第六章 計數原理 章末小結及測試（原卷版） 人教版高中數學精講精練選擇性必修三

【公眾號：該學習了】第六章計數原理章末小結及測試考法一排列數與組合數【例1-1】（2024·遼寧沈陽）（多選）若，為正整數且，則（

）A． B．C． D．【例1-2】（2023遼寧沈陽·期末）（1）已知，計算：；（2）解方程：．考法二排隊問題【例2-1】（2023天津河東·階段練習）有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少種排法或選法，依題意列式作答：(1)若選出3人當主持人，要求至少有1名男生，則有多少種不同的選法；(2)若2名男同學必須相鄰，共有多少種不同的排法；(3)若2名男同學不相鄰，共有多少種不同的排法；(4)若2名男同學不站兩端，共有多少種不同的排法；(5)若2名男同學中間必須有1人，共有多少種不同的排法.【例2-2】（2024全國·課時練習）有3名男生和4名女生，根據下列不同的要求，求不同的排列方法種數．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．考法三排數問題【例3-1】（2024廣東）用0、1、2、3、4五個數字．(1)可組成多少個五位數？(2)可組成多少個無重復數字的五位數？(3)可組成多少個無重復數字且是3的倍數的三位數？(4)可組成多少個無重復數字的五位奇數？(5)組成沒有重復數字的五位數，將這些數字由小到大排列，42130是第幾個數？【例3-2】（2024黑龍江）用0，1，2，3，4，5六個數字排成沒有重復數字的6位數，分別有多少個？(1)0不在個位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個數；(5)1不在個位；(6)偶數數字從左向右從小到大排列．考法四涂色問題【例4-1】（2023重慶）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【例4-2】（2023山東德州·階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數字，，，，現準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種【例4-3】（2024山東菏澤·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．360種 B．264種 C．192種 D．144種【例4-4】（2024河北石家莊·期中）某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現準備給其5個面涂色，每個面涂一種顏色，且相鄰兩個面（有公共棱的兩個面）所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．600種 B．1080種 C．1200種 D．1560種考法五放球問題【例5-1】（2023高二·江蘇·專題練習）將4個編號為1，2，3，4的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中.(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個空盒，有多少種放法？(4)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？【例5-2】（2024河北唐山·階段練習）有4個編號為1，2，3，4的小球，4個編號為1，2，3，4的盒子，現需把球全部放進盒子里，（最后結果用數字作答）(1)沒有空盒子的方法共有多少種？(2)可以有空盒子的方法共有多少種？(3)恰有1個盒子不放球，共有多少種方法？(4)恰有一個小球放入自己編號的盒中，有多少種不同的放法？考法六分組分配【例6-1】（2024·安徽合肥）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往，，等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（

）A．72 B．84 C．100 D．120【例6-2】（2024青海西寧）由未來科學大獎聯合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學課”——科學點燃青春：未來科學大獎獲獎者對話青少年活動于2023年9月8日在全國各地以線上線下結合的方式舉行．現有某市組織5名獲獎者到當地三個不同的會場與學生進行對話活動，要求每個會場至少派一名獲獎者，每名獲獎者只去一個會場，則不同的派出方法有（

）A．60種 B．120種 C．150種 D．240種【例6-3】（22024·山西·階段練習）基礎學科對于一個國家科技發(fā)展至關重要，是提高核心競爭力，保持戰(zhàn)略領先的關鍵．其中數學學科尤為重要．某雙一流大學為提高數學系學生的數學素養(yǎng)，特開設了“九章算術”，“古今數學思想”，“數學原理”，“世界數學通史”，“算術研究”五門選修課程，要求數學系每位同學每學年至多選三門，且已選過的課程不能再選，大一到大三三學年必須將五門選修課程選完，則每位同學的不同選修方式種數為（

）．A．種 B．種 C．種 D．種【例6-4】（2024）《數術記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數學專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數算?把頭算?龜算?珠算?和計數.某學習小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數算?把頭算?珠算6種算法相關資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數為（）A．240 B．300 C．420 D．540【例6-5】（2024遼寧）某校高三年級有8名同學計劃高考后前往武當山?黃山?廬山三個景點旅游.已知8名同學中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學前往，每名同學僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學游玩行程的方法數為（

）A．564 B．484 C．386 D．640考法七二項式定理【例7-1】（2023福建龍巖）（多選）已知二項式的展開式，則（）A．常數項是 B．系數為有理數的項共有4項C．第5項和第6項的二項式系數相等 D．奇數項的二項式系數和為256【例7-2】（2023·江西上饒）（多選）已知，則下列結論成立的有（

）A． B．C． D．【例7-3】（2024江西九江）（多選）已知二項式，則下列說法正確的是（

）A．若，則展開式中的常數項為15B．展開式中有理項的個數為4C．若展開式中各項系數之和為64，則D．展開式中二項式系數最大的項為第3項考法八楊輝三角【例8-1】（2023廣東廣州·期末）（多選）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得自豪的，以下關于楊輝三角的敘述正確的是（

）第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行

1

6

15

20

15

6

1……

……A．第9行中從左到右第6個數是126 B．C． D．【例8-2】（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）（多選）“楊輝三角”是中國數學史上的一個偉大成就，揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規(guī)律.請結合“楊輝三角”判斷下列敘述，正確的是（

）A．B．第20行中，第11個數最大C．記第行的第個數為，則D．第34行中，第15個數與第16個數的比為【例8-3】（2023湖南長沙·階段練習）（多選）“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，中國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現，比歐洲早393年發(fā)現.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數都是1外，其余每個數都是其“肩上”的兩個數之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）

A．由“在相鄰兩行中，除1以外的每個數都等于它肩上的兩個數字之和”猜想B．由“第行所有數之和為”猜想：C．第20行中，第10個數最大D．第15行中，第7個數與第8個數的比為7：9【例8-4】（2024江西）楊輝三角（如下圖所示）是數學史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數字之和為（

）A． B． C． D．單選題1.（2024遼寧朝陽）如圖，已知每條線路僅含一條通路，當一條電路從處到處接通時，不同的線路可以有（

）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條2．（2024江西）某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部戰(zhàn)爭片及2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有（

）A．9種 B．12種 C．24種 D．72種3．（2023江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數作對數的底數和真數，則所有不同的對數的值有（

）A．30個 B．42個 C．41個 D．39個4．（2024高二下·全國·專題練習）用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（

）A．16個 B．12個 C．9個 D．8個5．（2024安徽）將5個相同的白球和5個相同的紅球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有紅球，則不同的放球方法共有(

)A．18種 B．24種 C．36種 D．48種6．（2024四川雅安）已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數，則滿足條件的集合共有（

）A．12個 B．14個 C．16個 D．18個7．（2024黑龍江哈爾濱）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的楊輝三角，這是中國數學史上的一個偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數字之和為，若去除所有為1的項，依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．則此數列的前15項之和為（

）A．114 B．116 C．124 D．1268．（2024·廣東佛山·模擬預測）若，則下列不正確（

）A．B．C．D．多選題9．（2023山東德州）甲、乙、丙、丁、戊五名同學站一排，下列結論正確的是（

）A．不同的站隊方式共有120種B．若甲和乙不相鄰，則不同的站隊方式共有36種C．若甲在乙的左邊，則不同的站隊方式共有60種D．若甲和乙相鄰，且甲不在兩端，則不同的站隊方式共有36種10．（2024福建寧德）已知，則（

）A． B．C． D．展開式中二項式系數最大的項為第項11．（2024山西陽泉）將四大名著《紅樓夢》《西游記》《三國演義》《水滸傳》，詩集《唐詩三百首》《徐志摩詩集》和戲曲《中華戲曲》7本書放在一排，則（

）A．戲曲書放在正中間位置的不同放法有種 B．詩集相鄰的不同放法有種C．四大名著互不相鄰的不同放法有種 D．四大名著不放在兩端的不同放法有種12．（2024江蘇常州）2023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術研究國家競爭力排名》的報告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術、人工智能、無人機等二十多個領域.報告顯示，中國在其中19個領域處于領先.某學生是科技愛好者，打算從這19個領域中選取這5個領域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，則下列結論中正確的是（

）A．都在后3天介紹的方法種數為36B．相隔一天介紹的方法種數為36C．A不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數為72D．A在，之前介紹的方法種數為40填空題13．（2024重慶大足）為弘揚志愿者精神，某校舉行“樂于助人”服務活動，現安排甲，乙等4人到三個不同地方參加活動，每個地方至少1人，若甲和乙不能去同一個地方，則不同的安排方式有種．14．（2024北京·開學考試）已知，則.15．（2024江西）網課期間，小王同學趁課余時間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現需要給下圖七巧板右下方的五個塊涂色（圖中的1，2，3，4，5），有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有種不同的涂色方案.16．（2024遼寧朝陽）孿生素數是指相差2的素數對，例如5和7，“孿生素數猜想”正式由希爾伯特在1900年國際數學家大會的報告上第8個問題中提出，可以這樣描述：存在無窮多個素數，使得是素數，素數對稱為孿生素數.在不超過20的素數中，隨機選取兩個不同的數，則這兩個數為孿生素數的概率為.解答題17（2023湖南長沙）從A，B，C等8人中選出5人排成一排.(1)A必須在內，有多少種排法？(2)A，B，C三人不全在內，有多少種排法？(3)A，B，C都在內，且A，B必須相鄰，C與A，B都不相鄰，都多少種排法？(4)A不允許站排頭和排尾，B不允許站在中間（第三位），有多少種排法？18．（2024天津·期中）從包含甲、乙2人的8人中選4人參加4×100米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結果用數字作答）(1)甲、乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；(2)甲、乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；(3)甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；(4)甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；(5)甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.19．（2024山西臨汾·階段練習）某班有一個5男4女組成的社會實踐調查小組，準備在暑假進行三項不同的社會實踐，若不同的組合調查不同的項目算作不同的調查方式，求按下列要求進行組合時，有多少種不同的調查方式？(1)將9人分成人數分別為2人、3人、4