8.3 列聯(lián)表與獨立性檢驗（解析版）人教版高中數(shù)學精講精練選擇性必修三

8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗考法一分類變量與列聯(lián)表【例1-1】（2024上海）下面是一個列聯(lián)表，其中a、b處填的值分別為（

）總計a217322527總計b46100A．52、54B．54、52C．94、146D．146、94【答案】A【解析】由題意可得，解得，所以a、b值分別為52、54.故選：A.【例1-2】（2024廣西）假設有兩個變量x與y的列聯(lián)表如下表：abcd對于以下數(shù)據，對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【解析】對于A，，對于B，，對于C，，對于D，顯然B中最大，該組數(shù)據能說明x與y有關系的可能性最大,故選:B.【例1-3】（2023河北）觀察下圖的等高條形圖，其中最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關系的是（

）

B．

C．

D．

【答案】B【解析】根據題意，在等高的條形圖中，當，所占比例相差越大時，越有把握認為兩個分類變量，之間有關系，由選項可得：B選項中，，所占比例相差無幾，所以最有把握認為兩個分類變量，之間沒有關系，故選：B【一隅三反】1．（2024江蘇·課時練習）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班乙班總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為50D．由列聯(lián)表可看出成績與班級有關系【答案】D【解析】依題意，解得，由解得.補全列聯(lián)表如下：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班乙班總計105甲班的優(yōu)秀率為，乙班的優(yōu)秀率為，，所以成績與班級有關.所以D選項正確，ABC選項錯誤.故選：D2．（2024湖北）假設有兩個分類變量與的列聯(lián)表如下表：對于以下數(shù)據，對同一樣本能說明與有關系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】對于兩個分類變量與而言，的值越大，說明與有關系的可能性最大，對于A選項，，對于B選項，，對于C選項，，對于D選項，，顯然D中最大，故選：D.3．（2023·四川達州）四川省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學生的首選意愿，對部分高一學生進行了抽樣調查，制作出如下兩個等高條形圖，根據條形圖信息，下列結論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C．樣本中選擇物理學科的人數(shù)較多D．樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)【答案】C【解析】根據等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學科的人數(shù)較多，故C正確；根據等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯誤；樣本中選擇物理學科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯誤.故選：C.4．（2024吉林·階段練習）為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則關于樣本下列敘述中正確的是（

）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【答案】D【解析】對于A，城鎮(zhèn)戶籍中選擇生育二胎，農村戶籍中選擇生育二胎，相差較大，則是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關，A錯誤；對于B，男性和女性中均有選擇生育二胎，則是否傾向選擇生育二胎與性別無關，B錯誤；對于C，由于男性和女性中均有選擇生育二胎，但樣本中男性40人，女性60人，則傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)不同，C錯誤；對于D，傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍有人，城鎮(zhèn)戶籍有人，農村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，D正確.故選：D.考法二獨立性檢驗的概念及辨析【例2-1】（2024·廣東廣州）根據分類變量與的成對樣本數(shù)據，計算得到.依據的獨立性檢驗，結論為（

）A．變量與獨立B．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過C．變量與不獨立D．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過【答案】A【解析】因為，所以，依據的獨立性檢驗，我們認為變量與獨立，故選：A.【例2-2】（2023山東煙臺·期中）下列關于獨立性檢驗的說法正確的是（）A．獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關關系的一種檢驗B．獨立性檢驗可以確定兩個變量之間是否具有某種關系C．利用獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關聯(lián)中，根據小概率值的獨立性檢驗，認為吸煙與患肺病有關系時，則我們可以說在個吸煙的人中，有人患肺病D．對于獨立性檢驗，隨機變量的值越小，判定“兩變量有關系”犯錯誤的概率越大【答案】D【解析】對于A，獨立性檢驗是通過卡方計算來判斷兩個變量存在關聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗二者是否是線性相關，故錯誤；對于B，獨立性檢驗并不能確定兩個變量相關，故錯誤；對于C，是指“抽煙”和“患肺病”存在關聯(lián)的可能性，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故錯誤；對于D，根據卡方計算的定義可知該選項正確；故選:D.【一隅三反】1．（2023全國·專題練習）（多選）根據分類變量x與y的觀察數(shù)據，計算得到χ2＝2.974，依據表中給出的χ2獨立性檢驗中的小概率值和相應的臨界值，作出下列判斷，正確的是（）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析變量x與y相互獨立B．根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析變量x與y不相互獨立C．變量x與y相互獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.1D．變量x與y不相互獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.1【答案】AD【解析】因為，的獨立性檢驗變量x與y相互獨立，的獨立性檢驗變量x與y不相互獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過0.1.故選：AD.2．（2023云南）（多選）為考察一種新型藥物預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數(shù)據后將所得結果填入相應的列聯(lián)表中，由列聯(lián)表中的數(shù)據計算得.參照附表，下列結論正確的是（）附表：A．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”B．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”C．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”D．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”【答案】BC【解析】因為，所以，所以根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物無效”；根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“藥物有效”；故選：BC.3．（2023北京）（多選）“一粥一飯，當思來之不易”，道理雖簡單，但每年我國還是有2000多億元的餐桌浪費，被倒掉的食物相當于2億多人一年的口糧．為營造“節(jié)約光榮，浪費可恥”的氛圍，某市發(fā)起了“光盤行動”．某機構為調研民眾對“光盤行動”的認可情況，在某大型餐廳中隨機調查了90位來店就餐的客人，制成如下所示的列聯(lián)表，通過計算得到K2的觀測值為9認可不認可40歲以下202040歲以上（含40歲）4010已知，，則下列判斷正確的是（）A．在該餐廳用餐的客人中大約有66.7%的客人認可“光盤行動”B．在該餐廳用餐的客人中大約有99%的客人認可“光盤行動”C．根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關D．根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關【答案】AC【解析】根據題目提供的數(shù)據，計算出的觀測值，結合選項進行判斷.∵的觀測值為9，且P（≥6.635）＝0.010，P（≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，認為“光盤行動”的認可情況與年齡有關，所以選項C正確，選項D錯誤，由表可知認可“光盤行動”的人數(shù)為60人，所以在該餐廳用餐的客人中認可“光盤行動”的比例為%≈66.7%，故選項A正確，選項B錯誤.故選：AC.考法三獨立性檢驗的計算【例3】（2024江西九江）在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀的這一階段稱為潛伏期.各種傳染疾病的潛伏期不同，數(shù)小時、數(shù)天、甚至數(shù)月不等.某市疾病預防控制中心統(tǒng)計了該市200名傳染病患者的相關信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)174360502631該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系判斷是否有99%的把握認為該傳染病的潛伏期與患者年齡有關，請根據上表數(shù)據將如下列聯(lián)表補充完整后，求出隨機變量的觀測值.潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50歲）10050歲以下55總計200附：，其中.【答案】【解析】由題意得列聯(lián)表：潛伏期≤6天潛伏期>6天總計50歲以上（含50歲）752510050歲以下4555100總計12080200由上表可得.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·四川綿陽）針對“中學生追星問題”，某校團委對“學生性別和中學生追星是否有關”作了一次調查，調查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%的把握認為是否追星和性別有關，則調查樣本中男生至少有人.參考數(shù)據及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】12【解析】設男生人數(shù)為，依題意可得列聯(lián)表如下：喜歡追星不喜歡追星總計男生女生總計若在犯錯誤的概率不超過95%的前提下認為是否喜歡追星和性別有關，則，由，解得，因為，為整數(shù)，所以若在犯錯誤的概率不超過95%的前提下認為是否喜歡追星和性別有關，則男生至少有12人.故答案為：.2．（2024·陜西安康·模擬預測）作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面.百度的文心一言?阿里的通義千問?華為的盤古?騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線.現(xiàn)有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元.后臺調取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)購買24元的用戶數(shù)是140，其中個人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購買6元的公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的一半.(1)完成如下用戶類別與購買意向的列聯(lián)表；購買6元購買24元總計個人用戶公司用戶總計(2)能否有的把握認為購買意向與用戶類別有關？（運算結果保留三位小數(shù)）附：，臨界值表如下：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)有的把握認為用戶類別與購買意向有關系【解析】（1）解：設購買24元的個人用戶數(shù)為，則購買24元的公司用戶數(shù)為，設購買6元的公司用戶數(shù)為，則購買6元的個人用戶數(shù)為，則有，解得，所以用戶類別與購買意向列聯(lián)表如下：購買6元購買24元總計個人用戶4060100公司用戶2080100總計60140200（2）解：由（1）中列聯(lián)表，可得，所以有的把握認為用戶類別與購買意向有關系.3．（2024·陜西商洛）隨著科學技術飛速發(fā)展，科技創(chuàng)新型人才需求量增大，在2015年，國家開始大力推行科技特長生招生扶持政策，教育部也出臺了《關于“十三五”期間全面深入推進教育信息化工作的指導意見（征求意見稿）》為選拔和培養(yǎng)科技創(chuàng)新型人才做好準備.某調研機構調查了兩個參加國內學科競賽的中學，從兩個中學的參賽學員中隨機抽取了60人統(tǒng)計其參賽獲獎情況，并將結果整理如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次中學116中學349(1)試判斷是否有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學校有關？(2)用分層抽樣的方法，從樣本中獲得區(qū)前三名及以上名次的學生中抽取5人，再從這5人中任選3人進行深度調研，求所選的3人中恰有2人來自中學的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】(1)沒有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學校有關(2)【解析】（1）補全列聯(lián)表如下：未獲得區(qū)前三名及以上名次獲得區(qū)前三名及以上名次總計中學11617中學34943總計451560所以，故沒有的把握認為獲得區(qū)前三名及以上名次與所在的學校有關.（2）由題知，用分層抽樣抽取的5人中，來自中學的有2人，記為，來自中學的有3人，記為，從這5人中任選3人進行深度調研，所有的結果有，共10種，其中恰有2人來自中學的結果有，共6種，故所求概率.考法四獨立性檢驗解決實際問題【例4】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知某校高一有600名學生（其中男生320名，女生280名）.為了給學生提供更為豐富的校園文化生活，學校增設了兩門全新的校本課程，學生根據自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學習.學校統(tǒng)計了學生的選課情況，得到如下的列聯(lián)表.選擇課程選擇課程總計男生200女生60總計(1)請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇課程與性別有關？說明你的理由；(2)在所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況采用分層抽樣的方法抽出8名男生，再從這8名男生中抽取3人做問卷調查，設這3人中選擇課程的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，有關，理由見解析(2)分布列見解析，.【解析】（1）解：由男生320名，女生280名，結合表中數(shù)據，列聯(lián)表，如圖所示，選擇課程選擇課程總計男生120200320女生60220280總計180420600可得，所以有的把握認為選擇課程與性別有關.（2）解：抽出8名男生中，選擇課程的人數(shù)為：（名），選擇課程的人數(shù)為：5（名），隨機變量的所有可能取值為，可得，，則的分布列為0123所以.【一隅三反】1．（2023河北保定·開學考試）在治療某種疾病中，某醫(yī)院有兩套治療方案，方案一：以中醫(yī)藥為主，方案二：以西醫(yī)藥為主，為了檢驗這兩種方案哪種方案更有效，隨機選取150名患者進行分組對照治療，其中應用方案一為80人，應用方案二為70人，經過一段時間治療后，應用方案一組有65人明顯好轉或治愈，應用方案二組有45人明顯好轉或治愈.(1)根據小概率值的獨立性檢驗，能否判斷方案的選擇和治療效果有關？(2)利用分層隨機抽樣的方法從這兩組中療效不明顯的患者中隨機選取8人，再從這8人中隨機選取4人，這4人中，選自方案二組的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.參考公式及參考數(shù)據：.0.250.150.100.050.0250.0100.0011.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)能，理由見詳解；(2)分布列見詳解，.【解析】（1）根據題意可得方列聯(lián)表如下所示：有效果（好轉或治愈）效果不明顯合計方案一方案二合計零假設：方案的選擇和治療效果無關.故可得：，故根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，故可以判斷方案的選擇和治療效果有關.（2）由題可得兩組中療效不明顯的患者共有人，從中抽取人，則方案一組抽取，方案二組抽取人；再從中抽取人，選自方案二組的人數(shù)為，則，，，，故的分布列如下所示：.2．（2023全國·開學考試）2023年11月，世界首屆人工智能峰會在英國舉行，我國因為在該領域取得的巨大成就受邀進行大會發(fā)言.為了研究不同性別的學生對人工智能的了解情況，我市某著名高中進行了一次抽樣調查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設事件“了解人工智能”，“學生為男生”，據統(tǒng)計.(1)根據已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關？了解人工智能不了解人工智能合計男生女生合計(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機選取3人贈送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的學生中隨機抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機變量的數(shù)學期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對應的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；沒有(2)①；②，.【解析】（1）因為，所以了解人工智能的女生為，了解人工智能的總人數(shù)為，則了解人工智能的男生有人，結合男生和女生各有人，填寫列聯(lián)表為：了解人工智能不了解人工智能合計男生401050女生302050合計7030100因，故沒有把握推斷該校學生對人工智能的了解情況與性別有關.（2）①由題意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，不了解人工智能的有人，所以，選取的人中至少有人了解人工智能的概率為；②由列聯(lián)表可知，抽到了解人工智能的學生的頻率為，將頻率視為概率，所以，從我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能學生的概率為，由題意可知，，所以，，.3．（2024·湖北）某高中學校為了解學生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學生在一年內每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機抽取了60名同學在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據，結果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經常鍛煉”，其余的稱為“不經常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系；性別鍛煉合計不經常經常男生女生合計(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學稱為“運動愛好者”，為進一步了解他們的生活習慣，在樣本的10名“運動愛好者”中，隨機抽取3人進行訪談，設抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)填表見解析；性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系(2)，(3)分布列見解析；期望為【解析】】（1）根據統(tǒng)計表格數(shù)據可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經常經常男生72330女生141630合計213960零假設為：性別與鍛煉情況獨立，即性別因素與學生體育鍛煉的經常性無關；根據列聯(lián)表的數(shù)據計算可得根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即性別因素與學生體育鍛煉的經常性有關系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因學?？倢W生數(shù)遠大于所抽取的學生數(shù)，故近似服從二項分布，易知隨機抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得4．（2024上海浦東新·階段練習）環(huán)境監(jiān)測部門為調研汽車流量對空氣質量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調研人員采集了50天的數(shù)據，制作了關于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．(1)完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計(2)經計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標準差，的平均濃度的標準差．①求相關系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關系數(shù)．若，則認為與有較強的線性相關性．【答案】(1)列聯(lián)表見解析，至少有的把握；(2)①0.84，有價值；②【解析】（1）列聯(lián)表如下：汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度16824的平均濃度62026合計222850零假設：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關，因為，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關”．（2）①因為回歸方程為，所以，又因為，，所以．與有較強的相關性，該回歸方程有價值．②，解得而樣本中心點位于回歸直線上，因此可推算.單選題1．（2023高二·全國·專題練習）某村莊對該村內50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據如表所示：每年體檢每年未體檢合計老年人7年輕人6合計50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數(shù)據錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，，，，，所以，，，，．故選：D．2．（2023·云南昆明）考查棉花種子經過處理跟生病之間的關系得到如表數(shù)據：項目種子處理種子未處理總計得病32101133不得病192213405總計224314538根據以上數(shù)據，則（

）A．種子是否經過處理決定是否生病B．種子是否經過處理跟是否生病無關C．種子是否經過處理跟是否生病有關D．以上都是錯誤的【答案】C【解析】由列聯(lián)表中的數(shù)據可知，種子經過處理，得病的比例明顯降低，種子未經過處理，得病的比例要高些，所以可得結論：種子是否經過處理跟是否生病有關.故選：C3（2024吉林長春）觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量的觀測值最小的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】等高的條形圖中所占比例相差越小，隨機變量的觀測值越小.故選：B.4．（2023江西九江）假設有兩個變量和，它們的取值分別為和，其列聯(lián)表為（

）根據以下選項中的數(shù)據計算的值，其中最大的一組為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，對于B，，對于C，，對于D，，顯然最大，故C正確.故選：C.5．（2024江西九江）某校隨機調查了100名高中生是否喜歡籃球，按照男女區(qū)分得到列聯(lián)表，經計算得.根據獨立性檢驗的相關知識，對照下表，可以認為有（

）把握喜歡籃球與性別有關.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828A． B． C． D．【答案】B【解析】，有把握認為喜歡籃球與性別有關，故選：B.6．（2024四川成都）在某病毒疫苗的研發(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現(xiàn)隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯(lián)表（部分數(shù)據缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算可知，根據小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【解析】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗104050未注射疫苗203050合計3070100假設：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預防該病毒感染的效果”.因為：，而，所以根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立.即認為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預防該病毒感染的效果”.故選：B7（2024四川綿陽）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，運用列聯(lián)表進行檢驗，經計算，參考下表，則認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，結合表格可知，所以認為“性別與喜歡數(shù)學有關”犯錯誤的概率不超過0.010.故選：B．8．（2023山東濱州·期末）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯(lián)進行了一次調查，其中被調查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】根據題意，不妨設，于是，由于依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，根據表格可知，解得，于是最小值為.故選：C多選題9．（2023福建泉州·期中）如圖是調查某地區(qū)男、女中學生喜歡數(shù)學的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡數(shù)學的百分比，從圖可以看出（

）

A．性別與喜歡數(shù)學無關 B．女生中喜歡數(shù)學的百分比為C．男生比女生喜歡數(shù)學的可能性大些 D．男生不喜歡數(shù)學的百分比為【答案】CD【解析】由圖可知，女生喜歡數(shù)學的占，男生喜歡數(shù)學的占，男生不喜歡數(shù)學的百分比為，故B錯誤，D正確；顯然性別與喜歡數(shù)學有關，故A錯誤；男生比女生喜歡數(shù)學的可能性大些，故C正確.故選：CD.10．（2023高三上·全國·專題練習）對甲、乙兩個班級學生的數(shù)學考試成績按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法不正確的是（）.A．列聯(lián)表中c的值為的值是35B．列聯(lián)表中c的值為的值為50C．根據小概率值的獨立性檢驗，認為成績優(yōu)秀與班級有關系D．不能根據小概率值的獨立性檢驗，認為成績優(yōu)秀與班級有關系【答案】ABD【解析】由題意，知成績優(yōu)秀的學生人數(shù)是，成績不優(yōu)秀的學生人數(shù)是，所以，，選項A，B錯誤；因為，所以根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為成績優(yōu)秀與班級有關系，故C正確，D錯誤.故選：ABD.11．（2023貴州）為考察一種新藥預防疾病的效果，某科研小組進行動物實驗，收集整理數(shù)據后將所得結果填入相應的列聯(lián)表中.由列聯(lián)表中的數(shù)據計算得.參照附表，下列結論正確的是（）0.0250.0100.0050.0015.026.6357.87910.828A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物有效”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“藥物無效”C．根據小概率值α＝0.0001的獨立性檢驗，認為“藥物有效”D．對分類變量X與Y，統(tǒng)計量的值越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大【答案】AD【解析】因為，即，所以根據小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為藥物有效，故BC錯誤．而根據統(tǒng)計量的意義，可得其值越大，則判斷與有關系的把握程度越大，故D正確.故選：AD．12．（2024廣東深圳）某市為了研究該市空氣中的濃度和濃度之間的關系，環(huán)境監(jiān)測部門對該市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的濃度和濃度（單位：），得到如下所示的列聯(lián)表：64161010經計算，則可以推斷出（

）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A．該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值是0.64B．若列聯(lián)表中的天數(shù)都擴大到原來的10倍，的觀測值不會發(fā)生變化C．在犯錯的概率不超過的條件下，認為該市一天空氣中濃度與濃度有關D．有超過99%的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關【答案】ACD【解析】補充完整列聯(lián)表如下：合計641680101020合計7426100對于A選項，該市一天中，空氣中濃度不超過，且濃度不超過的概率估計值為，故A正確；對于B選項，由，顯然觀測值也擴大十倍，故B不正確；因為，根據臨界值表可知，在犯錯的概率不超過的條件下，即有超過的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關，故C、D正確.故選：ACD填空題13．（2023河南·期中）2022年3月，我國疫情發(fā)生頻次明顯增加．為了防止奧密克戎變異株的傳播，各地方政府都采取了有效防治措施．社區(qū)志愿者小王參加了防止奧密克戎變異株傳播的科普宣傳活動，并隨機調查了100名居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況，得到如下的2×2列聯(lián)表：了解不了解總計年齡不小于60歲aba＋b年齡小于60歲cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d給出下列4組數(shù)據：①；②；③；④．則居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性最大的是．（填序號）【答案】③【解析】當?shù)闹翟酱髸r，居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性越大，在①中，，在②中，，在③中，，在④中，,故居民對防止奧密克戎變異株傳播知識的了解情況與年齡有關系的可能性最大的是③,故答案為：③14（2024湖北）已知變量，由它們的樣本數(shù)據計算得到的觀測值，的部分臨界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879則最大有的把握說變量有關系.（填百分數(shù)）【答案】【解析】因為的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為變量有關系.所以最大有的把握說變量有關系.故答案為：15．（2023高三上·全國·專題練習）已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在檢驗喜歡某項體育運動與性別是否有關的過程中，某研究員搜集數(shù)據并計算得到χ2＝7.235，則根據小概率值α＝的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．【答案】0.01【解析】因為6.635<7.235<10.828，所以根據小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，分析喜歡該項體育運動與性別有關．故答案為：0.01.16．（2024寧夏銀川）有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據列聯(lián)表中的數(shù)據，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”；④根據列聯(lián)表中的數(shù)據，若按的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.【答案】②③【解析】由題意，在全部的105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，所以成績優(yōu)秀的人數(shù)為人，非優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以，故①錯誤，②正確；則，若按的可靠性要求，能認為“成績與班級有關系”，故③正確，④錯誤.故答案為：②③.解答題17．（2024·福建龍巖）2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調查其患病情況，將調查結果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病未感染支原體肺炎6080感染支原體肺炎4020(1)試根據小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關？(2)用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)有關(2)分布列見解析；【解析】（1）假設歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關.則，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）由已知得，，，所以隨機變量的分布列為：0123所以.18．（2023遼寧·開學考試）某單位為了解性別與對工作的滿意程度是否具有相關性，隨機抽取了100名員工，得到的數(shù)據如表：對工作滿意對工作不滿意總計男203050女302050總計5050100(1)能否有的把握認為對工作是否滿意與性別有關？(2)將頻率視為概率，從該公司所有男性員工中隨機抽取2人進行訪談，記這2人中對工作滿意的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)有的把握認為對工作是否滿意與性別有關(2)分布列見解析；期望為【解析】（1）因為，所以有的把握認為對工作是否滿意與性別有關．（2）由表中數(shù)據可知，從該公司所有男性員工中隨機抽取1人進行訪談，此人對工作滿意的概率為由題意可知的可能取值為，，，．故的分布列為012故．19．（2024海南省）2023年杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，亞洲45個國家和地區(qū)的奧委會代表參會．某校想趁此機會帶動學生的鍛煉熱情，準備開設羽毛球興趣班，在全校范圍內采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，調查學生是否喜歡羽毛球運動，經統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖．(1)根據等高堆積條形圖，填寫下列列聯(lián)表，并依據的獨立性檢驗，推斷是否可以認為該校學生的性別與是否喜歡羽毛球運動有關聯(lián)；性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生女生合計(2)已知該校男生與女生人數(shù)相同，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校學生中隨機抽取30名學生，設其中喜歡羽毛球運動的學生人數(shù)為X，求取得最大值時的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．【答案】(1)填表見解析；能認為該校學生喜歡羽毛球運動與性別有關聯(lián)(2)【解析】（1）由題意，根據等高堆積條形圖，完成列聯(lián)表如下：性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生7525100女生5545100合計13070200零假設為：該校學生的性別與是否喜歡羽毛球運動沒有關聯(lián)．，∴依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即能認為該校學生喜歡羽毛球運動與性別有關聯(lián)．（2）由列聯(lián)表可知，該校學生喜歡羽毛球運動的頻率為，∴隨機變量，∴．要使取得最大值，則需，解得，∵，∴當時，取得最大值．20．（2024山西·階段練習）光明高級中學高三年級理科考生800人都參加了本學期的期中調研測試，學校把本次測試數(shù)學成績達到120分以上（包含120分）的同學的數(shù)學成績等第定為優(yōu)秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學的物理成績等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機抽取10名同學調研本次測試的數(shù)學和物理成績，如下表：數(shù)學（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082(1)試列出列聯(lián)表，并依據的獨立性檢驗分析能否認為本次測試理科考生的數(shù)學成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第是否優(yōu)秀有關？(2)①數(shù)學組的章老師打算從這10個同學中，按照這次測試數(shù)學的等第是否優(yōu)秀，利用分層隨機抽樣的方法抽取5人，再從這5人中抽取3個人，并仔細考查這3個人的答題情況．設最后抽出的3個人中數(shù)學等第優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；②如果本次測試理科考生的物理成績，用樣本估計總體，以10名同學物理成績的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據：?。?，則，．．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)答案見解析(2)①分布列見解析，；②【解析】（1）由題意可得：列聯(lián)表為物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計數(shù)學優(yōu)秀246數(shù)學非優(yōu)秀044總計2810零假設：數(shù)學成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關，可得，依據小概率值的獨立性檢驗，可以推斷成立，即數(shù)學成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關.（2）由題意可知：抽取的5人中數(shù)學等第優(yōu)