8.6.2 空間距離與空間角（解析版）（人教版2019必修第二冊）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

8.6.2空間距離與空間角考法一線面角【例1】（2023·湖南岳陽）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，在等腰直角三角形中，，所以直線與平面所成的角為.故選：B.【一隅三反】1．（2024·陜西）在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取是的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：設(shè)三棱柱底面邊長為，可得，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，由勾股定理可得，所以；即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B2．（2024北京）如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，如圖，在正三棱柱中，是正三角形，，底面底面，，又平面，平面，為與平面所成角，平面平面，，由題意，，在中，.故選：A.3．（2024云南昆明）如圖所示，在長方體中，，，是棱的中點(diǎn)．(1)求異面直線和所成的角的正切值；(2)求與平面所成的角大小．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為，所以為異面直線與所成的角．因為平面，平面，所以，即，而，，故．即異面直線和所成的角的正切值為．（2）由平面，平面，得，由（1）知，，又，，所以，從而又，平面，平面，與面所成角為．考法二二面角【例2-1】（2024上海）在正方體中，截面與底面所成銳二面角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：是中點(diǎn)，連接，，設(shè)正方體邊長為，

，則；，則，平面，平面，故是二面角的平面角，故.故選：C【例2-2】（2024廣東廣州）如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面ABD夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由題意知，則，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；（2）作，垂足為E，在平面內(nèi)過點(diǎn)E作，交于F，連接，則即為平面與平面ABD夾角或其補(bǔ)角，

由題意知，，故，，又在中，，則，則，又平面，平面，故，則，故，即，在中，,故平面與平面ABD夾角的余弦值為．【一隅三反】1．（2024安徽合肥）如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點(diǎn)，若截面?zhèn)让?，則此棱錐側(cè)面與底面夾角的余弦值為.【答案】【解析】取和的中點(diǎn)分別為，，，分別是，的中點(diǎn)，,,由于且為正三角形，，故,由于，分別是，的中點(diǎn)，因此，故,由于截面?zhèn)让?，所?進(jìn)而可得,由于故為側(cè)面與底面的二面角的平面角，設(shè)，，，在直角中，，故答案為：2．（2024天津和平）如圖，正方體，棱長為是的中點(diǎn)，則二面角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

如圖，取中點(diǎn)，連接，，因為為正方體，所以，，因為為中點(diǎn)，所以，，因為平面平面，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值為.故選：B.3．（2023·四川）如圖所示，是正三角形，平面，，，，且F為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：取AB中點(diǎn)M，連接MF、MC，則，且.又因為，所以，即四邊形MFDC為平行四邊形，所以；又有平面ABC，平面ABC，所以平面.（2）延長ED、AC相交于點(diǎn)N，連接BN，則BN為平面與平面的交線.，，則DC為的中位線，所以，即，所以.而，，，即.所以即為平面與平面所成二面角的平面角.，故平面與平面所成二面角的正弦值為.考法三點(diǎn)線距【例3】（2024湖北）已知垂直于所在的平面，，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，∵平面，∴為在平面內(nèi)的投影，又，∴，由三垂線定理得，，又，∴.故答案為:

【一隅三反】1．（2023重慶·期中）如圖在棱長為2的正方體，中E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】

解：如圖所示，取的中點(diǎn)F，連接，，∵，底面，∴四邊形是矩形，∴，又平面，平面，∴平面，∴直線上任一點(diǎn)到平面的距離是兩條異面直線與的距離，過點(diǎn)作，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)P，則，取，連接，則四邊形是矩形．可得平面，在中，，得，∴點(diǎn)P到直線的距離的最小值為．故選：B．2．（2023上?！て谀橹苯翘菪?，，，，平面，，(1)求證：；(2)求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）

證明：如圖，連接,在中，,則，因為直角梯形，且,則，又，由可知①，因平面,平面，故②又平面，由①②知平面,因平面,故.（2）

在中，因，由可知：,如圖，過點(diǎn)作于，由的面積可得：,解得：，即點(diǎn)到直線的距離為.考法四線線距【例4】（2024江蘇）如圖，在正方體中，棱長為1，寫出下列異面直線的公垂線并求異面直線的距離．(1)和；(2)和；(3)和．【答案】答案見解析【解析】（1）因為正方體中，，，所以和的公垂線為，且；（2）因為平面，平面，所以，又，所以和的公垂線為，且；（3）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，易得，因為平面且平面，所以平面且平面，所以，，則為和的公垂線，且．【一隅三反】1．（2024上海普陀）在四面體中，若，則異面直線與的距離為．【答案】【解析】如圖所示：分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，DE，AF，BF，EF，因為，所以，又因為E為中點(diǎn)，所以，同理，所以EF為異面直線AB和CD的公垂線，所以，故答案為：2．（2024河北）如圖，已知四棱錐中，為矩形，平面，，異面直線與之間的距離為.【答案】【解析】因為平面，所以，所以，所以，因為因此我們將四棱錐構(gòu)建成長方體.接下來我們尋找異面直線的公垂線在平面上的投影為，，易證平面，故得，，連接，與相交于，則為的中點(diǎn)，作的中點(diǎn)，連接，則，，，所以是的公垂線段，即的長度就是異面直線與之間的距離.且，故答案為：.3．（2024江蘇）在棱長為1的正方體中，直線AC與直線的距離是．【答案】1【解析】如圖，取AC與的中點(diǎn)，因為,為的中點(diǎn)，則，同理，所以直線AC與直線的距離為線段長，又，所以直線AC與直線的距離為1.故答案為：1.考法五點(diǎn)面距【例5】（2023新疆喀什·期末）如圖，在四棱錐中，平面，，.(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）平面平面，平面，平面；（2），平面平面，平面，平面，平面，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由，得，即，點(diǎn)到平面的距離為.【一隅三反】1．（2023北京）如圖，正方形的邊長為分別是的中點(diǎn)，將沿折起，使得為正三角形．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）分別是正方形的邊的中點(diǎn)，,為正三角形，，又，平面，所以平面.（2）由題意易得，，則，故，所以，由（1）知，且，平面，平面，，因為是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的2倍，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，點(diǎn)到平面的距離為.2．（2024湖南）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為線段的中點(diǎn)，PB與底面ABCD所成角正切值為．

(1)求證：；(2)求點(diǎn)D到面的距離．【答案】(1)證明見解析(2).【解析】（1）連接，因為平面，得為PB與底面ABCD所成角，

，∴，，由，得，，∴，，由余弦定理得，，平面，面，，又，平面，平面，平面，；（2）設(shè)點(diǎn)D到面的距離為h，由（1）知平面，平面，又，，故，，平面，.由，得，得.3（2024四川雅安）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形．(1)證明：．(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：連接，因為底面和側(cè)面均為正方形，所以四邊形為菱形，則．由底面和側(cè)面均為正方形，得，．因為，所以平面．又平面，所以．因為，所以平面．又平面，所以．（2）因為，，所以．又平面，所以．，，則．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．考法六面面距【例6】（2023·河南）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面間的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）在正六棱柱中，因為底面為正六邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又，所以平面平面.（2）平面與平面間的距離等價于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為.連接，則四面體的體積.因為，，，所以，從而，所以，所以，即平面與平面間的距離為.

【一隅三反】1．（2023福建）在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是．【答案】【解析】因為平面平面，平面，所以到平面的距離即為平面與平面間的距離，易知平面，從而點(diǎn)A到平面的距離即為所求的距離．如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)．因為平面，平面所以平面平面，又平面平面=所以平面，則即為所求．在中，，，則，因為，所以．故平面與平面的距離為．故答案為：2．（2024北京）直四棱柱中，底面為正方形，邊長為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）法一:證明：連接分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四邊形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，（2）法一:平面與平面的距離到平面的距離．中，，，，由等體積可得，．3（2024江西）如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點(diǎn).(1)證明：平面EB1D1平面FBD；(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）若為中點(diǎn)，連接，又F是CC1的中點(diǎn)，所以，，故為平行四邊形，所以，又E是AA1的中點(diǎn)，易知：，所以，正方體中，而，面，由面，則面，同理面，又，面，故平面EB1D1平面FBD；（2）由（1）知：平面EB1D1與平面FBD之間的距離等于到面的距離，而，而，，故△中BD的高為，所以，而，到面的距離，所以，可得，故平面EB1D1與平面FBD之間的距離為.單選題1．（2024山東）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別為上底面和下底面的中心，連接，則⊥底面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥底面，因為上、下底面邊長分別為2和4，所以，故，，，由于，故，故該正四棱臺的體積為.故選：B2．（2023山東）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，異面直線與所成角的余弦值為，則直線與直線的距離為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】如圖，該四棱柱為長方體，因為,所以為異面直線與所成角，設(shè)底面正方形邊長為，則，在中，，解得，因為該四棱柱為長方體，所以平面，平面，所以,同理,所以直線與直線的距離為，故選:B.3．（2024湖北）在直三棱柱中，所有棱長均為1，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，因為為等邊三角形，則，又因為平面，且平面，則，且，平面，可得平面，由題意可知：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因為，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.4．（2024河北）已知正方體的棱長為為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由題意得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由等體積轉(zhuǎn)化法為，當(dāng)與重合時，最大，最大為，此時最小，為.故選：B.5．（2024湖北宜昌）在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，分別為棱，的中點(diǎn)，所以且，因為平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，則，由，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D.6．（2024廣東汕頭）如圖，在三棱錐中，平面，則下列選項中，不正確的是（

）A．平面平面B．二面角的余弦值為C．與平面所成角為D．三棱錐外接球的表面積為【答案】D【解析】∵，，∴,∵平面，平面，∴，∵，，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故A正確；∵，∴為二面角的平面角，∵，故B正確；∵平面，∴為與平面所成角，∵，則，故C正確；取的中點(diǎn)，連接,∵，，∴，∵平面，又平面，∴，∴，則，∴為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑為1，∴三棱錐外接球的表面積為，故D錯誤.故選：D.7．（2023·全國·模擬預(yù)測）在長方體中，已知與所成的角為，與平面所成的角為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．與平面所成的角為C．平面 D．與平面所成的角為【答案】C【解析】如圖所示，連接，設(shè)，因為與AD的夾角為60°，即，，所以，又因為與平面ABCD所成的角為30°，即，，所以，故長方體的左、右側(cè)面為正方形，所以，又因為平面，平面，所以，而，所以平面，又因為平面，所以，所以A不符合題意．在長方體中，可得平面，所以與平面所成的角為，所以B不符合題意．在長方體中，得到，所以與平面所成的角為，所以D不符合題意．若平面，則，則，與已知矛盾，所以C符合題意．故選：C．8．（2024陜西咸陽）如圖，邊長為2的兩個等邊三角形，若點(diǎn)到平面的距離為，則二面角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的中點(diǎn)為E，連接，過點(diǎn)A作，垂足為F，因為均為等邊三角形，故，故為二面角的平面角；

又平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面，則點(diǎn)A到平面的距離為，又為等邊三角形，邊長為2，故，故在中，，則，即，故二面角的大小為，故選：A多選題9．（2024山東）在正方體中，下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．平面C．直線與所成的角為 D．二面角的大小為【答案】BCD【解析】對于A：明顯四邊形是矩形，但不是正方形，故其對角線不垂直，即錯誤，A錯誤；對于B：明顯，且平面，平面，故平面，B正確；對于C：因為，則即為直線與所成的角，又為等邊三角形，所以，即直線與所成的角為，C正確；對于D：因為面，則為二面角的平面角，又，所以二面角的大小為，D正確；故選：BCD.10．（2024黑龍江）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）

A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面垂直C．點(diǎn)到面的距離為D．三棱柱外接球表面積為【答案】BD【解析】如圖，

連接，，在正方體中，，所以異面直線和所成的角為（或其補(bǔ)角），在正中，，所以異面直線和所成的角為，故A錯誤；連接，在正方體中，，，，平面，所以平面，故B正確；設(shè)到面的距離為，由可知，，因為，，所以，解得，故C錯誤；因為三棱柱外接球即正方體的外接球，所以外接球的直徑，所以，故D正確.故選：BD11．（2023福建漳州）如圖，三棱錐中，，平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與平面所成的角為B．二面角的正切值為C．點(diǎn)到平面的距離為D．【答案】ABC【解析】選項A，因為平面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角是，故A正確；選項B，取中點(diǎn)為，連接，，因為，平面，所以，，因為，平面，所以平面，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B正確；選項C，因為，所以，設(shè)到面的距離為，則由，可得：，解得，故C正確；選項D，若，又，且，平面,則面，則有，與矛盾，故D錯誤．故選:ABC．12．（2024山東）在如圖所示的三棱錐中，，面，，下列結(jié)論正確的為（

）A．直線與平面所成的角為B．二面角的正切值為C．到面的距離為D．異面直線【答案】AC【解析】因為面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角是，故A正確；取中點(diǎn)為，連接，因為面，面，所以、、，，所以，，，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B錯誤；因為，所以，設(shè)到面的距離為，則，解得，故C正確；若，又面，面，所以，又，面，所以面，面，所以，與矛盾，故D錯誤；故選：AC.填空題13．（2024上海）已知正方體的棱長為1，則異面直線與之間的距離是.【答案】【解析】在正方體中，平面，所以直線與的距離即為點(diǎn)到的距離，又因為正方形的對角線為，且，所以點(diǎn)到的距離為，即異面直線與之間的距離是.故答案為：．14．（2023上?！て谀┤鐖D所示，正四面體的棱長為1，則點(diǎn)到平面的距離為.【答案】【解析】設(shè)是底面的中心，則平面，又因為平面，所以，正四面體的棱長為1，則，,故答案為：.15．（2024河北）在正方體中，與平面所成角的大小為.【答案】【解析】由于⊥平面，故即為與平面所成角，因為，所以，故與平面所成角為.故答案為：16．（2023北京）在正三棱柱中，，則直線到平面的距離為【答案】【解析】在正三棱柱中，在底面內(nèi)作，因為平面底面，平面底面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，所以即為直線到平面的距離，因為為等邊三角形，且，所以直線到平面的距離為.故答案為：.解答題17．（2024·四川）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．(1)證明：平面；(2)已知，且，求點(diǎn)D到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因為，所以平面．（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，過作直線的垂線，垂足為，則平面，由，，可得，，，，因為平面，平面，所以，則，可得，在直角梯形中，因為，可得，所以，在等腰中，，取的中點(diǎn)，連接，可得，且，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，可得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為．18（2024陜西）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是與的交點(diǎn)，，平面是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）連接，在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，，且，由平面，得平面，是直線與平面所成的角，，在中，，，從而，在中，，直線與平面所成角的正切值為．19．（2023甘肅）如圖，在三棱臺中，平面，，，.(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成角正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由，得，由平面，平面，則，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）將棱臺補(bǔ)全為如下棱錐，由，，，易知，，由平面，平面，則，，，所以，.可得，設(shè)到平面的距離為h，又，則，可得，設(shè)與平面所成角為，，則.20．（2024江蘇蘇州·階段練習(xí)）在三棱臺中，，，且平面平面．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，故，中點(diǎn)為，連接，，則，，，則，，，故四邊形為矩形，，，，故，即，，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）設(shè)，連接，平面，面，故，又因為，所以二面角的平面角為，，，平面