浙教新版九年級上學(xué)期《4. 5 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用》同步練習(xí)卷

浙教新版九年級上學(xué)期《4.5相似三角形的性質(zhì)及其

應(yīng)用》同步練習(xí)卷

一.選擇題（共1小題）

1.如圖，以點(diǎn)。為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速

拉起，當(dāng)杠桿0A水平時(shí)，拉力為尸；當(dāng)杠桿被拉至。4時(shí)，拉力為西，過

點(diǎn)S作囪CLOA,過點(diǎn)小作垂足分別為點(diǎn)C、D.

②OA?OC=OB?OD；

③OC?G=OO?Q；

④產(chǎn)二長.

其中正確的說法有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二.填空題（共2小題）

2.在△ABC中，NAC8=90°,BC=8,AC=6,以點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓

上有一動點(diǎn)。，連接AZ）,BD,CD,則［3O+A。的最小值是

2

3.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)旗桿的高度，小華拿一支刻有厘米分劃的小

尺，站在距旗桿30米的地方，手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個(gè)

分劃恰好遮住旗桿，已知臂長60cm,則旗桿高為米.

4.小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，影子的大小與光源

到物體的距離有關(guān).因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長度計(jì)算光源到

物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架ABC。，邊長A8為30C7",在其正

上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A'B,D'C的長

度和為6cm.那么燈泡離地面的高度為.

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長為30C77?的正方形框架按圖2擺放，

請計(jì)算此時(shí)橫向影子A，B,D'。的長度和為多少？

（3）有〃個(gè)邊長為。的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A'B,D'C的長度

和為從求燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,b,〃的代數(shù)式

表示）

5.某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm.8cm.為

使板凳兩腿底端A、。之間的距離為50cm,那么橫梁所應(yīng)為多長？（材質(zhì)

及其厚度等暫忽略不計(jì)）.

6.如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在。點(diǎn)處的影長OE=3米，

沿8D方向行走到達(dá)G點(diǎn)，0G=5米，這時(shí)小明的影長G"=5米.如果小明

的身高為1.7米，求路燈桿的高度（精確到0.1米）.

7.小明想測量電線桿的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子正好落在坡面C。和

地面3C上，已知CO和地面成30°角，CO=4m,BC=lOm,且此時(shí)測得1加

高的標(biāo)桿在地面的影長為2加，求A3的長度.

R

8.如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.

（1）如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是50"?〃?，拍攝的景物高度AB是4.9〃z,拍攝

點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？

（2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4〃?，像高不變，則

相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

9.學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，

并探究影子長度的變化規(guī)律.如圖，在同一時(shí)間，身高為1.6〃？的小明CAB）

的影子長是3加，而小穎（EH）剛好在路燈燈泡的正下方”點(diǎn)，并測得

HB=6m.

（1）請?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

（2）求路燈燈泡的垂直高度G"；

（3）如果小明沿線段向小穎（點(diǎn)H）走去，當(dāng)小明走到3”中點(diǎn)場處時(shí)，

求其影子BiG的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的工到&處時(shí)，求其影子&C2

3

的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的2到&處，…按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明

4

走剩下路程的」一到以處時(shí)，其影子8G的長為______匕（直接用〃的代

n+1

數(shù)式表示）

A

10.有一塊三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=Scm,高

AD=l2cm,矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC.4?上，設(shè)

HE的長為ycm、EF的長為xcm

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)光取多少時(shí)，EFGH是正方形?

11.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高4。=80根根，把它

加工成正方形零件如圖，使正方形的一邊在3c上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB,

AC上.

(1)求證：

(2)求這個(gè)正方形零件的邊長.

12.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AB長L5〃z,面積為1.5毋.甲、乙

兩位木匠分別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面.請說明哪個(gè)正方形面

積較大(加工損耗不計(jì)).

13.已知/AOB=90°,0M是NA08的平分線，按以下要求解答問題:

（1）將一塊含45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)P在射線0M上移動，兩直角邊

分別與04、0B交于點(diǎn)C,D,在圖1中，點(diǎn)G是CD與0P的交點(diǎn)，且PG

=&PD,求：△POD與APDG的面積之比；

2

（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線0M上移動，一直角邊與。8交于點(diǎn)O,0D

=1,另一直角邊與直線。4、08分別交于點(diǎn)C、E,使以P,D,E為頂點(diǎn)的

三角形與△OCO相似，在圖2中作出圖形，并求0P的長.

14.在同一時(shí)刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB=2米，它

的影子8C=L6米，木竿P。的影子有一部分落在墻上，PM=1.2米，MN=

15.問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對

校園中一些物體進(jìn)行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息:

乙組：如圖2,測得學(xué)校旗桿的影長為900cm.

丙組：如圖3,測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）

的高度為200c"?,影長為156c〃?.任務(wù)要求：

（1）請根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；

（2）如圖3,設(shè)太陽光線N”與。。相切于點(diǎn)M.請根據(jù)甲、丙兩組得到的信

息，求景燈燈罩的半徑.（友情提示：如圖3,景燈的影長等于線段NG的影

長；需要時(shí)可采用等式1562+2082=26（）2）

16.如圖，路燈A離地8米，身高1.6米的小王（CO）的影長。8與身高一樣,

現(xiàn)在他沿。。方向走10米，到達(dá)E處.

（1）請畫出小王在E處的影子E”；

（2）求EH的長.

17.如圖，在△ABC中，NB=90°,ZA=60°,AB=1,作等腰三角形△AC。，

使NCA￡>=30°,且點(diǎn)。和8位于AC異側(cè)，連結(jié)8。交AC于點(diǎn)O

（1）請?jiān)谒o圖形基礎(chǔ)上畫出符合要求的其中一個(gè)草圖，并在圖中找出相似三

角形后說明理由

（2）在（1）的條件下，求出AO長.

18.在△ABC和aOE/中，NA=NO=70°,ZB=50°，Z￡=30°，分別過

兩個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)畫直線/、加，使直線/將△A3C分為兩個(gè)小三角形，

直線機(jī)將分成兩個(gè)小三角形，并使△ABC分成的兩個(gè)小三角形分別與

△OE尸分成的兩個(gè)小三角形相似，并標(biāo)出每個(gè)小三角形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).（畫

圖工具不限，不要求寫作法，只要畫出一種分法.）

19.如圖（1）是一種廣場三聯(lián)漫步機(jī)，其側(cè)面示意圖如圖（2）所示，其中A3

=AC=120cm,BC=S0cm,AD=30cm,ZDAC=90°.求點(diǎn)。到地面的高

20.小胖和小瘦去公園玩標(biāo)準(zhǔn)的蹺蹺板游戲，兩同學(xué)越玩越開心，小胖對小瘦說:

“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相

同的一段長度，那么我就能翹到1米25,甚至更高！”

（1）你認(rèn)為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明；

（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明.

5?/

曲,而P

21.小玲用下面的方法來測量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度：如圖，在水平地面上放

一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離￡4=25米.當(dāng)她與鏡子的距離CE=2.5

米時(shí)，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B.已知她的眼睛距地面高度

0c=1.6米.請你幫助小玲計(jì)算出教學(xué)大樓的高度是多少米（注意：根據(jù)

22.如圖，在一個(gè)長40加、寬30〃?的長方形小操場上，王剛從A點(diǎn)出發(fā)，沿著

A=B=C的路線以3m/s的速度跑向C地.當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要

交給他，就從A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕.當(dāng)張華跑到距3地2?機(jī)的。

3

處時(shí)，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上.此時(shí)，A處一根

電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.

（1）求他們的影子重疊時(shí)，兩人相距多少米？（DE的長）

（2）求張華追趕王剛的速度是多少？（精確到O.lm/s）

23.某校八年一班的一節(jié)數(shù)學(xué)活動課安排了測量操場上懸掛國旗的旗桿的高

度.甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)的測量方案如圖所示：甲組測得圖中3。=

60米，。。=3.4米，CO=1.7米；乙組測得圖中，CD=1.5米，同一時(shí)刻影

長尸0=0.9米，E8=18米；丙組測得圖中，EF//AB.FH//BD,8。=90米，

所=0.2米，人的臂長（FH）為0.6米.請你任選一種方案，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0ABe是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,3）.

（1）直接寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）平行于對角線AC的直線〃?從原點(diǎn)。出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位

長度的速度運(yùn)動，設(shè)直線相與矩形048。的兩邊分別交于點(diǎn)M、N,設(shè)直線

m運(yùn)動的時(shí)間為7（秒）.

①若求f的值；

②設(shè)△OMN的面積為S,當(dāng)/為何值時(shí)，S=-|.

25.一塊直角三角形木板的一條直角邊A3長為1.5米，面積為1.5平方米，要

把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如

下所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求.（加工損耗忽

略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）

26.某班研究性學(xué)習(xí)小組，到校外進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)現(xiàn)一個(gè)如圖所示的支架

PAB,于是他們利用手中已有的工具進(jìn)行一系列操作，并得到了相關(guān)數(shù)據(jù)，從

而可求得支架頂端P到地面的距離.

實(shí)驗(yàn)工具：①3米長的卷尺；②鉛垂線（一端系著圓錐型鐵塊的細(xì)線）.

實(shí)驗(yàn)步驟：

第一步，量得支架底部A、B兩點(diǎn)之間的距離；

第二步，在AP上取一點(diǎn)C,掛上鉛垂線CD,點(diǎn)。恰好落在直線AB上，量得

C。和AO的長；

第三步，在BP上取一點(diǎn)E,掛上鉛垂線EF,點(diǎn)尸恰好落在直線AB上，量得

EF和的長.

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):

線段ABCDADEFBF

長度（米）2.510.81.20.6

問：(1)根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請你計(jì)算支架頂端P到地面的距離(精確到0.1米);

(2)假定你是該小組成員，請你用一句話談?wù)劚敬螌?shí)踐活動的感受.

27.如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中有一個(gè)格點(diǎn)三角形ABC(注:

頂點(diǎn)均在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形稱為格點(diǎn)三角形)

(1)請直接寫出△ABC中邊上的高線長：；

(2)請?jiān)趫D中畫一個(gè)格點(diǎn)三角形DER使得?△ABC,且相似比為2：1；

(3)若建立平面直角坐標(biāo)系后，A、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)、B(1,

0)、C(4,2).請?jiān)趫D中確定格點(diǎn)M,使得△BCM的面積為7.5,請直接寫

出所有符合題意的格點(diǎn)M的坐標(biāo).

28.身高1.6米的安心同學(xué)在某一時(shí)刻測得自己的影長為1.4米，此刻她想測量

學(xué)校旗桿的高度.但當(dāng)她馬上測量旗桿的影長時(shí)，發(fā)現(xiàn)因旗桿靠近一幢建筑

物，影子一部分落在地面上，一部分落在墻上(如圖).她先測得留在墻上的

影子CO=1.2米，又測地面部分的影長BC=3.5米，你能根據(jù)上述數(shù)據(jù)幫安

心同學(xué)測出旗桿的高度嗎？

29.王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級

踏板之間的距離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度A|&=0.5相，最下

面一級踏板的長度A8以=0.8〃Z.木工師傅在制作這些踏板時(shí)，截取的木板要

比踏板長，以保證在每級踏板的兩個(gè)外端各做出一個(gè)長為4c7〃的樺頭（如圖

2所示），以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為21〃的木板可以用來制作梯子

的踏板（木板的寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），請問：制作這

些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木板？請說明理由.（不考慮鋸縫的損

耗）

AB]

/頭

踏板長

4穌

圖1

30.如圖，要測量人民公園的荷花池A、8兩端的距離，由于條件限制無法直接

測得，請你用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)出一種測量方案，寫出測量步驟.用直

尺或圓規(guī)畫出測量的示意圖，并說明理由（寫出求解或證明過

程）.一一^

31.閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù)：

數(shù)學(xué)活動測量樹的高度

在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律.數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律測量

池塘對岸一棵樹的高度AB測量和計(jì)算的部分步驟如下：

①如圖，在地面上的點(diǎn)C處放置了一塊平面鏡，小華站在3C的延長線上，當(dāng)

小華從平面鏡中剛好看到樹的頂點(diǎn)A時(shí).測得小華到平面鏡的距離CD=2米,

小華的眼睛E到地面的距離ED=L5米；

②將平面鏡從點(diǎn)。沿8C的延長線向后移動10米到點(diǎn)尸處，小華向后移動到點(diǎn)

“處時(shí)，小華的眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點(diǎn)A,這時(shí)測得小華到

平面鏡的距離尸"=3米；

③計(jì)算樹的高度AB：設(shè)米，8C=y米.

VZABC=ZEDC=9Q°,/ACB=/ECD

：.AABC^AEDC

?AB_BC……

''ED^DC

任務(wù):請你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計(jì)算步驟,將剩余的計(jì)算部分補(bǔ)充完整.

32.夜晚，小明在路燈下散步.若小明身高1.5〃?，路燈的燈柱高4.5/6

（1）如圖1,若小明在相距10米的兩路燈A3、CO之間行走（不含兩端），他

在路燈下的影子為/在路燈CO下的影子為尸N.解答問題：

①若BF=4,求影子FM.②猜想影子FM與FN的長的和為定值嗎？說出理由.

（2）有言道：形影不離.其原意為：人的影子與自己緊密相伴，無法分離.但

在燈光下，人的速度與影子的速度卻不是一樣的！如圖2,若小明在燈柱P。

前，朝著影子的方向（如圖箭頭），以0.8米/秒的速度勻速行走，試求他影子

的頂端R在地面上移動的速度.

33.如圖，在斜坡的頂部有一鐵塔AB,在陽光的照射下，塔影OE留在坡面上，

已知鐵塔底座寬CD=l4m,塔影長。E=36/〃，小明和小華的身高都是1.6〃?，

小明站在點(diǎn)E處，影子也在斜坡面上，小華站在沿DE方向的坡腳下，影子

在平地上，兩人的影長分別為4〃?與2〃z,那么求塔高AB

A

E

34.為了測量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時(shí)刻某人進(jìn)行了如下操作：

圖（1）：測得竹竿C。的長為0.8米，其影CE長1米，樹影AE長2.4米.

圖（2）：測得落在地面的樹影長2.8米，落在墻上的樹影高1.2米，請問圖（1）

和圖（2）中的樹高各是多少？

35.一塊直角三角形木版的一條直角邊A8為15”，面積為15分,要把它加工

成一個(gè)面積最大的正方形桌面，小明打算按圖1進(jìn)行加工，小華準(zhǔn)備按圖2

進(jìn)行裁料，他們誰的加工方案符合要求？

36.馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目.蹺蹺板支柱A3的高度為1.2米.

（1）若吊環(huán)高度為2米，支點(diǎn)A為蹺蹺板P。的中點(diǎn)，獅子能否將公雞送到吊

環(huán)上，為什么？

（2）若吊環(huán)高度為3.6米，在不改變其他條件的前提下移動支柱，當(dāng)支點(diǎn)A移

到蹺蹺板PQ的什么位置時(shí)，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上?

37.如圖1,已知四邊形ABCD點(diǎn)P為平面內(nèi)一動點(diǎn).如果

那么我們稱點(diǎn)尸為四邊形ABC。關(guān)于A、8的等角點(diǎn).如圖2,以點(diǎn)8為坐標(biāo)

原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6.

(1)若A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,4)、D(6,4),當(dāng)四邊形A8CD關(guān)于A、

B的等角點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)若A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)、。(6,4),當(dāng)四邊形ABC。關(guān)于A、

8的等角點(diǎn)P在。。邊上時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)若A、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4)、D(10,4),點(diǎn)P(x,y)為四邊

形ABC。關(guān)于A、8的等角點(diǎn)，其中x>2,y>0,求y與x之間的關(guān)系式.

38.小明用這樣的方法來測量建筑物的高度：如圖所示，在地面上(E處)放一

面鏡子，他剛好從鏡子中看到建筑物(AB)的頂端B,他的眼睛離地面1.25

米(CD=1.25米)，如果小明離鏡子1.50米(CE=1.50米)，與建筑物的距

離是181.50米(C4=181.50米).那么建筑物的高是多少米？

39.一塊三角形的余料，底邊BC長18米，高4。=10米，如圖.要利用它裁

剪一個(gè)長寬比是3：2的長方形，使長方形的長在8C上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在A3、

AC上，求長方形的長EH和寬所的長.

40.小明想知道學(xué)校旗桿的高，他在某一時(shí)刻測得直立的標(biāo)桿高1米時(shí)影長0.9

米，此時(shí)他測旗桿影長時(shí)，因?yàn)槠鞐U靠近建筑物，影子不全落在地面上，有

一部分影子在墻上，他測得落在地面上的影長3C為2.7米，又測得墻上影高

CD為1.2米，請你求旗桿的高度.

41.如圖，大剛在晚上由燈柱A走向燈柱8,當(dāng)他走到M點(diǎn)時(shí)，發(fā)覺他身后影

子的頂部剛好接觸到燈柱A的底部，當(dāng)他向前再走12米到N點(diǎn)時(shí)，發(fā)覺他身

前的影子剛好接觸到燈柱B的底部，已知大剛的身高是1.6米，兩根燈柱的

高度都是9.6米，設(shè)AM=NB=x米.求：兩根燈柱之間的距離.

42.如圖，這是我校足球場右上角的示意圖，B點(diǎn)是發(fā)點(diǎn)球處，圍欄外A點(diǎn)有一

根電桿.利用皮尺無法直接測量A、3之間的距離，請你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，測出

A、8間的距離，作出圖示，說說你的理由.

43.如圖，若梯形PMNQ是一塊綠化地，梯形上底「。=加，下底MN=〃，現(xiàn)在

計(jì)劃把價(jià)格不同的兩種花草種植在$、S2、S3、S4四塊地里，使得價(jià)格相同的

花草不相鄰，為了節(jié)省費(fèi)用，園藝師應(yīng)該把哪兩塊地種植較便宜的花草？通

過計(jì)算說明你的理由.

44.如圖，一塊實(shí)驗(yàn)田為直角三角形，把這塊直角三角形的地分成三部分，其中

兩部分為兩個(gè)直角三角形，分別種紅花和藍(lán)花；第三部分為正方形，種上黃

花，已知兩塊種紅花和藍(lán)花的三角形地的最長邊分別是50，”和30〃?，請你計(jì)

算種紅花、藍(lán)花的面積和為多少？

黃花\

45.(1)如圖1,/\ABC^P，AB=AC=BC,P為AC上一點(diǎn)，過P點(diǎn)可作條

直線將△ABC分成兩部分，使截得的三角形與△A8C相似；作出直線草圖.

(2)如圖2,△ABC中，NC=90°,P為斜邊上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)可作條

直線將△ABC分成兩部分，使截得的三角形與AABC相似；作出直線草圖.

(3)如圖3,/XABC中P點(diǎn)為AC上一點(diǎn)，過尸點(diǎn)可作條直

線將△A3C分成兩部分，使截得的三角形與△A8C相似，作出直線草圖.

46.如圖，△ABC是一塊面積為2700。/的三角形木板，其中3c=90。加，現(xiàn)在

要將這塊木板加工成一個(gè)正方形的桌面，如圖所示，正方形。EFM即是要加

工成的桌面，點(diǎn)。、M分別在AB、AC邊上，點(diǎn)E、廠在8C邊上，根據(jù)以上

數(shù)據(jù)求出這個(gè)正方形桌面的邊長.

47.閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問題：

已知：如圖1,在aABC中，三邊的長分別為4?=傷，AC=?,BC=2,求

NA的正切值.

小華是這樣解決問題的：

如圖2所示，先在一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長均為1)中畫出格點(diǎn)△

ABC(△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處)，然后在這個(gè)正方形網(wǎng)格中再

畫一個(gè)和XABC相似的格點(diǎn)△OEF,從而使問題得解.

(1)如圖2,ADEF中與NA相等的角為,ZA的正切值為.

(2)參考小華的方法請解決問題：若△LMN的三邊分別為LM=2,MN=2日

LN=2娓,求NN的正切值.

48.把一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正三角形分別分割成3個(gè)三角形，使等腰直角

三角形中的3個(gè)小三角形和正三角形中的3個(gè)小三角形分別相似？請畫出三

角形的分割線，在小三角形的各個(gè)角上標(biāo)出度數(shù).

F三角形等腰直角三角形

49.已知：如圖所示，要在高A￡>=80?w?,底邊BC=120/初”的三角形余料中截

出一個(gè)正方形板材AD與PN交于E.求正方形的邊長.

50.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在

河的這一邊選定點(diǎn)B和。，使然后，再選點(diǎn)E,使用視

線確定BC和AE的交點(diǎn)D.此時(shí)如果測得8。=60米，。。=30米，EC=25

米，求兩岸間的大致距離AB.

浙教新版九年級上學(xué)期《4.5相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用》

2018年同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共1小題）

1.如圖，以點(diǎn)。為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為G的物體勻速

拉起，當(dāng)杠桿水平時(shí)，拉力為長當(dāng)杠桿被拉至OA時(shí)，拉力為過

點(diǎn)囪作過點(diǎn)Ai作AiOLOA,垂足分別為點(diǎn)C、D.

?AOBiC^AO^iD；

（2）OA*OC=OB*OD；

③OC?G=OD,Fi；

④廣二刃.

其中正確的說法有（）

%

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出

然后求出判斷出①正確；

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；

根據(jù)杠桿平衡原理：動力X動力臂=阻力X阻力臂列式判斷出③正確；

求出尸的大小不變，判斷出④正確.

【解答】解：?.?&C_LOA,A}D^OA,

：.B\C//A\D,

/.△OBiC^AOAiD,故①正確；

QB

?OC=1

,"OD虱，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OBi，OA=OAi，

：.OMOC=OB*OD,故②正確；

由杠桿平衡原理，OC?G=OD?Fi，故③正確；

.?&=生=曳=理是定值，

GOD0A10A

，尸1的大小不變，

AF=F\,故④正確.

綜上所述，說法正確的是①②③④.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三

角形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共2小題）

2.在△A8C中，ZACB=90°,BC=S,AC=6,以點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓

上有一動點(diǎn)。，連接AO,BD,CD,貝嶺BD+A。的最小值是，近

【分析】如圖，在C8上取一點(diǎn)R使得Cf=2,連接CD,AF.由△/COs4

DCB,推出迎=空=工，推出DF=；D,推出工8O+AO=O尸+AF,根據(jù)

BDCD222

DF+AD^AF即可解決問題；

【解答】解：如圖，在C8上取一點(diǎn)F,使得b=2,連接CO,AF.

B

：.CD=4,CF=2,CB=8,

：.CET=CF*CB,

?CD=CB

*"CFCF'

■:/FCD=/DCB,

:.AFCDsADCB,

.DF=CF=1

??麗CDI'

:.DF=LBD,

2

:.LBD+AD=DF+AF,

2

DF+AD^AF,AF=^22+52=2VTO>

：.^BD+AD的最小值是2傷，

故答案為2國.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理等知識，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

3.如圖，數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)旗桿的高度，小華拿一支刻有厘米分劃的小

尺，站在距旗桿30米的地方，手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個(gè)

分劃恰好遮住旗桿，已知臂長60cm,則旗桿高為6米.

【分析】根據(jù)題畫出圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.

【解答】解：由題意可知△ABC是等腰三角形，AG為高,

；.BG=LBC,DF=^-DE=^-X12cm=0.06m,

222

AE為臂長，即60c7九=0.6加.AG=30m,

由題意可知△AFOSAAGB,即更=如，

AGBG

即=2毀，解得8G=3m,：.BC=2BG=2X3=6m.

30BG

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然

后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

三.解答題（共47小題）

4.小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，影子的大小與光源

到物體的距離有關(guān).因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長度計(jì)算光源到

物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.

（1）如圖1,垂直于地面放置的正方形框架ABC。，邊長A8為30cm,在其正

上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A'B,D'。的長

度和為6cm.那么燈泡離地面的高度為180cM.

（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長為30cm的正方形框架按圖2擺放,

請計(jì)算此時(shí)橫向影子A'B,D'。的長度和為多少？

（3）有〃個(gè)邊長為。的正方形按圖3擺放，測得橫向影子A'B,D'C的長度

和為從求燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,4〃的代數(shù)式

表示）

【分析】（1）設(shè)燈泡的位置為點(diǎn)P,易得△勿。s△必'D',設(shè)出所求的未知

數(shù)，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，可得燈泡離地面的高度；

（2）同法可得到橫向影子A'B,D'。的長度和；

（3）按照相應(yīng)的三角形相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，

用字母表示出其他線段，即可得到燈泡離地面的距離.

【解答】解：（1）設(shè)燈泡離地面的高度為xc〃z,

,JAD//A'D',

：.ZPAD=ZPA'D',NPDA=NPD'A'.

△如￡>s△%'D'.

根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得*一拜，

A'D'PM

???-3-0-—--x---3-0-,

36x

解得x=18O.

（2）設(shè)橫向影子A'B,D'C的長度和為ycm,

同理可得.?.一”=3,

60+y180

解得y=12c"z；

（3）記燈泡為點(diǎn)P,如圖：

'：AD//A'D',

.，.ZMD=ZB4/D',NPDA=NPD'A'.

：./\PAD^/\PA'D'.

根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得-7■竺一拜，

A'D'PM

（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）

設(shè)燈泡離地面距離為九，由題意，得，尸N=x-a,A￡）=加z,A'D'=na+b,

.?.na_x-a]_a

na+bxx

且=]-na

xna+b

na2+ab

人

b

【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，注意運(yùn)用相似三角形對應(yīng)高的

比等于相似比這個(gè)性質(zhì).

5.某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD,

BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AO的距離分別為40的、Scm.為

使板凳兩腿底端A、。之間的距離為50cm,那么橫梁E/應(yīng)為多長？(材質(zhì)

及其厚度等暫忽略不計(jì)).

【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得A"=OG,EM=NF,先求出A"、G。的長

度，再由可得出EM,繼而得出EF的長度.

【解答】解：過點(diǎn)8作BHLAO于點(diǎn)”，交EF于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CGLAO于

點(diǎn)G,交EF于點(diǎn)、N,

由題意得，MH=8cm,BH=4Qcm,則3M=32cm,

???四邊形ABC。是等腰梯形，AD=5Qcm,BC=20cm,

：.AH=^-(AD-BC)=l5cm.

2

，JEF//AD,

:.叢BEMS^BAH,

?EM=BM即里=邃.

''AH麗’、正語，

解得：EM=12,

故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟

練掌握等腰梯形的性質(zhì)，這些是需要我們熟練記憶的內(nèi)容.

6.如圖，花叢中有一路燈桿A8.在燈光下，小明在。點(diǎn)處的影長OE=3米，

沿8。方向行走到達(dá)G點(diǎn)，OG=5米，這時(shí)小明的影長G"=5米.如果小明

的身高為1.7米，求路燈桿A8的高度（精確到0.1米）.

【分析】根據(jù)CDLBH,FGLBH,可得：XABEsXCDE,則有里=

AB

DE和FGHG噓譚即彘HG,從而求出BD

DE+BDABHG+GD+BDHG+GD+BD

的長，再代入前面任意一個(gè)等式中，即可求出AB.

【解答】解：根據(jù)題意得：AB±BH,CDLBH,FG上BH,（1分）

在RtAAB￡和RtACD￡中,

CDA.BH,

：.CD//AB,

可證得：

△CDEsAABE

...CD=DE①,（4分）

ABDE+BD

同理：Zl=一HG_②，（5分）

ABHG+GD+BD

又CD=FG=l.7m,

由①、②可得：

DE二HG

DE+BD=HG+GD+BD'

即3_5

"3+BD=10+BD'

解之得：BD=1.5m,（6分）

將80=7.5代入①得：

AB=5.95m^6.0m.（7分）

答：路燈桿4?的高度約為6?？?（8分）

（注：不取近似數(shù)的，與答一起合計(jì)扣1分）

【點(diǎn)評】解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實(shí)際問題抽

象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

7.小明想測量電線桿A3的高度，他發(fā)現(xiàn)電線桿A3的影子正好落在坡面8和

地面3C上，已知CO和地面成30°角，CQ=4m,BC=lOm,且此時(shí)測得1加

高的標(biāo)桿在地面的影長為2m，求A8的長度.

B

【分析】利用直角三角形的性質(zhì)可得。尸長，也就是BE的長，還可以求得CF

的長，也就求得了8尸的長，也就是的長；易得AE與影長OE構(gòu)成的三

角形和標(biāo)桿與影長構(gòu)成的三角形相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得

AB的長.

【解答】解：作。于點(diǎn)E,DF上BC于點(diǎn)F.

B

;DC=4m,ZDCF=30°,

DF=2m,

??BE=DF=2m,CF=?CD2-DF?=2，

：.ED=BF=BC+CF=(10+2心m.

???同一時(shí)刻的光線是平行的，水平線是平行的，

光線與水平線的夾角相等，

又???標(biāo)竿與影長構(gòu)成的角為直角，AE與EO構(gòu)成的角為直角，

：.AE與影長DE構(gòu)成的三角形和標(biāo)桿與影長構(gòu)成的三角形相似，

?.A?-E_1-,

ED2

解得AE=(5+^3)相，

：.AB=AE+BE=(7+V3)m.

答：AB的長為(7+遂)m.

【點(diǎn)評】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為：兩角對應(yīng)相等的兩三角形相

似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例.作出兩條輔助線構(gòu)造出2個(gè)直角三角形是

解決本題的突破點(diǎn).

8.如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.

(1)如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9〃?，拍攝

點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？

(2)如果要完整的拍攝高度是2〃?的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4加，像高不變，則

相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

35mm

【分析】(1)利用相似三角形對應(yīng)邊上的高等于相似比即可列出比例式求解;

(2)和上題一樣，利用物體的高和拍攝點(diǎn)距離物體的距離及像高表示求相機(jī)的

焦距即可.

【解答】解：根據(jù)物體成像原理知：/XLMNs4LBA,

?MNLC

"AB^LD'

(1)?.?像高M(jìn)N是35如〃，焦距是50/〃〃?，拍攝的景物高度A3是49",

?0.035_4.9

-0.05-LD~，

解得：LD=7,

...拍攝點(diǎn)距離景物7米；

(2)拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4〃?，像高不變，

.35二2000

??記二4000'

解得:LC=70,

???相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相似三角形，

并熟知相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比.

9.學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度，

并探究影子長度的變化規(guī)律.如圖，在同一時(shí)間，身高為16〃的小明(AB)

的影子長是3加，而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方”點(diǎn)，并測得

HB=6m.

(1)請?jiān)趫D中畫出形成影子的光線，并確定路燈燈泡所在的位置G；

(2)求路燈燈泡的垂直高度G”；

(3)如果小明沿線段8”向小穎(點(diǎn)H)走去，當(dāng)小明走到3"中點(diǎn)囪處時(shí)，

求其影子BiG的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的工到&處時(shí)，求其影子

3

的長；當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的1到&處，…按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明

4

走剩下路程的一L到5處時(shí)，其影子&G的長為一一m.（直接用〃的

n+1~2n+2-

代數(shù)式表示）

B,B

【分析】（1）確定燈泡的位置，可以利用光線可逆可以畫出;

（2）要求垂直高度G"可以把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問題，圖中AABC

s叢GHC由它們對應(yīng)成比例可以求出GH-,

（3）的方法和（2）一樣也是利用三角形相似，對應(yīng)相等成比例可以求出，然后

找出規(guī)律.

【解答】解：（1）如圖（2分）

（2）'：ABA,HC,GHLHC,

J.AB//GH,

：.AABCSAGHC,

.K,（3分）

GHHC

,?A.B—1.6//z,BC=3/?i,HB=6m

.1.63

,*GH-6+3"

：.GH=4.S（〃?）.（4分）

（3）同理△AiBiCisAGHCi，

■A1B1B1C1

GH=HCj;

設(shè)B\C\長為x（〃z）,則L6=x,

4.8x+3

解得：乂金（fn）9即BCi二?（〃z）.解分）

2112

同理舞第T

解得32c2=1（加），（6分）

.1.6-BnCn

r.f工，

BnCJ+n+1

解得：B“Cn=」一.

2n+2

【點(diǎn)評】本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對

應(yīng)邊成比例解題，此題有三問，比較麻煩，但方法一樣.

10.有一塊三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm,高

AD=\2cm,矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC.AB上，設(shè)

HE的長為ycm、EF的長為xcm

(1)寫出）與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)x取多少時(shí)，EFGH是正方形?

【分析】（1）先由BC=8?！?，高A￡>=12cm,"E的長為yc〃z、E/7的長為xc機(jī)可

知，AK=AD-y=\2-y,HG=EF=x,再根據(jù)〃G〃BC可知，XAHGsX

ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知曠=心再代入（1）中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）BC=Scm,高A￡）=12c加，HE的長為yc〃z、E/7的長為xcm,

四邊形EEG”是矩形，

：.AK=AD-y=n-y,HG=EF=x,HG//BC,

.AK—HG即12-y_x

**AD-BC''12-F

.,.y—12-—x；

2

(2)由⑴可知，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=12-凈，

??,四邊形EFG"是正方形，

：.HE=EF,即無=y,

.,.光=12-—X,

2

解得x=絲.

5

答：當(dāng)工=絲時(shí)，四邊形EFG”是正方形.

5

【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形,

然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

11.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊8C=120〃〃〃，高4。=80加加，把它

加工成正方形零件如圖，使正方形的一邊在8c上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A3,

AC上.

(1)求證：

(2)求這個(gè)正方形零件的邊長.

【分析】(1)根據(jù)四邊形EF”G是正方形，可得EF〃BC,所以

(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長是xmm,根據(jù)豆=超，求出這個(gè)正方形零件的

BCAD

邊長是多少即可.

【解答】(1)證明：；四邊形EFHG是正方形，

J.EF//BC,

，△AERs/MBC.

(2)解：設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長是xmm,

'：EF//BC,

.EF=AK

**BCAD)

?x_80-x

,,I20-80

解得x=48

答：這個(gè)正方形零件的邊長是48〃〃〃.

【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的特征和應(yīng)用，以及三角形相似的判定和性質(zhì)的

應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比

相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

12.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊A3長15”，面積為15/.甲、乙

兩位木匠分別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面.請說明哪個(gè)正方形面

積較大(加工損耗不計(jì)).

【分析】結(jié)合相似三角形的1進(jìn)而得出兩個(gè)正方形的面積進(jìn)而比較得出答案.

【解答】解：由48=1.5機(jī)，SAABC=l.5/n2,可得BC=2m,

由圖①，過點(diǎn)B作RtaABC斜邊AC上的高，BH交DE于■P,交AC于H.

由AB=\.5m,BC=2m,

得AC=<7AB2+BC2=71.52+22=2.5(

由可得：BH=^^=\,2(m),

AC

設(shè)甲設(shè)計(jì)的桌面的邊長為x〃z,

'."DE//AC,

/.RtABDE^RtAB/lC,

?BPDEg|j1.2rx

??麗記’1.2二2.5’

解得X受(m),

37

由圖②，若設(shè)乙設(shè)計(jì)的正方形桌面邊長為＞〃?,

由DE//AB,得RtACDE^RtACBA,

...述0,即上上i

ABBC1.5-2

解得廠@(M,

丫7

??30630

37y735

.\x<y,即x2<y2,

?正方期①vs正方形②，

.?.第二個(gè)正方形面積大.

【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確表示出正方形的邊長是解題關(guān)

鍵.

13.已知NAO8=90°,OM是NAOB的平分線，按以下要求解答問題:

（1）將一塊含45°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動，兩直角邊

分別與04、08交于點(diǎn)C,D,在圖1中，點(diǎn)G是C。與OP的交點(diǎn)，且PG

=返20,求：△POO與的面積之比；

2

（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線0M上移動，一直角邊與。8交于點(diǎn)。，0D

=1,另一直角邊與直線。4、。3分別交于點(diǎn)C、E,使以P,D,E為頂點(diǎn)的

三角形與△OCO相似，在圖2中作出圖形，并求0P的長.

【分析】（1）先判定△PODS^PDG,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件

就可以求出△P。。與△POG的面積比；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)。在0A上時(shí)；②當(dāng)。在。4延長線上時(shí)，分

別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

【解答】解：（1）如圖1,過P作PNLOB,垂足分別為“，N,則/

HPN=90°,

/.ZHPC+ZCPN=90°,

VZCPN+ZNPD=90°,

ZHPC=ZNPD,

?.?OM是NAOB的平分線，

：.PH=PN,

又,：NPHC=NPND=9U°,

:.△PCH/APDN,

：.PC=PD,

：.ZPDG=45°,

"：ZPOD=45°,

/PDG=APOD,

'：ZGPD=ZDPO,

：./\POD^APDG,

.SAPQD（PD）2_4_.

（2）分兩種情況：

①如圖，若PC與邊04相交,

'：ZPDE>ZCDO,

當(dāng)△PQEsaoc。時(shí)，ZCDO=ZPED,

：.CE=CD,

■:COLED,

：.OE=OD,

OP=LED=OD=I；

2

②如圖，若PC與邊。4的反向延長線相交，

過P作PN±OB,垂足分別為〃，N,

■:ZPED>NEDC,

當(dāng)△PDEs^ooc時(shí)，/PDE=/ODC,

ZOEC=ZPED,

：.ZPDE=ZHCP,

,:PH=PN,RSHC絲RtAPND,

:.HC=ND,PC=PD,

：.ZPDC=45°,

/.ZPDO=ZPCH=22.5°,

AZ(9PC=180°-ZPOC-ZOCP=22.5°,

:.OP=OC.

設(shè)OP=x,則OH=ON=&x,

2

：.HC=DN=