初中數(shù)學(xué)分式方程及其應(yīng)用考點方法考題解析

初中數(shù)學(xué)分式方程及其應(yīng)用考點方法考題解析考點·方法·破譯1．分式方程(組)的解法解分式方程的一般步驟:⑴去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;⑵解整式方程;⑶驗根.有的分式方程也要依據(jù)具體的情況靈活處理.如分式中分子(整式)的次數(shù)高于等于分母(整式)的次數(shù)時，可利用分拆思想，把分式化為“整式＋分式”的形式，化簡原方程再解;或?qū)⒎质椒匠虄蛇吇癁榉肿?或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等構(gòu)成整式方程求解;或利用換元法將分式方程化為整式方程，或利用倒數(shù)法使方程更簡便.2．分式方程增根在解分式方程時，通常將分式方程兩邊同時乘以最簡公分母(化為整式方程)，這就擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根.因此，解分式方程時一定要驗根.又如求分式方程的解的取值范圍(解是正數(shù)，或解是負數(shù))時，要注意剔除正數(shù)解或負數(shù)解中的增根(因為增根不是分式方程的根).3．列分式方程解應(yīng)用題列分式方程解應(yīng)用題同運用整式方程解應(yīng)用題的方法和步驟是類似的，但要注意分式方程求出的未知數(shù)的解要雙重檢驗，①檢驗是否是增根，②檢驗解是否符合實際意義.經(jīng)典·考題·賞析【例1】解下列方程:⑴－＝1⑵－－＝4⑶＋＝＋【解法指導(dǎo)】對于方程⑴、⑵只需先將分母分解因式，找到最簡公分母，然后將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解并驗根.對于方程⑶如果按常規(guī)方法去分母則計算復(fù)雜，若注意到將這四個分式的分母均比分子小這個特點，先化簡，如＝＝1＋，按照上述變形，原方程可變?yōu)椋剑僖祈椇蠓纸M通分求解較簡單.解:⑴－＝1(x－2)2－16＝(x＋2)(x－2)x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2當(dāng)x＝－2時(x＋2)(x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程無解.⑵＋－＝4x－2＋4x2－2(x＋2)＝4(x＋2)(x－2)∴x＝10當(dāng)x＝10時，(x＋2)(x－2)≠0，∴原分式方程的解為x＝10.⑶原方程變形為＋＝＋1＋＋1＋＝1＋＋1＋∴＋＝＋－＝－兩邊分別通分得:＝∴(x－5)(x－6)＝(x－8)(x－9)∴x＝7檢驗知x＝7是原方程的解.【變式題組】⑴＝－2⑵＋2＝⑶－＝－⑷＋＋＝1【例２】當(dāng)m為何值時，分式方程－＝會產(chǎn)生增根?【解法指導(dǎo)】我們很容易測出分式方程可能產(chǎn)生的增根是x＝1或x＝－1，只要把猜測的增根分別代入去分母后的整式方程，即可求出相應(yīng)的字母的值.解:原方程去分母并整理得(m－2)x＝5＋m假設(shè)產(chǎn)生增根x＝1，則有:m－2＝5＋m，方程無解，所以不存在m的值，使原方程產(chǎn)生增根x＝1;假設(shè)產(chǎn)生增根x＝－1，則有:2－m＝5＋m，解得m＝－.∴m＝－時，分式方程－＝產(chǎn)生增根.【變式題組】01．分式方程－＝的增根是__________.02．若分式方程－＝1有增根，則它的增根為()A．0B．1C．－1D．1，－103．(綏化)若關(guān)于x的方程＝1－無解.則m的值為___________.04．分式方程－＝無解，則m的值為___________.【例３】(杭州)已知關(guān)于x的方程＝3的解是正數(shù)，則m的取值范圍是_________.【解法指導(dǎo)】求出方程的解x＞0且x≠2即可解:＝32x＋m＝3x－6x＝m＋6∴∴m＞－6且m≠－4【變式題組】01．(孝感)關(guān)于x的方程＝1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＞－1B．a(chǎn)＞－1，且a≠0C．a(chǎn)＜－1D．a(chǎn)＜－1，且a≠－202．當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程＝－的解是正數(shù)?【例４】(山東青島)某體育用品商場預(yù)測某品牌運動服能夠暢銷，就用32000元購進了一批這種運動服，上市后很快脫銷，商場又用68000元購進第二批這種運動服，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍，但每套進價多了10元.⑴該商場兩次共購進這種運動服多少套?⑵如果這兩批運動服每套的售價相同，且全部售完后總利潤不低于20%，那么每套售價至少是多少元?【解法指導(dǎo)】⑴設(shè)商場第一次購進x套運動服，由題意得:－＝10解這個方程，得x＝200，經(jīng)檢驗，x＝200是原方程的解.2x＋x＝600∴商場兩次共購進這種運動服600套.⑵設(shè)每套運動服的售價為y元.則有≥20%，y≥200∴每套運動服售價至少200元.【變式題組】01．(泰安)某服裝廠準(zhǔn)備加工400套運動裝，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，使得工作效率比原計劃提高了20%，結(jié)果共用了18天完成任務(wù)，問計劃每天加工服裝多少套?在這個問題中，設(shè)計劃每天加工x套，則根據(jù)題意可得方程為()A．＋＝18B．＋＝18C．＋＝18D．＋＝1802．(河池)銘潤超市用5000元購進一批新品種的蘋果進行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥11000元資金購進該品種蘋果，但這次的進貨價比試銷時每千克多了0.5元，購進蘋果數(shù)量是試銷的2倍.⑴試銷時該品種蘋果的進貨價是每千克多少元?⑵如果超市將該品種蘋果按每千克7元的定價出售，當(dāng)大部分蘋果售出后，余下的400千克按定價的七折售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元?03．(廣西梧州)由甲、乙兩個工程隊承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊單獨完成這項工程所需時間比是3:2，兩隊合做6天可以完成.⑴求兩隊單獨完成此項工程各需多少天?⑵此項工程由甲、乙兩隊合做6天完成任務(wù)后，學(xué)校付給他們20000元報酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問甲、乙兩隊各得到多少元?演練鞏固·反饋提高01．(牡丹江)關(guān)于x的分式方程＝1，下列說法正確的是()A．方程的解是x＝m＋5B．m＞－5時，方程的解是正數(shù)C．m＜－5時，方程的解是負數(shù)D．無法確定02．(安徽)甲志愿者計劃用若干個工作日完成社區(qū)的某項工作，從第三個工作日起，乙志愿者加盟此項工作，且甲、乙兩人工效相同，結(jié)果提前3天完成任務(wù)，則甲志愿者計劃完成此項工作的天數(shù)是()A．8B．7C．6D．503．(上海)用換元法解分式方程－＋1＝0時，如果設(shè)＝y(tǒng)，將原方程化為關(guān)于y的整式方程，那么這個整式方程是()A．y2＋y－3＝0B．y2－3y＋1＝0C．3y2－y＋1＝0D．3y2－y－1＝004．有兩塊面積相同的試驗田，分別收獲蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一塊試驗田每畝收獲蔬菜比第二塊少300㎏，求第一塊試驗田每畝收獲蔬菜多少千克.設(shè)第一塊試驗田每畝收獲蔬菜x㎏，根據(jù)題意，可得方程()A．＝B．＝C．＝D．＝05．(牡丹江)若關(guān)于x的分式方程－＝1無解，則a＝___________.06．方程＋3＝的解為___________.07．若x＝1是方程＋＝0的解，則a＝___________.08．若A＝，B＝＋1，當(dāng)x＝___________時，A＝B．09．若x＝3是方程＋＝0的解，則－÷的值為___________.10．如果關(guān)于x的方程1＋＝的解，也是不等式組的一個解，求m的取值范圍.11．關(guān)于x的分式方程＝－有解，求k的取值范圍.12．要使關(guān)于x、y的二元一次方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)a的值.13．某工程準(zhǔn)備招標(biāo)，指揮部接到甲、乙兩個工程隊的標(biāo)書，從標(biāo)書中得知:乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的2倍，該工程若由甲隊先做6天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作16天可以完成.⑴求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需要多少天?⑵已知甲隊每天的施工費用為0.67萬元，乙隊每天的施工費用為0.33萬元，該工程預(yù)算的施工費用為19萬元.為縮短工期，擬安排甲、乙兩隊同時開工合作完成這項工程，問:該工程預(yù)算的施工費用是否夠用?若不夠用，需要追加預(yù)算多少萬元?請說明理由.14．(桂林)在我市某一城市美化工程招標(biāo)時，有甲、乙兩個