人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題04解決實(shí)際問題與一元二次方程(增長率、傳播、營銷、動態(tài)幾何、與圖形有關(guān)的問題)(原卷版+解析)

專題04解決實(shí)際問題與一元二次方程(增長率、傳播、營銷、、動態(tài)幾何、與圖形有關(guān)的問題)考點(diǎn)一用一元二次方程解決增長率問題考點(diǎn)二用一元二次方程解決傳播問題考點(diǎn)三用一元二次方程解決營銷問題考點(diǎn)四用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題考點(diǎn)五用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題考點(diǎn)一用一元二次方程解決增長率問題例題：（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022年新疆維吾爾自治區(qū)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考數(shù)學(xué)真題）臨近春節(jié)的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖南常德·一模）某市政府為了改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃經(jīng)過兩年時間，使綠地面積增加21%，則這兩年平均綠地面積的增長率為______．考點(diǎn)二用一元二次方程解決傳播問題例題：（2022·浙江杭州·八年級期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程（

）A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東棗莊·二模）有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是______人．2．（2022·安徽·合肥市第四十二中學(xué)八年級期中）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在進(jìn)入第二輪傳染前，有兩位患者被及時隔高并治愈，問第二輪傳染后患病的人數(shù)會有21人嗎？考點(diǎn)三用一元二次方程解決營銷問題例題：（2022·山東·臨清市京華中學(xué)模擬預(yù)測）深圳著名“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城在2018年春節(jié)長假期間，接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計在2020年五一長假期間，接待游客獎達(dá)28.8萬人次．一家特色小面店希望在五一長期限期間獲得好的收益，經(jīng)測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒經(jīng)驗(yàn)：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)為了更好地維護(hù)深圳城市形象，店家規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當(dāng)每碗售價定為多少元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元？【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江杭州·八年級期中）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？2．（2022·貴州六盤水·九年級期末）抖音直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．為提高我市特產(chǎn)烙鍋辣椒面的影響力，某電商在抖音平臺上對某品牌袋裝（500克/袋）烙鍋辣椒面進(jìn)行直播銷售．成本價為40元/袋，如果按60元/袋銷售，每天可賣出80袋．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每袋烙鍋辣椒面售價每降低1元，日銷售量可增加10袋．(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完庫存燒鍋辣椒面，每袋售價應(yīng)定為多少元？(2)鐘珊珊在水城古鎮(zhèn)的線下實(shí)體店售賣同品牌的烙鍋辣椒面，標(biāo)價為64元/袋．為提高市場競爭力，增加線下銷售量，她決定實(shí)行打折銷售，使其售價不超過（1）中的售價，則該品牌烙鍋辣椒面至少打幾折售賣？考點(diǎn)四用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題例題：（2021·甘肅·金昌市第五中學(xué)八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點(diǎn)P在邊AC上，以2cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動．點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運(yùn)動的時間是_____秒．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江紹興·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，且恰好能始終保持連接兩動點(diǎn)的直線PD⊥AC，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，連接PQ．點(diǎn)P，D，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另兩個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t≥0）．(1)當(dāng)t=3時，求PD的長？(2)當(dāng)t為何值時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？(3)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．2．（2022·浙江杭州·八年級期中）如圖，平行四邊形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，點(diǎn)E以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿A一B一C向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)F以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿A一D一C向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（s）．(1)求平行四邊形ABCD的面積；(2)求當(dāng)t＝2s時，求△AEF的面積；(3)當(dāng)△AEF的面積為平行四邊形ABCD的面積的時，求t的值．考點(diǎn)五用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題例題：（2022·安徽·合肥市第四十二中學(xué)八年級期中）如圖，要建一個長方形場地，場地的一邊利用長為的住房墻，另外三邊用長的建筑材料圍成．為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊開了個寬的門．問所圍成的長方形場地的長、寬分別為多少米時，場地的面積為？【變式訓(xùn)練】1．（2020·全國·九年級期中）如圖所示，某農(nóng)戶準(zhǔn)備利用現(xiàn)有的34米長的籬笆靠墻，墻長18米，圍成一個面積是120平方米的長方形養(yǎng)雞場，要在與墻垂直的一邊和與墻平行的一邊各開一扇2米寬的門，且籬笆沒有剩余．這個養(yǎng)雞場的兩條鄰邊長各是多少米？2．（2022·浙江溫州·八年級期中）準(zhǔn)備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花園內(nèi)修建一個底部為正方形的亭子，如圖所示在亭子四周修四條寬度相同，且與亭子各邊垂直的小路，亭子邊長是小路寬度的5倍，花園內(nèi)的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為x米．(1)花園內(nèi)的道路面積為______平方米（用x的代數(shù)式表示）．(2)若草坪面積為667.2平方米時，求這時道路寬度x的值．一、選擇題1．（2022年四川省達(dá)州市（73）九年級下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某商店今年10月份的銷售額是2萬元，12月份的銷售額是2.88萬元，從10月份到12月份，該商店銷售額平均每月的增長率為（

）A．44% B．21% C．20% D．10%2．（2022·河北保定·一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價為6元．當(dāng)每瓶售價為10元時，日均銷售量為160瓶，經(jīng)市場調(diào)查表明，每瓶售價每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計劃該飲料日均總利潤為700元，且盡快減少庫存，則每瓶該飲料售價為（）A．11 B．12 C．13 D．143．（2022·湖北襄陽·二模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百九十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為891平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？依題意得，長比寬多（

）步A．15 B．12 C．9 D．64．（2021·遼寧朝陽·九年級期中）如圖，中，，cm，cm，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以cm/秒的速度向點(diǎn)移動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以cm/秒的速度向點(diǎn)移動，如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時出發(fā)，在運(yùn)動過程中，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為，則當(dāng)?shù)拿娣e為cm2時，的值（

）A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或45．（2022·山東·寧津縣教育和體育局教育科學(xué)研究所二模）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為，則該有蓋紙盒的高為（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm二、填空題6．（2022·廣東深圳·二模）一桶油漆能刷的面積，用它恰好刷完10個同樣的正方體形狀盒子的全部外表面．設(shè)其中一個盒子的棱長為xdm，則可列出方程：______．7．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海教師進(jìn)修學(xué)校一模）某種商品原價50元，因銷售不暢，3月份降價10%后，銷量大增，4、5兩月份又連續(xù)漲價，5月份的售價為64.8元，則4、5月份兩個月平均漲價率為______．8．（2021·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)一模）新冠肺炎全球蔓延，為防控疫情，做到有“禮”有“距”，“碰肘禮”逐漸流行起來．某次會議上，每兩個參加會議的人都相互一次“碰肘禮”，經(jīng)統(tǒng)計所有人共碰肘36次，則這次會議到會人數(shù)是_____人．9．（2022·湖北·孝感市孝南區(qū)教學(xué)研究室三模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百九十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為891平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多_________步．10．（2021·全國·九年級期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)B移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以3cm/s的速度向終點(diǎn)D移動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．經(jīng)過_________秒P、Q兩點(diǎn)之間的距離是5cm．三、解答題11．（2021·全國·九年級期中）如圖，某農(nóng)場要建一個面積為140平方米的矩形倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長18米），另三邊用木板材料圍成，為了方便進(jìn)出，在與墻垂直的一邊上要開一扇2米寬的門，已知圍建倉庫的現(xiàn)有木板材料總長為32米，那么這個倉庫的兩邊長分別為多少米？12．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場每天可多售5件．若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？13．（2022年遼寧省大連市中考第三次模擬數(shù)學(xué)試題）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”的銷售十分火爆，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象．據(jù)統(tǒng)計，某特許零售店2021年11月的銷量為3萬件，2022年1月的銷量為3.63萬件．(1)求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；(2)假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，則2022年2月“冰墩墩”的銷量有沒有超過4萬件？請利用計算說明．14．（2022·全國·九年級）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗(yàn)，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：(1)每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？(2)如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？15．（2022·重慶八中三模）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，為保障人民群眾的身體健康，我市啟動新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，已知今年3月甲接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比乙接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)多20%，兩接種點(diǎn)平均每天共有440人接種加強(qiáng)針．(1)求3月平均每天分別有多少人前往甲、乙兩接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針？(2)4月份，甲接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比3月少10m人，乙接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比3月多30%，在m天期間，甲、乙兩接種點(diǎn)共有2250人接種加強(qiáng)針，求m的值．16．（2022·全國·九年級）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．(1)若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊CD長為8米，則另一邊BC＝米；(2)若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長；(3)飼養(yǎng)場的面積能達(dá)到210平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊CD的長；若不能達(dá)到，請說明理由．17．（2022·重慶北碚·模擬預(yù)測）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顧客購買了2千克草莓，水果店獲得利潤20元．(1)求草莓的進(jìn)價為每千克多少元？(2)己知該水果店第一天以每千克30元的單價售出草莓30千克．為了讓顧客獲得實(shí)惠，第二天水果店決定把草莓降價促銷，若在第一天銷售單價的基礎(chǔ)上每降價1元，第二天的草莓銷量就會在第一天銷量的基礎(chǔ)上增加6千克．通過這兩天的銷售，這批草莓全部售完，水果店銷售完這批草莓的利潤一共為600元，求第二天的草莓每千克降價多少元？18．（2022·重慶·模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個冰墩墩的進(jìn)價比一個“雪容融”的進(jìn)價多40元，購買20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．(1)今年2月第一周每個“冰墩墩”和“雪容融”的進(jìn)價分別是多少元？(2)今年2月第一周，供應(yīng)商以以150元每個售出“冰墩墩”120個，以100元每個售出“雪容融”150個．第二周供應(yīng)商決定調(diào)整價格，每個“冰墩墩”的價格不變，每個“雪容融”的售價在第一周的基礎(chǔ)上下降了元，由于冬奧賽事的火熱進(jìn)行，第二周“冰墩墩”的銷量比第一周增加了個，“雪容融”的銷量比第一周增加了個，最終商家獲利6600元，求．19．（2021·湖北·荊州市沙市第五中學(xué)九年級期中）△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）填空：BQ=，PB=（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時，PQ的長度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．20．（2021·浙江杭州·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動到C點(diǎn)返回，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)D時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒）．（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）當(dāng)t為何值時，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積等于60cm2？（3）當(dāng)0<t<10.5時，是否存在點(diǎn)P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．專題04解決實(shí)際問題與一元二次方程(增長率、傳播、營銷、、動態(tài)幾何、與圖形有關(guān)的問題)考點(diǎn)一用一元二次方程解決增長率問題考點(diǎn)二用一元二次方程解決傳播問題考點(diǎn)三用一元二次方程解決營銷問題考點(diǎn)四用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題考點(diǎn)五用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題考點(diǎn)一用一元二次方程解決增長率問題例題：（2022·重慶·中考真題）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】平均增長率為x，關(guān)系式為：第三天攬件量＝第一天攬件量×（1＋平均增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：由題意得：第一天攬件200件，第三天攬件242件，∴可列方程為：，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，得到三天的攬件量關(guān)系式是解決本題的突破點(diǎn)，難度一般．【變式訓(xùn)練】1．（2022年新疆維吾爾自治區(qū)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考數(shù)學(xué)真題）臨近春節(jié)的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，即可得．【詳解】解：設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是能夠求出第二個月的銷售額和第三個月的銷售額．2．（2022·湖南常德·一模）某市政府為了改善城市容貌，綠化環(huán)境，計劃經(jīng)過兩年時間，使綠地面積增加21%，則這兩年平均綠地面積的增長率為______．【答案】10%【解析】【分析】設(shè)這兩年平均綠地面積的增長率為，根據(jù)題意兩年使綠地面積增加21%列出方程，然后求解．【詳解】設(shè)這兩年平均綠地面積的增長率為，由題意可知：，解得（負(fù)值舍掉）．故答案為：10%．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．考點(diǎn)二用一元二次方程解決傳播問題例題：（2022·浙江杭州·八年級期中）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新冠肺炎，設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程（

）A．x（1＋x）＝256 B．x＋（1＋x）2＝256C．x＋x（1＋x）＝256 D．1＋x＋x（1＋x）＝256【答案】D【解析】【分析】分別計算出每輪的人數(shù)，然后求和即可得出方程．【詳解】解：第一輪傳染x個人，一輪后的人數(shù)為（1+x）人；第二輪的人數(shù)為x(1+x)，兩輪的總?cè)藬?shù)為：1+x+x(1+x)=256，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東棗莊·二模）有一個人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)是______人．【答案】11【解析】【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：，解得：（舍去），故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽·合肥市第四十二中學(xué)八年級期中）某種流感病毒，若有一人患了這種流感，則在每輪傳染中一人將平均傳染x人．(1)現(xiàn)有一人患上這種流感，求第一輪傳染后患病的人數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在進(jìn)入第二輪傳染前，有兩位患者被及時隔高并治愈，問第二輪傳染后患病的人數(shù)會有21人嗎？【答案】(1)；(2)不會，理由見解析．【解析】【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了人，則第一輪后共有人患了流感；（2）第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了人，因進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈，則第二輪后共有人患了流感，而此時患流感人數(shù)為21，根據(jù)這個等量關(guān)系列出方程若能求得正整數(shù)解即可會有21人患?。?1)解：由題意可知：第一輪傳染后患病的人數(shù)人，(2)解：設(shè)在每輪傳染中一人將平均傳給人，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，∵，都不是正整數(shù)，∴第二輪傳染后共會有21人患病的情況不會發(fā)生．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)進(jìn)入第二輪傳染之前，有兩位患者被及時隔離并治愈列出方程并求解．考點(diǎn)三用一元二次方程解決營銷問題例題：（2022·山東·臨清市京華中學(xué)模擬預(yù)測）深圳著名“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城在2018年春節(jié)長假期間，接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計在2020年五一長假期間，接待游客獎達(dá)28.8萬人次．一家特色小面店希望在五一長期限期間獲得好的收益，經(jīng)測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒經(jīng)驗(yàn)：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)為了更好地維護(hù)深圳城市形象，店家規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當(dāng)每碗售價定為多少元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元？【答案】(1)20%(2)20元【解析】【分析】（1）設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)每碗的利潤乘以數(shù)量列出方程求解即可．(1)解：設(shè)年平均增長率為x，依題意有20（1＋x）2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增長率為20%；(2)每碗售價定為y元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元，依題意有（y﹣6）[300＋30（25﹣y）]＝6300，解得y1＝20，y2＝21，∵每碗售價不得超過20元，∴y＝20．答：當(dāng)每碗售價定為20元時，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤6300元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江杭州·八年級期中）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？【答案】(1)20%(2)50元/個【解析】【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)“從4月份到6月份銷售量的月增長率相同”列一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為y元/個，“月銷售利潤達(dá)到10000元”列方程，求解即可．(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意得：，解得，（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；(2)設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為y元/個，依題意得：，整理得，解得（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元/個．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解決實(shí)際問題，準(zhǔn)確理解題意，找出等量關(guān)系且熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州六盤水·九年級期末）抖音直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．為提高我市特產(chǎn)烙鍋辣椒面的影響力，某電商在抖音平臺上對某品牌袋裝（500克/袋）烙鍋辣椒面進(jìn)行直播銷售．成本價為40元/袋，如果按60元/袋銷售，每天可賣出80袋．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每袋烙鍋辣椒面售價每降低1元，日銷售量可增加10袋．(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完庫存燒鍋辣椒面，每袋售價應(yīng)定為多少元？(2)鐘珊珊在水城古鎮(zhèn)的線下實(shí)體店售賣同品牌的烙鍋辣椒面，標(biāo)價為64元/袋．為提高市場競爭力，增加線下銷售量，她決定實(shí)行打折銷售，使其售價不超過（1）中的售價，則該品牌烙鍋辣椒面至少打幾折售賣？【答案】(1)48元(2)七五折【解析】【分析】（1）設(shè)每袋降價元，根據(jù)日利潤保持不變列方程求解即可；（2）利用（1）中的售價列式計算即可．(1)解：設(shè)每袋降價元，由題意得：（60－40－）（80＋10）＝（60－40）×80，解得：＝12，＝0（不符合題意），∴60－12＝48（元），答：每袋售價應(yīng)定為48元；(2)×100%＝75%，答：該品牌烙鍋辣椒面至少打七五折．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．考點(diǎn)四用一元二次方程解決動態(tài)幾何問題例題：（2021·甘肅·金昌市第五中學(xué)八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點(diǎn)P在邊AC上，以2cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動，點(diǎn)Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動．點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動到終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運(yùn)動的時間是_____秒．【答案】1【解析】【分析】設(shè)P、Q運(yùn)動的時間是秒，根據(jù)已知條件得到cm，cm，則cm，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)P、Q運(yùn)動的時間是秒，則cm，cm，cm∵△PQC的面積為3cm2，∴，即，解得或（不合題意，舍去），∴當(dāng)△PQC的面積為3cm2時，P、Q運(yùn)動的時間是1秒．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程應(yīng)用——動點(diǎn)問題，三角形的面積，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江紹興·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)D從點(diǎn)A開始，沿邊AB向點(diǎn)B以每秒個單位長度的速度運(yùn)動，且恰好能始終保持連接兩動點(diǎn)的直線PD⊥AC，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，連接PQ．點(diǎn)P，D，Q分別從點(diǎn)A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另兩個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t≥0）．(1)當(dāng)t=3時，求PD的長？(2)當(dāng)t為何值時，四邊形BQPD的面積為△ABC面積的一半？(3)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)4(2)當(dāng)時，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半(3)存在t的值，當(dāng)t＝2.4時，使四邊形PDBQ為平行四邊形【解析】【分析】（1）由題意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的長；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因?yàn)镾四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知當(dāng)BQ=PD時，四邊形BQPD為平行四邊形，可列t＝8﹣2t，解方程即可．(1)解：當(dāng)t=3時，AD=5，AP=3，，；(2)解：∵由題意可得：CQ＝2t，AP＝t，，∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t，又∵PD⊥AC，，∵∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，∵S四邊形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，∴，解得，（不合題意，應(yīng)舍去），∴當(dāng)時，四邊形BQPD的面積為三角形ABC面積的一半；(3)解：存在，由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，若BQ與PD相等，則四邊形BQPD為平行四邊形，即：t＝8﹣2t解得t＝2.4．答：存在t的值，當(dāng)t＝2.4時，使四邊形PDBQ為平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定、勾股定理、動點(diǎn)問題的求解，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想列面積等式等知識方法，正確用t的代數(shù)式表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州·八年級期中）如圖，平行四邊形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，點(diǎn)E以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿A一B一C向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)F以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿A一D一C向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t（s）．(1)求平行四邊形ABCD的面積；(2)求當(dāng)t＝2s時，求△AEF的面積；(3)當(dāng)△AEF的面積為平行四邊形ABCD的面積的時，求t的值．【答案】(1)9cm2；(2)cm2；(3)t的值為4或【解析】【分析】（1）過點(diǎn)B作BG⊥CD于點(diǎn)G，由直角三角形的性質(zhì)得出平行四邊形的高，再按底乘以高，即可得解；（2）過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，分別計算出t＝2s時，AE，AF和FH的長，則按三角形面積公式計算即可；（3）分點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F在線段AD上和點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在線段CD上，兩種情況計算即可．(1)平行四邊形ABCD中，∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，如圖，過點(diǎn)B作BG⊥CD于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠C＝60°，∴∠CBG＝30°，∴CG＝BC＝cm，∴BG＝＝（cm），∴平行四邊形ABCD的面積為：CD×BG＝6×＝9（cm2）．答：平行四邊形ABCD的面積為9cm2；(2)當(dāng)t＝2s時，AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，∵∠A＝60°，∴△AEF是等邊三角形，如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，∴FH＝AF＝（cm），∴△AEF的面積為：×AE×FH＝×2×＝（cm2），答：當(dāng)t＝2s時，△AEF的面積為cm2；(3)∵由（1）知平行四邊形ABCD的面積為9cm2．∴當(dāng)△AEF的面積是平行四邊形ABCD面積的時，△AEF的面積為：9×＝3（cm2），當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動t秒時，點(diǎn)F在AD上運(yùn)動t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高為AF＝t（cm），∴×t×t＝3，∴t＝﹣2（舍）或t＝2，∴t＝2>3，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)E在線段AB.上運(yùn)動秒時，點(diǎn)F在CD上運(yùn)動t秒，(3<t≤6)，∴t=4，符合題意；當(dāng)點(diǎn)E′運(yùn)動到線段BC上時，且運(yùn)動時間為t秒時，點(diǎn)F′也運(yùn)動到線段CD上，如圖，過點(diǎn)E′作MN垂直CD于點(diǎn)H，垂直于AB延長線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，∴AB∥CD，∴∠E′BG＝∠C＝60°，∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，化簡得：t2﹣9t+12＝0，∴當(dāng)時，點(diǎn)E位于線段BC上，點(diǎn)F位于線段CD上，符合題意．綜上所述，t的值為4或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形或平行四邊形的面積公式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五用一元二次方程解決與圖形有關(guān)的問題例題：（2022·安徽·合肥市第四十二中學(xué)八年級期中）如圖，要建一個長方形場地，場地的一邊利用長為的住房墻，另外三邊用長的建筑材料圍成．為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊開了個寬的門．問所圍成的長方形場地的長、寬分別為多少米時，場地的面積為？【答案】所圍長方形場地的長為10m、寬為8m．【解析】【分析】可以設(shè)長方形場地垂直于住房墻一邊長為xm，可以得出平行于墻的一邊的長為m，由題意得出方程，求出邊長的值．【詳解】解：設(shè)長方形場地垂直于住房墻一邊長為xm，可以得出平行于墻的一邊的長為m，由題意得，化簡，得，解得：，，當(dāng)時，（舍去），當(dāng)時，，∴所圍長方形場地的長為10m、寬為8m．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·全國·九年級期中）如圖所示，某農(nóng)戶準(zhǔn)備利用現(xiàn)有的34米長的籬笆靠墻，墻長18米，圍成一個面積是120平方米的長方形養(yǎng)雞場，要在與墻垂直的一邊和與墻平行的一邊各開一扇2米寬的門，且籬笆沒有剩余．這個養(yǎng)雞場的兩條鄰邊長各是多少米？【答案】這個養(yǎng)雞場的兩條鄰邊長各是12米、10米【解析】【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（34-2x）米，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合養(yǎng)雞場的面積為120平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則平行于墻的一邊長為（34-2x）米，依題意，得：x（34-2x）=120，整理，得：x2-17x+60=0，解得：x1=12，x2=5．當(dāng)x=12時，34-2x=10；當(dāng)x=5時，34-2x=24＞18，不合題意，舍去．答：這個養(yǎng)雞場的兩條鄰邊長各是12米、10米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江溫州·八年級期中）準(zhǔn)備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花園內(nèi)修建一個底部為正方形的亭子，如圖所示在亭子四周修四條寬度相同，且與亭子各邊垂直的小路，亭子邊長是小路寬度的5倍，花園內(nèi)的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為x米．(1)花園內(nèi)的道路面積為______平方米（用x的代數(shù)式表示）．(2)若草坪面積為667.2平方米時，求這時道路寬度x的值．【答案】(1)54x?10x2(2)道路寬度x的值是．【解析】【分析】（1）由題意列出代數(shù)式可得出答案；（2）由題意列出方程可得出（5x）2+（-10x2+54x）+667.2＝30×24，解方程可得出答案．(1)解：設(shè)小路寬度為x米，花園內(nèi)的道路面積為x（30?5x）+x（24?5x）＝54x?10x2（平方米），故答案為：54x?10x2；(2)解：由題意得，（5x）2+（-10x2+54x）+667.2＝30×24，∴x1＝?，x2＝，x1＝?不合題意，舍去，∴x＝，即道路寬度x的值是．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用矩形的面積公式列出方程并解答．一、選擇題1．（2022年四川省達(dá)州市（73）九年級下學(xué)期5月教學(xué)質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）某商店今年10月份的銷售額是2萬元，12月份的銷售額是2.88萬元，從10月份到12月份，該商店銷售額平均每月的增長率為（

）A．44% B．21% C．20% D．10%【答案】C【解析】【分析】設(shè)平均增長率為x，根據(jù)題目意思列出方程求解，即可．【詳解】設(shè)平均增長率為x，依題意：，（舍）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查增長率，注意計算準(zhǔn)確．2．（2022·河北保定·一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價為6元．當(dāng)每瓶售價為10元時，日均銷售量為160瓶，經(jīng)市場調(diào)查表明，每瓶售價每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計劃該飲料日均總利潤為700元，且盡快減少庫存，則每瓶該飲料售價為（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“總利潤=每瓶利潤日均銷售量”列方程求解可得．【詳解】解：設(shè)每瓶售價x元時，所得日均總利潤為700元，根據(jù)題意的，，解得x1=11，x2=13，當(dāng)x1=11時，，當(dāng)x2=13時，，且，盡快減少庫存，每瓶該飲料售價為11元．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程．3．（2022·湖北襄陽·二模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百九十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為891平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？依題意得，長比寬多（

）步A．15 B．12 C．9 D．6【答案】D【解析】【分析】設(shè)長為x步，則寬為(60-x)步，根據(jù)長方形的面積公式列出方程進(jìn)行求解即可得出答案．【詳解】解：設(shè)長為x步，則寬為(60-x)步，，整理得，，解得，，，∴當(dāng)時，，長<寬，不合題意，舍去；∴當(dāng)時，，即長為33步，寬為27步，符合題意，∴長比寬多：33-27=6(步)，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2021·遼寧朝陽·九年級期中）如圖，中，，cm，cm，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以cm/秒的速度向點(diǎn)移動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊以cm/秒的速度向點(diǎn)移動，如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時出發(fā)，在運(yùn)動過程中，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為，則當(dāng)?shù)拿娣e為cm2時，的值（

）A．2或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4【答案】B【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm2，得到BP＝6?t，BQ＝2t，根據(jù)三角形的面積公式得出方程×（6?t）×2t＝8，求出即可．【詳解】設(shè)經(jīng)過秒鐘，使的面積為，，，×（6?t）×2t＝8，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，用未知數(shù)表示出△PBQ的面積是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·山東·寧津縣教育和體育局教育科學(xué)研究所二模）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為，則該有蓋紙盒的高為（

）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】【分析】設(shè)當(dāng)紙盒的高為xcm時，紙盒的底面積是48cm2，根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是48cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)當(dāng)紙盒的高為xcm時，紙盒的底面積是48cm2，依題意，得：，化簡，得：x2-15x+26=0，解得：x1=2，x2=13．當(dāng)x=2時，10-2x=6＞0，符合題意；當(dāng)x=13時，10-2x=-16＜0，不符合題意，舍去，答：若紙盒的底面積是48cm2，紙盒的高為2cm．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·廣東深圳·二模）一桶油漆能刷的面積，用它恰好刷完10個同樣的正方體形狀盒子的全部外表面．設(shè)其中一個盒子的棱長為xdm，則可列出方程：______．【答案】10×6x2=1500【解析】【分析】正方體盒子的外表面是由6個邊長相等的正方形圍成的，設(shè)正方體的棱長是xdm，根據(jù)題意得出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)正方體的棱長是xdm，則10×6x2=1500，故答案為：10×6x2=1500【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海教師進(jìn)修學(xué)校一模）某種商品原價50元，因銷售不暢，3月份降價10%后，銷量大增，4、5兩月份又連續(xù)漲價，5月份的售價為64.8元，則4、5月份兩個月平均漲價率為______．【答案】20%【解析】【分析】4月份價格從50×（1-10%）元開始漲價，如果兩個月平均漲價率為x，根據(jù)“5月份的售價為64.8元”作為相等關(guān)系得到方程50（1-10%）（1+x）2=64.8，解方程即可求解．注意解的合理性，從而確定取舍．【詳解】解：設(shè)兩個月平均漲價率為x，根據(jù)題意得50（1-10%）（1+x）2=64.8解得x1=0.2，x2=-2.2（不合理舍去）．所以4，5月份兩個月平均漲價率為20%．故答案為：20%【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量平均變化率問題．原來的數(shù)量（價格）為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a（1±x），再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長用“+”，下降用“-”．8．（2021·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)一模）新冠肺炎全球蔓延，為防控疫情，做到有“禮”有“距”，“碰肘禮”逐漸流行起來．某次會議上，每兩個參加會議的人都相互一次“碰肘禮”，經(jīng)統(tǒng)計所有人共碰肘36次，則這次會議到會人數(shù)是_____人．【答案】9【解析】【分析】設(shè)這次會議到會人數(shù)是x人，利用碰肘的總次數(shù)＝參會人數(shù)×（參會人數(shù)?1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這次會議到會人數(shù)是x人，依題意得：x（x?1）＝36，整理得：x2?x?72＝0，解得：x1＝9，x2＝?8（不合題意，舍去）．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022·湖北·孝感市孝南區(qū)教學(xué)研究室三模）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百九十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為891平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多_________步．【答案】6【解析】【分析】設(shè)長為x步，則寬為(60-x)步，根據(jù)長方形的面積公式列出方程進(jìn)行求解即可得出答案．【詳解】解：設(shè)長為x步，則寬為(60-x)步，，整理得，，解得，，，∴當(dāng)時，，長<寬，不合題意，舍去；∴當(dāng)時，，即長為33步，寬為27步，符合題意，∴長比寬多：33-27=6(步)，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（2021·全國·九年級期末）在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)B移動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD以3cm/s的速度向終點(diǎn)D移動，其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．經(jīng)過_________秒P、Q兩點(diǎn)之間的距離是5cm．【答案】或【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過x秒P、Q兩點(diǎn)之間的距離是5cm，如圖，過P點(diǎn)作，垂足為M點(diǎn)，得到DQ的長，并根據(jù)四邊形ABCD為矩形推出PM和QM的長，利用勾股定理列式解答即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x秒P、Q兩點(diǎn)之間的距離是5cm，如圖，過P點(diǎn)作，垂足為M點(diǎn)，，，四邊形ABCD為矩形，在直角三角形PQM中，經(jīng)過或秒P、Q兩點(diǎn)之間的距離是5cm．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的動點(diǎn)問題，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定難度，根據(jù)題意做出合適的輔助線，利用勾股定理解答是關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·全國·九年級期中）如圖，某農(nóng)場要建一個面積為140平方米的矩形倉庫，倉庫的一邊靠墻（墻長18米），另三邊用木板材料圍成，為了方便進(jìn)出，在與墻垂直的一邊上要開一扇2米寬的門，已知圍建倉庫的現(xiàn)有木板材料總長為32米，那么這個倉庫的兩邊長分別為多少米？【答案】倉庫的邊為10米，為14米【解析】【分析】設(shè)倉庫的邊為米，根據(jù)面積為140平方米的倉庫可得，再解一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)倉庫的邊為米，由題意得：，整理，得，解，得，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴不合題意，應(yīng)舍去.答：倉庫的邊為10米，為14米.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，正確表示出長方形的長和寬．12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場每天可多售5件．若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？【答案】36元【解析】【分析】設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，根據(jù)平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場每天可多售5件．若商場平均每天要盈利1600元，可列方程求解．【詳解】解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則銷售量為（20+5x）件，每件利潤為（44﹣x）元，依題意，得（20+5x）（44﹣x）＝1600，整理，得x2﹣40x+144＝0，解得x＝36或x＝4（為了減少庫存，不符合題意舍去）．∴每件襯衫應(yīng)降價36元，答：每件襯衫應(yīng)降價36元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是看到降價和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解．13．（2022年遼寧省大連市中考第三次模擬數(shù)學(xué)試題）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”的銷售十分火爆，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象．據(jù)統(tǒng)計，某特許零售店2021年11月的銷量為3萬件，2022年1月的銷量為3.63萬件．(1)求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；(2)假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，則2022年2月“冰墩墩”的銷量有沒有超過4萬件？請利用計算說明．【答案】(1)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為；(2)2022年2月“冰墩墩”的銷量沒有超過4萬件．【解析】【分析】（1）設(shè)月平均增長率為x，找出等量關(guān)系：兩個月內(nèi)銷量由3萬增加到3.63萬，列方程求解即可；（2）利用增長率求出2月“冰墩墩”的銷量即可．(1)解：設(shè)月平均增長率為x，根據(jù)題意，得，解得，（不合題意，舍去），∴該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為10%．(2)解：假設(shè)保持相同的月平均增長率，那么2022年2月“冰墩墩”的銷量為：（萬件），∵3.993＜4，∴2022年2月“冰墩墩”的銷量沒有超過4萬件．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：增長率，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系列出方程求出增長率．14．（2022·全國·九年級）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗(yàn)，將對全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：(1)每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？(2)如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患??？【答案】(1)7人(2)512人【解析】【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)×（1+7），即可求出結(jié)論．(1)設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，依題意，得：1+x+x（1+x）=64，解得：x1=7，x2=-9（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每個人傳染了7個人．(2)64×（1+7）=512（人）．答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有512人患病．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．（2022·重慶八中三模）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，為保障人民群眾的身體健康，我市啟動新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，已知今年3月甲接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比乙接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)多20%，兩接種點(diǎn)平均每天共有440人接種加強(qiáng)針．(1)求3月平均每天分別有多少人前往甲、乙兩接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針？(2)4月份，甲接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比3月少10m人，乙接種點(diǎn)平均每天接種加強(qiáng)針的人數(shù)比3月多30%，在m天期間，甲、乙兩接種點(diǎn)共有2250人接種加強(qiáng)針，求m的值．【答案】(1)3月平均每天有240人前往甲接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針，有200人前往乙接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針；(2)m的值為5．【解析】【分析】（1）設(shè)3月平均每天有x人前往乙接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針，則3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針，根據(jù)3月兩接種點(diǎn)平均每天共有440人接種加強(qiáng)針，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出3月平均每天前往乙接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針的人數(shù)，再將其代入（1+20%）x中即可求出3月平均每天前往甲接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針的人數(shù)；（2）根據(jù)4月份在m天期間甲、乙兩接種點(diǎn)共有2250人接種加強(qiáng)針，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再結(jié)合每天前往甲接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針的人數(shù)為正值，即可得出m的值為5．(1)解：設(shè)3月平均每天有x人前往乙接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針，則3月平均每天有（1+20%）x人前往甲接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針，依題意得：（1+20%）x+x=440，解得：x=200，∴（1+20%）x=（1+20%）×200=240．答：3月平均每天有240人前往甲接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針，有200人前往乙接種點(diǎn)接種加強(qiáng)針；(2)解：依題意得：（240-10m）m+200×（1+30%）m=2250，整理得：m2-50m+225=0，解得：m1=5，m2=45．當(dāng)m=5時，240-10m=240-10×5=190＞0，符合題意；當(dāng)m=45時，240-10m=240-10×45=-210＜0，不符合題意，舍去．答：m的值為5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．16．（2022·全國·九年級）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．(1)若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊CD長為8米，則另一邊BC＝米；(2)若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的面積為180平方米，求邊CD的長；(3)飼養(yǎng)場的面積能達(dá)到210平方米嗎？若能達(dá)到，求出邊CD的長；若不能達(dá)到，請說明理由．【答案】(1)24(2)10米(3)不能，見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)圖形計算即可；（2）根據(jù)矩形的面積等于長乘寬，即可列方程求解；（3）列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式計算．(1)解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．故答案為：24．(2)設(shè)CD＝x（0＜x≤15）米，則BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，依題意得：x（48﹣3x）＝180，整理得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．當(dāng)x＝6時，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），30＞27，不合題意，舍去；當(dāng)x＝10時，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合題意．答：邊CD的長為10米．(3)不能，理由如下：設(shè)CD＝y(tǒng)（0＜y≤15）米，則BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，依題意得：y（48﹣3y）＝210，整理得：y2﹣16y+70＝0．∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，∴飼養(yǎng)場的面積不能達(dá)到210平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17．（2022·重慶北碚·模擬預(yù)測）某水果店以每千克30元出售一批草莓．一位顧客購買了2千克草莓，水果店獲得利潤20元．(1)求草莓的進(jìn)價為每千克多少元？(2)己知該水果店第一天以每千克30元的單價售出草莓30千克．為了讓顧客獲得實(shí)惠，第二天水果店決定把草莓降價促銷，若在第一天銷售單價的基礎(chǔ)上每降價1元，第二天的草莓銷量就會在第一天銷量的基礎(chǔ)上增加6千克．通過這兩天的銷售，這批草莓全部售完，水果店銷售完這批草莓的利潤一共為600元，求第二天的草莓每千克降價多少元？【答案】(1)草莓的進(jìn)價為每千克20元(2)第二天的草莓每千克降價5元【解析】【分析】（1）設(shè)草莓的進(jìn)價為每千克x元，然后根據(jù)利潤=（售價-進(jìn)價）×數(shù)量列出方程求解即可；（2）設(shè)第二天的草莓每千克降價m元，然后根據(jù)利潤=（售價-進(jìn)價）×數(shù)量列出方程求解即可．(1)解：設(shè)草莓的進(jìn)價為每千克x元，由題意得：，解得，∴草莓的進(jìn)價為每千克20元，答：草莓的進(jìn)價為每千克20元；(2)解：設(shè)第二天的草莓每千克降價m元，由題意得，解得或（舍去），∴第二天的草莓每千克降價5元，答：第二天的草莓每千克降價5元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程求解是解題的關(guān)鍵．18．（2022·重慶·模擬預(yù)測）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應(yīng)商今年2月第一周購進(jìn)一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一個冰墩墩的進(jìn)價比一個“雪容融”的進(jìn)價多40元，購買20個“冰墩墩”和30個“雪容融”的金額相同．(1)今年2月第一周每個“冰墩墩”和“雪容融”的進(jìn)價分別是多少元？(2)今年2月第一