8.3 列聯(lián)表與獨立性檢驗（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修三

8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗考法一分類變量與列聯(lián)表【例1-1】（2024上海）下面是一個列聯(lián)表，其中a、b處填的值分別為（

）總計a217322527總計b46100A．52、54B．54、52C．94、146D．146、94【答案】A【解析】由題意可得，解得，所以a、b值分別為52、54.故選：A.【例1-2】（2024廣西）假設(shè)有兩個變量x與y的列聯(lián)表如下表：abcd對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【解析】對于A，，對于B，，對于C，，對于D，顯然B中最大，該組數(shù)據(jù)能說明x與y有關(guān)系的可能性最大,故選:B.【例1-3】（2023河北）觀察下圖的等高條形圖，其中最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關(guān)系的是（

）

B．

C．

D．

【答案】B【解析】根據(jù)題意，在等高的條形圖中，當(dāng)，所占比例相差越大時，越有把握認為兩個分類變量，之間有關(guān)系，由選項可得：B選項中，，所占比例相差無幾，所以最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關(guān)系，故選：B【一隅三反】1．（2024江蘇·課時練習(xí)）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班乙班總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為50D．由列聯(lián)表可看出成績與班級有關(guān)系【答案】D【解析】依題意，解得，由解得.補全列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班乙班總計105甲班的優(yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，，所以成績與班級有關(guān).所以D選項正確，ABC選項錯誤.故選：D2．（2024湖北）假設(shè)有兩個分類變量與的列聯(lián)表如下表：對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明與有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】對于兩個分類變量與而言，的值越大，說明與有關(guān)系的可能性最大，對于A選項，，對于B選項，，對于C選項，，對于D選項，，顯然D中最大，故選：D.3．（2023·四川達州）四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C．樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；根據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯誤；樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯誤.故選：C.4．（2024吉林·階段練習(xí)）為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則關(guān)于樣本下列敘述中正確的是（

）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【答案】D【解析】對于A，城鎮(zhèn)戶籍中選擇生育二胎，農(nóng)村戶籍中選擇生育二胎，相差較大，則是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)，A錯誤；對于B，男性和女性中均有選擇生育二胎，則是否傾向選擇生育二胎與性別無關(guān)，B錯誤；對于C，由于男性和女性中均有選擇生育二胎，但樣本中男性40人，女性60人，則傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)不同，C錯誤；對于D，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍有人，城鎮(zhèn)戶籍有人，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，D正確.故選：D.考法二獨立性檢驗的概念及辨析【例2-1】（2024·廣東廣州）根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到.依據(jù)的獨立性檢驗，結(jié)論為（

）A．變量與獨立B．變量與獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過C．變量與不獨立D．變量與不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過【答案】A【解析】因為，所以，依據(jù)的獨立性檢驗，我們認為變量與獨立，故選：A.【例2-2】（2023山東煙臺·期中）下列關(guān)于獨立性檢驗的說法正確的是（）A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為吸煙與患肺病有關(guān)系時，則我們可以說在個吸煙的人中，有人患肺病D．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大【答案】D【解析】對于A，獨立性檢驗是通過卡方計算來判斷兩個變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗二者是否是線性相關(guān)，故錯誤；對于B，獨立性檢驗并不能確定兩個變量相關(guān)，故錯誤；對于C，是指“抽煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故錯誤；對于D，根據(jù)卡方計算的定義可知該選項正確；故選:D.【一隅三反】1．（2023全國·專題練習(xí)）（多選）根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝2.974，依據(jù)表中給出的χ2獨立性檢驗中的小概率值和相應(yīng)的臨界值，作出下列判斷，正確的是（）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析變量x與y相互獨立B．根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析變量x與y不相互獨立C．變量x與y相互獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1D．變量x與y不相互獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1【答案】AD【解析】因為，的獨立性檢驗變量x與y相互獨立，的獨立性檢驗變量x與y不相互獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.1.故選：AD.2．（2023云南）（多選）為考察一種新型藥物預(yù)防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得.參照附表，下列結(jié)論正確的是（）附表：A．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”B．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”D．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”【答案】BC【解析】因為，所以，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”；根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”；故選：BC.3．（2023北京）（多選）“一粥一飯，當(dāng)思來之不易”，道理雖簡單，但每年我國還是有2000多億元的餐桌浪費，被倒掉的食物相當(dāng)于2億多人一年的口糧．為營造“節(jié)約光榮，浪費可恥”的氛圍，某市發(fā)起了“光盤行動”．某機構(gòu)為調(diào)研民眾對“光盤行動”的認可情況，在某大型餐廳中隨機調(diào)查了90位來店就餐的客人，制成如下所示的列聯(lián)表，通過計算得到K2的觀測值為9認可不認可40歲以下202040歲以上（含40歲）4010已知，，則下列判斷正確的是（）A．在該餐廳用餐的客人中大約有66.7%的客人認可“光盤行動”B．在該餐廳用餐的客人中大約有99%的客人認可“光盤行動”C．根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關(guān)D．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關(guān)【答案】AC【解析】根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)，計算出的觀測值，結(jié)合選項進行判斷.∵的觀測值為9，且P（≥6.635）＝0.010，P（≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關(guān)，所以選項C正確，選項D錯誤，由表可知認可“光盤行動”的人數(shù)為60人，所以在該餐廳用餐的客人中認可“光盤行動”的比例為%≈66.7%，故選項A正確，選項B錯誤.故選：AC.考法三獨立性檢驗的計算【例3】（2024江西九江）在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀的這一階段稱為潛伏期.各種傳染疾病的潛伏期不同，數(shù)小時、數(shù)天、甚至數(shù)月不等.某市疾病預(yù)防控制中心統(tǒng)計了該市200名傳染病患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)174360502631該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系判斷是否有99%的把握認為該傳染病的潛伏期與患者年齡有關(guān)，請根據(jù)上表數(shù)據(jù)將如下列聯(lián)表補充完整后，求出隨機變量的觀測值.潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50歲）10050歲以下55總計200附：，其中.【答案】【解析】由題意得列聯(lián)表：潛伏期≤6天潛伏期>6天總計50歲以上（含50歲）752510050歲以下4555100總計12080200由上表可得.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·四川綿陽）針對“中學(xué)生追星問題”，某校團委對“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%的把握認為是否追星和性別有關(guān)，則調(diào)查樣本中男生至少有人.參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】12【解析】設(shè)男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡追星不喜歡追星總計男生女生總計若在犯錯誤的概率不超過95%的前提下認為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則，由，解得，因為，為整數(shù)，所以若在犯錯誤的概率不超過95%的前提下認為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則男生至少有12人.故答案為：.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面.百度的文心一言?阿里的通義千問?華為的盤古?騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線.現(xiàn)有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元.后臺調(diào)取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)購買24元的用戶數(shù)是140，其中個人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購買6元的公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的一半.(1)完成如下用戶類別與購買意向的列聯(lián)表；購買6元購買24元總計個人用戶公司用戶總計(2)能否有的把握認為購買意向與用戶類別有關(guān)？（運算結(jié)果保留三位小數(shù)）附：，臨界值表如下：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)有的把握認為用戶類別與購買意向有關(guān)系【解析】（1）解：設(shè)購買24元的個人用戶數(shù)為，則購買24元的公司用戶數(shù)為，設(shè)購買6元的公司用戶數(shù)為，則購買6元的個人用戶數(shù)為，則有，解得，所以用戶類別與購買意向列聯(lián)表如下：購買6元購買24元總計個人用戶4060100公司用戶2080100總計60140200（2）解：由（1）中列聯(lián)表，可得，所以有的把握認為用戶類別與購買意向有關(guān)系.3．（2024·陜西商洛）隨著科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科技特長生招生扶持政策，教育部也出臺了《關(guān)于“十三五”期間全面深入推進教育信息化工作的指導(dǎo)意見（征求意見稿）》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準(zhǔn)備.某調(diào)研機構(gòu)調(diào)查了兩個參加國內(nèi)學(xué)科競賽的中學(xué)，從兩個中學(xué)的參賽學(xué)員中隨機抽取了60人統(tǒng)計其參賽獲獎情況，并將結(jié)果整理如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學(xué)116中學(xué)349(1)試判斷是否有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)？(2)用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學(xué)生中抽取5人，再從這5人中任選3人進行深度調(diào)研，求所選的3人中恰有2人來自中學(xué)的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)沒有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān)(2)【解析】（1）補全列聯(lián)表如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次總計中學(xué)11617中學(xué)34943總計451560所以，故沒有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學(xué)校有關(guān).（2）由題知，用分層抽樣抽取的5人中，來自中學(xué)的有2人，記為，來自中學(xué)的有3人，記為，從這5人中任選3人進行深度調(diào)研，所有的結(jié)果有，共10種，其中恰有2人來自中學(xué)的結(jié)果有，共6種，故所求概率.考法四獨立性檢驗解決實際問題【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知某校高一有600名學(xué)生（其中男生320名，女生280名）.為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的校本課程，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計了學(xué)生的選課情況，得到如下的列聯(lián)表.選擇課程選擇課程總計男生200女生60總計(1)請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇課程與性別有關(guān)？說明你的理由；(2)在所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況采用分層抽樣的方法抽出8名男生，再從這8名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，設(shè)這3人中選擇課程的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，有關(guān)，理由見解析(2)分布列見解析，.【解析】（1）解：由男生320名，女生280名，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，列聯(lián)表，如圖所示，選擇課程選擇課程總計男生120200320女生60220280總計180420600可得，所以有的把握認為選擇課程與性別有關(guān).（2）解：抽出8名男生中，選擇課程的人數(shù)為：（名），選擇課程的人數(shù)為：5（名），隨機變量的所有可能取值為，可得，，則的分布列為0123所以.【一隅三反】1．（2023河北保定·開學(xué)考試）在治療某種疾病中，某醫(yī)院有兩套治療方案，方案一：以中醫(yī)藥為主，方案二：以西醫(yī)藥為主，為了檢驗這兩種方案哪種方案更有效，隨機選取150名患者進行分組對照治療，其中應(yīng)用方案一為80人，應(yīng)用方案二為70人，經(jīng)過一段時間治療后，應(yīng)用方案一組有65人明顯好轉(zhuǎn)或治愈，應(yīng)用方案二組有45人明顯好轉(zhuǎn)或治愈.(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷方案的選擇和治療效果有關(guān)？(2)利用分層隨機抽樣的方法從這兩組中療效不明顯的患者中隨機選取8人，再從這8人中隨機選取4人，這4人中，選自方案二組的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式及參考數(shù)據(jù)：.0.250.150.100.050.0250.0100.0011.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)能，理由見詳解；(2)分布列見詳解，.【解析】（1）根據(jù)題意可得方列聯(lián)表如下所示：有效果（好轉(zhuǎn)或治愈）效果不明顯合計方案一方案二合計零假設(shè)：方案的選擇和治療效果無關(guān).故可得：，故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，故可以判斷方案的選擇和治療效果有關(guān).（2）由題可得兩組中療效不明顯的患者共有人，從中抽取人，則方案一組抽取，方案二組抽取人；再從中抽取人，選自方案二組的人數(shù)為，則，，，，故的分布列如下所示：.2．（2023全國·開學(xué)考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領(lǐng)域取得的巨大成就受邀進行大會發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計.(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對人工智能的了解情況與性別有關(guān)？了解人工智能不了解人工智能合計男生女生合計(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對應(yīng)的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；沒有(2)①；②，.【解析】（1）因為，所以了解人工智能的女生為，了解人工智能的總?cè)藬?shù)為，則了解人工智能的男生有人，結(jié)合男生和女生各有人，填寫列聯(lián)表為：了解人工智能不了解人工智能合計男生401050女生302050合計7030100因，故沒有把握推斷該校學(xué)生對人工智能的了解情況與性別有關(guān).（2）①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；②由列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學(xué)生的頻率為，將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學(xué)生的概率為，由題意可知，，所以，，.3．（2024·湖北）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)填表見解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2)，(3)分布列見解析；期望為【解析】】（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得4．（2024上海浦東新·階段練習(xí)）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計(2)經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認為與有較強的線性相關(guān)性．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，至少有的把握；(2)①0.84，有價值；②【解析】（1）列聯(lián)表如下：汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度16824的平均濃度62026合計222850零假設(shè)：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，因為，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．（2）①因為回歸方程為，所以，又因為，，所以．與有較強的相關(guān)性，該回歸方程有價值．②，解得而樣本中心點位于回歸直線上，因此可推算.單選題1．（2023高二·全國·專題練習(xí)）某村莊對該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：每年體檢每年未體檢合計老年人7年輕人6合計50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，，，，，所以，，，，．故選：D．2．（2023·云南昆明）考查棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到如表數(shù)據(jù)：項目種子處理種子未處理總計得病32101133不得病192213405總計224314538根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則（

）A．種子是否經(jīng)過處理決定是否生病B．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)C．種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)D．以上都是錯誤的【答案】C【解析】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可知，種子經(jīng)過處理，得病的比例明顯降低，種子未經(jīng)過處理，得病的比例要高些，所以可得結(jié)論：種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān).故選：C3（2024吉林長春）觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量的觀測值最小的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】等高的條形圖中所占比例相差越小，隨機變量的觀測值越小.故選：B.4．（2023江西九江）假設(shè)有兩個變量和，它們的取值分別為和，其列聯(lián)表為（

）根據(jù)以下選項中的數(shù)據(jù)計算的值，其中最大的一組為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，對于B，，對于C，，對于D，，顯然最大，故C正確.故選：C.5．（2024江西九江）某校隨機調(diào)查了100名高中生是否喜歡籃球，按照男女區(qū)分得到列聯(lián)表，經(jīng)計算得.根據(jù)獨立性檢驗的相關(guān)知識，對照下表，可以認為有（

）把握喜歡籃球與性別有關(guān).0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】B【解析】，有把握認為喜歡籃球與性別有關(guān)，故選：B.6．（2024四川成都）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分數(shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算可知，根據(jù)小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【解析】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗104050未注射疫苗203050合計3070100假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.因為：，而，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.即認為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.故選：B7（2024四川綿陽）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經(jīng)計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，結(jié)合表格可知，所以認為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過0.010.故選：B．8．（2023山東濱州·期末）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C多選題9．（2023福建泉州·期中）如圖是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡數(shù)學(xué)的百分比，從圖可以看出（

）

A．性別與喜歡數(shù)學(xué)無關(guān) B．女生中喜歡數(shù)學(xué)的百分比為C．男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大些 D．男生不喜歡數(shù)學(xué)的百分比為【答案】CD【解析】由圖可知，女生喜歡數(shù)學(xué)的占，男生喜歡數(shù)學(xué)的占，男生不喜歡數(shù)學(xué)的百分比為，故B錯誤，D正確；顯然性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)，故A錯誤；男生比女生喜歡數(shù)學(xué)的可能性大些，故C正確.故選：CD.10．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）對甲、乙兩個班級學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法不正確的是（）.A．列聯(lián)表中c的值為的值是35B．列聯(lián)表中c的值為的值為50C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為成績優(yōu)秀與班級有關(guān)系D．不能根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認為成績優(yōu)秀與班級有關(guān)系【答案】ABD【解析】由題意，知成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是，成績不優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)是，所以，，選項A，B錯誤；因為，所以根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為成績優(yōu)秀與班級有關(guān)系，故C正確，D錯誤.故選：ABD.11．（2023貴州）為考察一種新藥預(yù)防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數(shù)據(jù)后將所得結(jié)果填入相應(yīng)的列聯(lián)表中.由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得.參照附表，下列結(jié)論正確的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物有效”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物無效”C．根據(jù)小概率值α＝0.0001的獨立性檢驗，認為“藥物有效”D．對分類變量X與Y，統(tǒng)計量的值越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大【答案】AD【解析】因為，即，所以根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為藥物有效，故BC錯誤．而根據(jù)統(tǒng)計量的意義，可得其值越大，則判斷與有關(guān)系的把握程度越大，故D正確.故選：AD．12．（2024廣東深圳）某市為了研究該市空氣中的濃度和濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測部門對該市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的濃度和濃度（單位：），得到如下所示的列聯(lián)表：64161010經(jīng)計算，則可以推斷出（

）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值是0.64B．若列聯(lián)表中的天數(shù)都擴大到原來的10倍，的觀測值不會發(fā)生變化C．在犯錯的概率不超過的條件下，認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)D．有超過99%的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)【答案】ACD【解析】補充完整列聯(lián)表如下：合計641680101020合計7426100對于A選項，該市一天中，空氣中濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值為，故A正確；對于B選項，由，顯然觀測值也擴大十倍，故B不正確；因為，根據(jù)臨界值表可知，在犯錯的概率不超過的條件下，即有超過的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)，故C、D正確.故選：ACD填空題13．（2023河南·期中）2022年3月，我國疫情發(fā)生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區(qū)志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機調(diào)查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯(lián)表：了解不了解總計年齡不小于60歲aba＋b年齡小于60歲cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d給出下列4組數(shù)據(jù)：①；②；③；④．則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關(guān)系的可能性最大的是．（填序號）【答案】③【解析】當(dāng)?shù)闹翟酱髸r，居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關(guān)系的可能性越大，在①中，，在②中，，在③中，，在④中，,故居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關(guān)系的可能性最大的是③,故答案為：③14（2024湖北）已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，的部分臨界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879則最大有的把握說變量有關(guān)系.（填百分數(shù)）【答案】【解析】因為的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量有關(guān)系.所以最大有的把握說變量有關(guān)系.故答案為：15．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關(guān)．【答案】0.01【解析】因為6.635<7.235<10.828，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關(guān)．故答案為：0.01.16．（2024寧夏銀川）有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關(guān)系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關(guān)系”.【答案】②③【解析】由題意，在全部的105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，所以成績優(yōu)秀的人數(shù)為人，非優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以，故①錯誤，②正確；則，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關(guān)系”，故③正確，④錯誤.故答案為：②③.解答題17．（2024·福建龍巖）2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病未感染支原體肺炎6080感染支原體肺炎4020(1)試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？(2)用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有關(guān)(2)分布列見解析；【解析】（1）假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關(guān).則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）由已知得，，，所以隨機變量的分布列為：0123所以.18．（2023遼寧·開學(xué)考試）某單位為了解性別與對工作的滿意程度是否具有相關(guān)性，隨機抽取了100名員工，得到的數(shù)據(jù)如表：對工作滿意對工作不滿意總計男203050女302050總計5050100(1)能否有的把握認為對工作是否滿意與性別有關(guān)？(2)將頻率視為概率，從該公司所有男性員工中隨機抽取2人進行訪談，記這2人中對工作滿意的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有的把握認為對工作是否滿意與性別有關(guān)(2)分布列見解析；期望為【解析】（1）因為，所以有的把握認為對工作是否滿意與性別有關(guān)．（2）由表中數(shù)據(jù)可知，從該公司所有男性員工中隨機抽取1人進行訪談，此人對工作滿意的概率為由題意可知的可能取值為，，，．故的分布列為012故．19．（2024海南?。?023年杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，亞洲45個國家和地區(qū)的奧委會代表參會．某校想趁此機會帶動學(xué)生的鍛煉熱情，準(zhǔn)備開設(shè)羽毛球興趣班，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，調(diào)查學(xué)生是否喜歡羽毛球運動，經(jīng)統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖．(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，推斷是否可以認為該校學(xué)生的性別與是否喜歡羽毛球運動有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生女生合計(2)已知該校男生與女生人數(shù)相同，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取30名學(xué)生，設(shè)其中喜歡羽毛球運動的學(xué)生人數(shù)為X，求取得最大值時的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．【答案】(1)填表見解析；能認為該校學(xué)生喜歡羽毛球運動與性別有關(guān)聯(lián)(2)【解析】（1）由題意，根據(jù)等高堆積條形圖，完成列聯(lián)表如下：性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生7525100女生5545100合計13070200零假設(shè)為：該校學(xué)生的性別與是否喜歡羽毛球運動沒有關(guān)聯(lián)．，∴依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即能認為該校學(xué)生喜歡羽毛球運動與性別有關(guān)聯(lián)．（2）由列聯(lián)表可知，該校學(xué)生喜歡羽毛球運動的頻率為，∴隨機變量，∴．要使取得最大值，則需，解得，∵，∴當(dāng)時，取得最大值．20．（2024山西·階段練習(xí)）光明高級中學(xué)高三年級理科考生800人都參加了本學(xué)期的期中調(diào)研測試，學(xué)校把本次測試數(shù)學(xué)成績達到120分以上（包含120分）的同學(xué)的數(shù)學(xué)成績等第定為優(yōu)秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學(xué)的物理成績等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機抽取10名同學(xué)調(diào)研本次測試的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：數(shù)學(xué)（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082(1)試列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗分析能否認為本次測試理科考生的數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第是否優(yōu)秀有關(guān)？(2)①數(shù)學(xué)組的章老師打算從這10個同學(xué)中，按照這次測試數(shù)學(xué)的等第是否優(yōu)秀，利用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取3個人，并仔細考查這3個人的答題情況．設(shè)最后抽出的3個人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②如果本次測試理科考生的物理成績，用樣本估計總體，以10名同學(xué)物理成績的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：?。?，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)答案見解析(2)①分布列見解析，；②【解析】（1）由題意可得：列聯(lián)表為物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀246數(shù)學(xué)非優(yōu)秀044總計2810零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關(guān)，可得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以推斷成立，即數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關(guān).（2）由題意可知：抽取的5人中數(shù)學(xué)等第優(yōu)