點(diǎn)時(shí)，則，即，解得：2）點(diǎn)P為AQ三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P靠近點(diǎn)A時(shí)，則,即，解得：3）點(diǎn)P為AQ三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P靠近點(diǎn)Q時(shí),則，即，解得：當(dāng)Q為A、P的巧點(diǎn)時(shí)，有三種情況；1）點(diǎn)Q為AP中點(diǎn)時(shí)，則，即，解得：2）點(diǎn)Q為AP三等分點(diǎn)，且點(diǎn)Q靠近點(diǎn)A時(shí)，則,即，解得：3）點(diǎn)Q為AP三等分點(diǎn)，且點(diǎn)Q靠近點(diǎn)P時(shí),則，即，解得：【點(diǎn)睛】考查了兩點(diǎn)間的距離,一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思,根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．12．如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為－2，點(diǎn)B表示的數(shù)為6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N分別為PA、QB的中點(diǎn)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，t＝，MN＝．（2）當(dāng)PQ之間的距離為4個(gè)單位長度時(shí)，求線段MN的長．[知識遷移]學(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)學(xué)員自制了一個(gè)圓形轉(zhuǎn)盤，如圖2，O為轉(zhuǎn)盤圓心，A、O、B在一條直線上，指針OP從OA出發(fā)繞點(diǎn)O順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，指針OQ也以相同的速度從OB出發(fā)繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)．OP、OQ同時(shí)出發(fā)，當(dāng)OP、OQ分別到達(dá)OB、OA時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．已知OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，設(shè)∠MON＝α，∠POQ＝β．試探索α與β的關(guān)系．（直接寫出答案）【答案】（1）2，4；（2）6或2；[知識遷移]或【分析】（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度分別表示出點(diǎn)P和點(diǎn)Q在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)，然后根據(jù)相遇時(shí)刻列方程求解，結(jié)合線段中點(diǎn)的定義求MN的長度；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離列方程求解，然后分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)Q在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)，結(jié)合中點(diǎn)和兩點(diǎn)間的距離公式求線段MN的長度；[知識遷移]分OP與OQ相遇前及相遇后兩種情況，結(jié)合角平分線的定義和角的數(shù)量關(guān)系分析求解【詳解】解：（1）由題意可得點(diǎn)P：－2＋t，點(diǎn)Q：6－3t，當(dāng)P與Q相遇時(shí)，－2＋t=6－3t，解得：t=2此時(shí)P點(diǎn)表示0，Q點(diǎn)表示0∵M(jìn)、N分別為PA、QB的中點(diǎn)∴MP=，NP=∴MN＝MP+NP=4故答案為：2；4（2）點(diǎn)P：－2＋t，點(diǎn)Q：6－3t，則PQ＝，即，解得t＝1或3①當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)P：－1，點(diǎn)Q：3，則點(diǎn)M：，點(diǎn)N：，∴MN＝=6②當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)P：1，點(diǎn)Q：－3，則點(diǎn)M：，點(diǎn)N：，∴MN＝2∴線段MN的長為6或2[知識遷移]①如圖∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，∴∠AOM=∠POM=；設(shè)∠MON＝α，∠POQ＝β∴∴∴②如圖∵OM平分∠AOP，ON平分∠BOQ，∴∠AOM=∠POM=；設(shè)∠MON＝α，∠POQ＝β∴∴∴綜上，或【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用及線段中點(diǎn)、角平分線的定義、角的數(shù)量關(guān)系，，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)列方程解決問題，屬于中考?？碱}型．13．（1）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度；（2）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，C、P、Q三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)？【答案】（1）8cm；（2）4s或或【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，可得答案；（2）根據(jù)中點(diǎn)的定義、線段的和差，列出關(guān)于t的方程，問題可解．【詳解】（1）∵線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，由題意得，下面分別討論之．①當(dāng)0＜t≤5時(shí)，C是線段PQ的中點(diǎn)，如圖1由圖得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當(dāng)5＜t≤時(shí)，P為線段CQ的中點(diǎn)，如圖2由圖得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝；③當(dāng)＜t≤6時(shí)，Q為線段PC的中點(diǎn)，如圖3由圖得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝；④當(dāng)6＜t≤8時(shí)，C為線段PQ的中點(diǎn)，如圖4由圖得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），綜上所述：t＝4或或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．14．如圖，數(shù)軸上有A、B、C、D、O五個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段CD的長度為6個(gè)單位，線段AB的長度為2個(gè)單位，且B、C兩點(diǎn)之間的距離為13個(gè)單位，請解答下列問題：（1）點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是___，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是___；（2）若點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)t秒運(yùn)動(dòng)到線段CD上，且BC的長度是3個(gè)單位，根據(jù)題意列出的方程是______________，解得t=___；（3）若線段AB、CD同時(shí)從原來的位置出發(fā)，線段AB以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，線段CD以每秒3個(gè)單位的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，把線段CD的中點(diǎn)記作P，求出點(diǎn)P與線段AB的一個(gè)端點(diǎn)的距離為2個(gè)單位時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．【答案】（1）11，-10；（2）2t-13=3，8；（3）t=2.8或3.6或4【分析】（1）根據(jù)題意以及數(shù)軸上所表示的數(shù)字寫出點(diǎn)D、A表示的數(shù)字；（2）根據(jù)等量關(guān)系：點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離-13=3，列方程求解；（3）線段CD的中點(diǎn)P的位置為8，分情況討論即可．【詳解】（1）∵點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，CD=6，AB=2，BC=13，∴點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是11，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣8，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是﹣10；（2）B運(yùn)動(dòng)到CD上時(shí)，走過的路程為，減去BC的距離即為此時(shí)BC的長度，故：2t-13=3，解得：t=8；（3）由題意得，線段CD的中點(diǎn)P的位置為8，分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)2個(gè)單位時(shí)，16﹣2t﹣3t=2，解得：t=2.8；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)2個(gè)單位時(shí)，2t+3t﹣16=2，解得：t=3.6，此時(shí)P與A重合；③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)2個(gè)單位時(shí)，2t+3t﹣18=2，解得：t=4；綜上，當(dāng)t=2.8或3.6或4時(shí)，點(diǎn)P與線段AB的一個(gè)端點(diǎn)的距離為2個(gè)單位．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和數(shù)軸．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．15．如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距離為18．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t>0）秒，（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是____________，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q時(shí)出發(fā)．求：①若點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇?②若點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度?【答案】（1）-12，6-4t；（2）①3；②5或13．【分析】（1）由已知得OA＝6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，則可得OB＝AB?OA＝12，因?yàn)辄c(diǎn)B在原點(diǎn)左邊，從而可得點(diǎn)B所表示的數(shù)；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A